第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用前面第二——五章為復(fù)變函數(shù)論的重要理論本章的內(nèi)容是對(duì)前面理論的進(jìn)一步應(yīng)用留數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用很廣泛，主要是求積分和零點(diǎn)的分布情況內(nèi)容：第一節(jié)留數(shù)第二節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)第三節(jié)留數(shù)理論計(jì)算實(shí)積分第四節(jié)輻角原理及其應(yīng)用目標(biāo)或要求：⒈掌握留數(shù)的概念和求法；⒉掌握留數(shù)定理的內(nèi)容和基本應(yīng)用方法；⒊掌握利用留數(shù)定理求實(shí)積分的基本方法；⒋了解輻角原理和儒歇定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第一節(jié)留數(shù)1留數(shù)的定義及留數(shù)定理2留數(shù)的求法3函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)⒈留數(shù)的定義及留數(shù)定理⑴留數(shù)①導(dǎo)入設(shè)函數(shù)f(z)在點(diǎn)a解析。作圓使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析,由柯西積分定理,如果a是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則上述積分就不一定等于零.如：設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn),在以a為心,半徑為R

的去心鄰域，即在0<|z-a|<R內(nèi)把f(z)展成羅朗級(jí)數(shù)：它在較小的閉環(huán)形域0<r1≤|z-a|≤r2<R內(nèi)一致收斂,可以逐項(xiàng)積分,積分曲線為周線c:|z-a|=r(r1<r<r2)由重要積分可見：f(z)洛朗級(jí)數(shù)的(z-a)-1項(xiàng)的系數(shù)c-1具有特別重要的地位。數(shù)這里z=a是函數(shù)的一階極點(diǎn).得定義6.1設(shè)點(diǎn)a(≠∞)為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，即f(z)在a點(diǎn)的一去心鄰域：0<|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)解析，稱積分：為f(z)在點(diǎn)a的留數(shù)(或殘數(shù))(Residue)，記作或這里積分是沿正向——逆時(shí)針方向取的。③注解Ⅰ留數(shù)只與函數(shù)和點(diǎn)有關(guān),而與R、ρ無關(guān),ρ有一定的任意性Ⅱ定義時(shí)要求點(diǎn)為孤立奇點(diǎn),定義函數(shù)在其解析點(diǎn)的留數(shù)為0;Ⅲ留數(shù)與洛朗系數(shù)的關(guān)系：

=c-1②留數(shù)的概念即=f(z)在a洛朗級(jí)數(shù)(z-a)-1項(xiàng)的系數(shù)可去奇點(diǎn)的留數(shù)為0只要f(z)在0<|z-a|<R內(nèi)解析,0<ρ<R即可;可擴(kuò)展到解析點(diǎn),作為運(yùn)算的求留數(shù),對(duì)函數(shù)是具有線性性的定理6.1(柯西留數(shù)定理)D是周線或復(fù)周線C所圍區(qū)域,①在D內(nèi)只有有限多個(gè)孤立奇點(diǎn)：②在D-③在則證以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)ak為心,作圓Ck使:以它為邊界的閉圓盤上每一點(diǎn)都在D內(nèi)任意兩個(gè)這樣的閉圓盤彼此無公共點(diǎn)。從D中除去以Ck為邊界的閉圓盤得區(qū)域G

其邊界是C以及Ck在G上,f(z)解析,并連續(xù)到邊界。由復(fù)周線柯西積分定理兩邊乘2πi,并根據(jù)留數(shù)的定義,得結(jié)論成立。CkCnC2C1⑵柯西留數(shù)定理=D+CD內(nèi)解析D

-內(nèi)連續(xù)設(shè)f(z)：CDa1a2akanG(k=1,2,...,n)留數(shù)定理的注解①留數(shù)定理建立了留數(shù)與積分的關(guān)系，是非常重要的;②具體計(jì)算一定要注意前面的系數(shù)2πi;③用小范圍的留數(shù)求大范圍的積分,化整為零,是留數(shù)重要應(yīng)用;④所圍區(qū)域內(nèi)只能有孤立奇點(diǎn)，否則，不能用；⑤含蓋了柯西積分定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)的積分公式.求積分求留數(shù)定義洛朗系數(shù)其它方法求積分一般方法尋找！無意義不簡(jiǎn)單希望簡(jiǎn)單?、擦魯?shù)的求法一般原則只要在以奇點(diǎn)為心的圓環(huán)上把函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)，取它的負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)就行了.只關(guān)心洛朗級(jí)數(shù)負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)，也可不求洛朗級(jí)數(shù)，而通過某種方法求出負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)。但對(duì)于極點(diǎn)，有略簡(jiǎn)便的方法.定理6.2設(shè)a是f(z)的一個(gè)n階極點(diǎn)，在a的一去心鄰域內(nèi)其中：φ(z)在此鄰域內(nèi)(包括z=a)解析，且φ(a)≠0,則證

φ(z)在a的泰勒展式是：則

一、二階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算推論6.3、6.4⑴設(shè)a是f(z)的一階極點(diǎn),φ(z)=(z-a)f(z),

則⑵設(shè)a是f(z)的二階極點(diǎn),φ(z)=(z-a)2

f(z),

則定理6.5設(shè)a是f(z)=P(z)/Q(z)的一階極點(diǎn),且為Q(z)的一階零點(diǎn)，則證⑴對(duì)各種求留數(shù)的方法都應(yīng)靈活熟練地掌握，并結(jié)合自己的習(xí)慣，總結(jié)一套對(duì)自己行之有效的方法；⑵求留數(shù)的一般方法是求洛朗級(jí)數(shù)負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)(c-1)，應(yīng)結(jié)合洛朗級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)來求；⑶求極點(diǎn)留數(shù)的公式將求留數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求φ(z)的泰勒展式的系數(shù)；⑷求極點(diǎn)留數(shù)的公式，也有很大的局限性，由于先要判斷孤立奇點(diǎn)的類型，而此工作是需要很多的計(jì)算，所以，此公式也只適合求低階(一般不超過3階)極點(diǎn)的留數(shù)；⑸構(gòu)造求極點(diǎn)留數(shù)公式中的φ(z),只要f(z)的極點(diǎn)(a)的階(n)求對(duì)，則φ(z)=f(z)(z-a)n⑹用留數(shù)求積分的一般過程①求出積分曲線所圍區(qū)域的全部奇點(diǎn)；②判別所有奇點(diǎn)的類型；③選擇求留數(shù)的方法，求出奇點(diǎn)的留數(shù)；④利用柯西留數(shù)定理求積分。注意被積函數(shù)的周期性和其它特性！留數(shù)計(jì)算的注解例(補(bǔ)充例)設(shè)解法1

由定義得注意：這里的積分路徑的半徑并非只能取1/4，只須使半徑小于1即可滿足定義的條件．解法2

因點(diǎn)z=0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，所以，在:0<|z|<1/3內(nèi)有由此得c-1=2，得求柯西積分公式同樣這里并非只能取1/3,只須小于1即可續(xù)解補(bǔ)充例解法3

因點(diǎn)z=0為f(z)的一階極點(diǎn)，所以，依求極點(diǎn)留數(shù)的公式得解法4

因點(diǎn)z=0為f(z)的一階極點(diǎn)，所以，依求一階極點(diǎn)留數(shù)的公式得例(P228例6.1)設(shè)求解

f(z)在積分曲線:|z|=2內(nèi)的奇點(diǎn)為：z=0、1

容易判定：則由留數(shù)定理得：z=0為f(z)的一階極點(diǎn);z=1為f(z)的二階極點(diǎn)例(P229例6.2)設(shè)求，n:自然數(shù)解

令在積分曲線:|z|=n內(nèi)的奇點(diǎn)滿足:|k+1/2|<n,故z=k+1/2依求一階極點(diǎn)留數(shù)的公式得：由留數(shù)定理得：f(z)=是

的一階零點(diǎn)，是f(z)的一階極點(diǎn)f(z)在整個(gè)多平面上解析得:即f(z)奇點(diǎn)為：即-n≤k≤n-1例(P229例6.3)設(shè)求解在積分曲線:|z|=1內(nèi)的奇點(diǎn):z=0容易證明z=0為f(z)的3階極點(diǎn)依求極點(diǎn)留數(shù)的公式得：由留數(shù)定理得：又求留數(shù)c-1為n=1時(shí)的系數(shù),即-1/2故例(P229例6.4)設(shè)求解在積分曲線:|z|=1內(nèi)的奇點(diǎn):z=0利用重要基本初等函數(shù)的泰勒展式，按分子、分母展開f(z):故由留數(shù)定理得：構(gòu)造非0因子---g(z)在z=0處解析非0.因此f(z)在z=0的c-1為g(z)在z=0泰勒展式的常數(shù)項(xiàng),即g(0)=-1又解例(P229例6.4)f(z)的因子：z、sinz、1-ez都以z=0為1階零點(diǎn)，則z=0為f(z)的1+1-13=-1階零點(diǎn),即1階極點(diǎn)依求極點(diǎn)留數(shù)的公式得：余下和前面一樣利用零點(diǎn)階級(jí)的運(yùn)算確定極點(diǎn)的階例(P231例6.5)設(shè)求解在積分曲線:|z|=1內(nèi)的奇點(diǎn):z=0由展開式知，z=0為本質(zhì)奇點(diǎn)f(z)展開式:因此f(z)在z=0的c-1=0故由留數(shù)定理得：如則c-1=1⒊函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)⑴定義定義6.2設(shè)∞為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即f(z)在去心鄰域N-{∞}:0≤r<|z|<+∞解析，則稱為f(z)在點(diǎn)∞留數(shù)。注：積分曲線為負(fù)方向——順時(shí)針方向。⑵與洛朗系數(shù)的關(guān)系將f(z)在∞的洛朗級(jí)數(shù)，沿Г-逐項(xiàng)積分得注：記為①注意與有限點(diǎn)的差異；②當(dāng)∞為可去奇點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)一般不為0。如1+1/z,∞為可去奇點(diǎn),但定理6.6

如果f(z)在擴(kuò)充z平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)),則f(z)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零。利用有限點(diǎn)的留數(shù)定理，很容易證明注釋：①在該定理說明，函數(shù)在全平面上所有各點(diǎn)的留數(shù)之和為零，這里所說各點(diǎn)包括無限遠(yuǎn)點(diǎn)和有限遠(yuǎn)點(diǎn)；②作用：當(dāng)周線C內(nèi)(外)有很多奇點(diǎn)，而C外(內(nèi))的奇點(diǎn)少，則可用此定理將求C內(nèi)(外)留數(shù)和轉(zhuǎn)化為求C外(內(nèi))留數(shù)和。不同的留數(shù)組合，得不同的公式，可以求不同的留數(shù)和。⑷求法①-c-1；②由定理6.6③⑶含∞的留數(shù)定理a1,a2,…,an為f(z)在z平面上全部有限奇點(diǎn)利用定義很容易證明例(P233例6.6)設(shè)求解

f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上共有七個(gè)奇點(diǎn)：前六個(gè)均在積分曲線:|z|=4的內(nèi)部，由留數(shù)定理,所求積分方法一由得c-1=1故方法二所求積分=2πi以t=0為一階極點(diǎn)，故t求周線上積分的方法小結(jié)：⑴積分定理；⑵積分公式；⑶高階導(dǎo)數(shù)積分公式；⑷有限點(diǎn)的留數(shù)定理；⑸含∞的留數(shù)定理⑹輻角原理。將求積分的問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)的問題1234積分路徑上有奇點(diǎn)的積分第二節(jié)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

留數(shù)定理的應(yīng)用—求實(shí)積分:在求一些實(shí)定積分或反常積分的值時(shí),其被積函數(shù)的原函數(shù),不能用初等函數(shù)表示出來;或者可以求出原函數(shù),但計(jì)算非常復(fù)雜.留數(shù)定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算某些實(shí)積分.如能把實(shí)積分化為復(fù)積分,再用求復(fù)積分的方法,就可簡(jiǎn)化問題.關(guān)鍵的是設(shè)法把實(shí)積分跟復(fù)變函數(shù)在周線上的積分聯(lián)系起來.但是,利用留數(shù)求實(shí)積分,無通用的方法,也不是適合所有實(shí)積分.實(shí)積分變?yōu)橹芫€上的復(fù)積分的要點(diǎn)：定積分⑴利用變量代換把l1變?yōu)榱硪粡?fù)平面上的周線,再應(yīng)用留數(shù)定理;⑵另外補(bǔ)上一段曲線l2,使l1+l2為周線,

積分左端可用留數(shù)定理,右端第一個(gè)積分為所求實(shí)積分,如果右端第二個(gè)積分容易求出,則問題解決.的積分區(qū)間[a,b]為復(fù)平面上實(shí)軸上的一段l1yx0z平面abl1l2利用極限,周線上連續(xù).⒈R:二元有理函數(shù)方法:設(shè)R(sinθ,cosθ)在θ[0,2π]連續(xù).令:z=ei

θ，dz=ei

θidθ=zidθ，dθ=dz/ziθ:02π，z:在單位圓|z|=1周上正向變動(dòng)一周某些不為此標(biāo)準(zhǔn)型的積分,可利用積分區(qū)間的移動(dòng)、函數(shù)的周期、奇偶和歐拉公式轉(zhuǎn)化為此標(biāo)準(zhǔn)型，θ02π1z平面并注意利用實(shí)虛部的比較例(P234例6.7)求解當(dāng)p=0,I=2π,下設(shè)p≠0當(dāng)0<|p|<1,f(z)在|z|<1內(nèi)僅以z=p為一階極點(diǎn),故由留數(shù)定理當(dāng)1<|p|,f(z)在|z|<1內(nèi)僅以z=1/p為一階極點(diǎn),故由留數(shù)定理令z=ei

θ，在|z|=1上無奇點(diǎn),在|z|=1上無奇點(diǎn),記例(P236例6.9)求解令z=ei

θ當(dāng)z繞|z|=1一周，則u繞|u|=1兩周f(z)在|z|<1內(nèi)僅有一階極點(diǎn)：依求一階極點(diǎn)留數(shù)的公式得：故由留數(shù)定理在|z|=1上無奇點(diǎn),令u=z2記f(z)=變量代換的應(yīng)用繞行多周的處理方法例(P237例6.10)求解被積函數(shù)為偶函數(shù)，故令則f(z)在|z|<1內(nèi)僅以z=1/2為一階極點(diǎn),由留數(shù)定理，比較實(shí)部故令z=ei

θ在|z|=1上無奇點(diǎn),=記f(z)=歐拉公式奇偶函數(shù)的處理方法例(補(bǔ)充例)求解若直接作變換z=ei

θ

，則積分復(fù)雜，先考慮積分:變換z=ei

θ，則f(z)在|z|<1內(nèi)僅以z=0為n+1階極點(diǎn),由留數(shù)定理在|z|=1上無奇點(diǎn),記f(z)=比較實(shí)部⒉R:有理函數(shù)方法:設(shè)R(x)=P(x)/Q(x),Q(x)在實(shí)數(shù)中連續(xù).當(dāng)積分：考慮添加輔助曲線ГR,使ГR與實(shí)軸上是區(qū)間[-R,R]構(gòu)成周線C

，則其中求和表示P(x)/Q(x)落在C內(nèi)部的有限個(gè)奇點(diǎn)處的留數(shù)和，若能估計(jì)出的值，再取極限即得。注意：函數(shù)奇偶的應(yīng)用和收斂的判斷

ГR,一般去上半圓周:|z|=R,Imz≥0收斂z平面xy-RRГR利用實(shí)虛部的比較由在SR上一致成立故ε>0,R0>0,R>R0有引理6.1設(shè)f(z)在圓弧SR：z=Reiθ(θ1≤θ≤θ2,R充分大)上連續(xù),且在SR上一致成立(即與θ1≤θ≤θ2中的θ無關(guān))，則證z平面xy令:z=Rei

θ(θ1≤θ≤θ2)dz=Rei

θidθ=zidθ，dθ=dz/ziθ:θ1θ2z:在圓弧SR上變動(dòng)一次SRRθ1Rθ2用留數(shù)求廣義積分基礎(chǔ)理論之一；R充分大保證包含角形區(qū)域的全部有限奇點(diǎn)定理6.7

設(shè)f(z)=P(z)/Q(z)為有理分式，其中為互質(zhì)多項(xiàng)式,則證由n-m≥2得作ГR：z=Reiθ(0≤θ≤π)取R足夠大,使CR的內(nèi)部包含f(z)在上半平面內(nèi)的一切奇點(diǎn),由在實(shí)軸上Q(z)≠0知,f(z)在CR上連續(xù)由于當(dāng)n-m≥2時(shí)由引理6.1收斂,且且⑴n-m≥2；⑵在實(shí)軸上Q(z)≠0與線段[-R,R]構(gòu)成周線CR由留數(shù)定理得又于是公式成立過程比公式更重要例(P241例6.11)設(shè)解被積函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故函數(shù)f(x)的奇點(diǎn)為故在上半平面的奇點(diǎn)為：而：奇偶函數(shù)的處理方法計(jì)算為一階極點(diǎn)例(補(bǔ)充例)求解滿足定理的要求，即：得上半平面的全部奇點(diǎn)為有兩個(gè)：α與β易判斷α與β均為一階極點(diǎn)，算留數(shù)，有解方程：記其中：得⒊R:有理函數(shù)處理方法與第二種積分的一樣引理6.2(若爾當(dāng)(Jordan))記

(R0充分大)圓弧ГR(G):z=Reiθ(R0≤R,θ1≤α≤θ≤β≤θ1)設(shè)g(z)在閉區(qū)域G上連續(xù)如果zГR在G時(shí),一致成立則證g(z)在有界閉集ГR上連續(xù),則?？扇∽畲笾?設(shè)為M(R),z平面xy-RRГR(m>0)z平面xyГRRαRβ當(dāng)0<θ<π/2時(shí),有Jordan不等式：引理6.2證明作變換z=Reiθ得由所以定理6.8利用上引理，仿定理6.7的證明，即可得：設(shè)g(z)=P(z)/Q(z)為有理分式,其中P(z)、Q(z)為互質(zhì)多項(xiàng)式,且⑴Q(z)的次數(shù)>P(z)的次數(shù);⑵在實(shí)軸上Q(z)≠0;⑶m>0則特別：分開實(shí)、虛部就可求積分改變m

，可用不同區(qū)域的留數(shù)求不同的積分例(P244例6.13)計(jì)算解被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有兩個(gè)奇點(diǎn)：i在上半平面的奇點(diǎn)為:i所以為一階極點(diǎn)I=滿足上定理中對(duì)g(x)的要求其留數(shù)為:記例(補(bǔ)充例)計(jì)算解令則E=ReH記有兩個(gè)奇點(diǎn):-2i其留數(shù)為：由定理得所以從而有為一階極點(diǎn)滿足上定理中的要求因此，為了計(jì)算E

，只需求出H

上半平面的奇點(diǎn)為:-2+i⒋計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分

前面所講的三種類型都是f(x)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)的情況,如果f(x)在實(shí)軸上有奇點(diǎn),

前述計(jì)算方法不完全適用求此廣義積分(瑕積分),但也可以借助復(fù)積分來計(jì)算某些這類廣義積分.例如f(x)在實(shí)軸上有一個(gè)奇點(diǎn)z=a(a為實(shí)數(shù))要計(jì)算在作輔助線時(shí),應(yīng)繞過奇點(diǎn)z=a具體辦法是在上半平面,作個(gè)以z=a為心,半徑為ε的半圓周Cε(如圖所示)上式左端用留數(shù)定理計(jì)算，再令ε0、R+∞取極限第一個(gè)極限用下面介紹的引理求.第二個(gè)極限用前面介紹的引理求.如果實(shí)軸上有n個(gè)奇點(diǎn)，那么分別按上面的方法處理例(P246例6.15)計(jì)算狄利克雷積分積分解積分收斂，且取f(z)=eiz/z，則f(z)只是在z=0有一個(gè)一階極點(diǎn)。取ε、R,使R>ε>0,作積分路徑引理6.3設(shè)f(z)在圓弧Sr

：z-a=reiθ(θ1≤θ≤θ2,r充分小)上連續(xù),且在Sr上一致成立(即與θ1≤θ≤θ2中的θ無關(guān))，則證明方法同引理6.1。續(xù)解例(P246例6.15)在上半平面上作以原點(diǎn)為心、ε、R為半徑的半圓C

ε、

CR于是有由引理6.2于是令ε0、R+∞有則由引理6.3第三節(jié)輻角原理及其應(yīng)用1對(duì)數(shù)留數(shù)2輻角原理3儒歇(Rouche)定理⒈對(duì)數(shù)留數(shù)⑴概念應(yīng)用留數(shù)定理,可以解決有關(guān)零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，考慮形如f(z)/f

(z)的復(fù)變函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù),由之導(dǎo)出的輻角原理提供了確定解析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一個(gè)有效工具。由于積分稱為f(z)的對(duì)數(shù)留數(shù)。函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)的留數(shù)f(z)/f

(z)的奇點(diǎn)：f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)。這里只考慮f(z)的奇點(diǎn)為極點(diǎn)的情況。證①由條件得在a的鄰域內(nèi)于是引理6.4①設(shè)a是f(z)的n階零點(diǎn),則a為函數(shù)f(z)/f

(z)的一階極點(diǎn),在a解析且其中g(shù)(z)在a解析非0②設(shè)b為f(z)的m階極點(diǎn),則b為函數(shù)f(z)/f

(z)的一階極點(diǎn),并且并且故結(jié)論成立由①的結(jié)論,b為的一階極點(diǎn),且或由g(z)在a解析非0,得g(z)/g(z)在a解析,②由條件得b為1/f(z)的m階零點(diǎn),⑵零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)

定理6.9設(shè)C是一條周線，f(z)滿足:①

在C的內(nèi)部除極點(diǎn)外解析的；②在C上連續(xù)非零。則有其中N(f,C)、P(f,C)分別表示f(z)在C內(nèi)部的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)n階零點(diǎn)算作n個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)m階極點(diǎn)算作m個(gè)極點(diǎn)證由上章習(xí)題(二)14P223,知f(z)在C內(nèi)至多有有限個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)設(shè)ak為f(z)在C內(nèi)部的不同零點(diǎn)，其階為nk

(k=1,2,...,p)

bj為f(z)在C內(nèi)部的不同極點(diǎn)，其階為mj

(j=1,2,...,q)根據(jù)條件和引理6.4知f(z)/f

(z)在C內(nèi)部除去一階極點(diǎn):ak

(k=1,2,...,p)、bj

(j=1,2,...,q)外解析,并在C上連續(xù)故由留數(shù)定理及引理6.4得注解：①

如將零點(diǎn)和極點(diǎn)等同看待，則由引理6.4知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除函數(shù)具有統(tǒng)一階的作用——都為負(fù)一階零點(diǎn)——一階極點(diǎn)。且其留數(shù)只與函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的階有關(guān),而與函數(shù)其它性質(zhì)無關(guān);②

定理6.9中的公式可兩邊用,由個(gè)數(shù)求積分,或由積分求個(gè)數(shù)。其主要用于研究函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)然也可以求積分；③定理6.9中的公式有些推廣，如本章習(xí)題(二)8P275。⒉輻角原理

對(duì)數(shù)留數(shù)有一個(gè)實(shí)際意義,由此給出定理6.9中公式的等價(jià)表述.由于函數(shù)是z的單值函數(shù)但的值可能改變！當(dāng)z從z0起繞行周線C一周回到z0時(shí)：=0=式中表示z沿C繞行一周后argf(z)的改變量，他一定是2π的整倍數(shù)。Cyx0z平面vu0w平面w=f(z)w0z0C于是φ0φ1⑴從對(duì)數(shù)留數(shù)看，對(duì)數(shù)留數(shù)為自變量繞周線一周函數(shù)幅角的改變量，即此等式成立的條件為函數(shù)在周線內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析，連續(xù)到邊界，邊界上無零點(diǎn)；⑵前面所有結(jié)論中的周線可為復(fù)周線；⑶當(dāng)原點(diǎn)在周線內(nèi)部，幅角改變，否則幅角不變。輻角原理

在定理6.9的條件下，f(z)在周線C的內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差，等于當(dāng)z沿C正方向繞行一周后argf(z)的改變量除以2π，即特別，如f(z)在周線C的內(nèi)部無極點(diǎn)，則注：vu0w平面變不變不變|z-a|=Ra|w-b|=Rb例(P263例6.21)設(shè)試驗(yàn)證輻角原理。證故輻角原理成立。yx0z平面3124z⒊儒歇定理定理5.2(儒歇定理)

設(shè)C是周線，函數(shù)f(z)及g(z)滿足：⑴

在C內(nèi)部解析并連續(xù)到C

；⑵

在C上，|f(z)|>|g(z)|，則在C內(nèi)部，f(z)與f(z)+g(z)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，即：N(f,C)=N(f+g,C)證用輻角原理證明N(f,C)=N(f+g,C)Carg(f)=Carg(f+g)周線C在函數(shù)1+g/f的像周線內(nèi)部不含原點(diǎn)周線C在函數(shù)1+g/f的像周線包含在不含原點(diǎn)的某圓盤內(nèi)先證明可以用輻角原理，即在C上，f(z)與f(z)+g(z)非零在C上，|f(z)|>|g(z)|

所以f(z)非零

|f(z)+g(z)|≥≥0|f(z)|-|g(z)|>0所以f(z)+g(z)非零儒歇定理證明續(xù)

zC，|f(z)|>|g(z)|Cyx0z平面vu0w平面記12|w-1|=1即C在的像都落在w平面的圓|w-1|=1內(nèi)部或C的像不繞w平面的原點(diǎn)w=0所以儒歇定理注解⑴應(yīng)用此定理時(shí)，只要估計(jì)和式在區(qū)域邊界上模的值。組成和的兩函數(shù)中,在邊界上模大的函數(shù)零點(diǎn)數(shù)為和式函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)。⑵用于解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布問題。⑶f(z)及g(z)選擇的除滿足定理中的條件外，還應(yīng)保證f(z)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)好計(jì)算。并注意：⑷輻角原理也可求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，但儒歇定理更簡(jiǎn)單方便。注意，儒歇定理只是充分條件,而輻角原理為充分必要條件。①不要忽略重根；②多項(xiàng)式,特別是整數(shù)次冪函數(shù)的應(yīng)用；③常數(shù)的應(yīng)用；④零點(diǎn)階的應(yīng)用。例(P267例6.24)如果|a|>e，求證方程ez=azn在單位圓|z|<1內(nèi)有n個(gè)根。證顯然azn在單位圓|z|<1內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)——z=0為n階零點(diǎn)所以取在邊界|z|=1上，z=cosθ+isinθ由儒歇定理azn-ez在|z|<1內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與azn相同，即n個(gè)，因此方程在單位圓|z|<1內(nèi)有n個(gè)根。例(P268例6.26)證明方程z7-z3+12=0的根在圓環(huán)：1<|z|<2內(nèi)。證顯然只要證明：方程在|z|<2內(nèi)有7根，在|z|<1內(nèi)無根。在|z|<1內(nèi),邊界:|z|=1,12

所以，方程在|z|<1內(nèi)無根在|z|<2內(nèi),邊界:|z|=2,|z7|=27=128z7在|z|<2內(nèi)以z=0為7階零點(diǎn),

所以，方程在|z|<7內(nèi)有7個(gè)根|z7-z3||z7|+|-z3|≥>1+1=12在|z|<1內(nèi)無零點(diǎn),|-z3|+12≥|-z3+12|>23+12=例(P266例6.23)p(z)=a0zn+a1zn-1+…+at-1zn-t+1+atzn-t+at+1zn-t-1

…+an(a0≠0)，滿足：|at|>|a0|+|a1|+…+|at-1|+|at+1|

…+|an|則p(z)在|z|<1內(nèi)有n-t個(gè)零點(diǎn)。證顯然atzn-t在單位圓|z|<1內(nèi)有n-t個(gè)零點(diǎn)——z=0為n-t階零點(diǎn)所以取f(z)=at