數(shù)列極限的存在準則_第1頁
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2-03數(shù)列極限的存在準那么數(shù)列極限的兩大問題數(shù)列極限的存在性；〔此問題為最關鍵的問題〕數(shù)列的極限值是什么？〔存在后，才想方法計算極限〕最簡單的思想是利用數(shù)列本身的特性證明數(shù)列極限的存在性!按照數(shù)列極限的定義證明;按照奇、偶子列的收斂性證明;依據(jù)任意子列的收斂性證明;利用夾逼準那么證明。幾種證明極限存在的方法：幾何解釋:單調增加單調減少單調數(shù)列準那么I單調有界準那么定理1(單調有界定理)

單調有界數(shù)列必有極限

證明

曲邊三角形面積A的計算1oxy我們通常的做法是：將區(qū)間[0，1]n等份，用小矩形的面積來近似地表示小曲邊梯形的面積。缺乏近似過剩近似關于e極限證明：

的展開式中共有項，每一項為正數(shù)。

的展開式中共有項，每一項為正數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)有：嚴格增加下面證明有上界：注意:第一種證法盡管過程略繁，但易于著手，處理問題平直、樸素,不失為證法之上選.第二、三種證法都使用了平均不等式，略帶技巧，但處理過程仍然簡單、清晰。比較起來，教材的做法那么顯得技巧性過強，如此獨特的做法不易發(fā)現(xiàn).證法一可謂“以拙勝巧〞!大音希聲,大道低回,大象無形,大巧假設拙.—老子例1計算以下極限數(shù)列的子列的極限例2證明：數(shù)列遞增性顯然，下面證明有上界：極限的保序性例3

例4

證明數(shù)列單調有界,并求極限.解由均值不等式,有

注意到對

準那么IICauchy收斂準那么定理2Cauchy收斂準那么必要性的證明Cauchy收斂準那么說明,收斂數(shù)列中項數(shù)充分大的任意兩項的距離能夠任意小,即越到后面,各項之間幾乎“擠〞在了一起。Cauchy收斂準那么的優(yōu)點在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù),只須根據(jù)數(shù)列自身各項之間的相互關系就能判別該數(shù)列的斂散性。Cauchy收斂準那么的缺點就是具體使用起來有時比較困難,比方收斂時與相應的N確實定有些不易.Cauchy收斂準那么的否認形式Cauchy收斂準那么的肯定形式證明下面我們用Cauchy收斂準那么再來證明一下例2的結論.用Cauchy收斂準那么的否認形式定理(單調有界定理)單調有界數(shù)列必有極限。Cauchy收斂準那么定理(確界原理)

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