2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5平面向量應(yīng)用舉例一、開門見山、復(fù)習(xí)引入1.向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背景和幾何背景,當(dāng)向量和平面坐標(biāo)系結(jié)合后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法。我們要用到如下一些知識(shí)：

（1）平面向量基本定理：一、開門見山、復(fù)習(xí)引入1.向量的概念和運(yùn)算都有著明確的物理背（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積：

（3）向量平行與垂直的判定：

（4）模與距離：（5）夾角余弦：（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積：（3）向量平行與垂直的判定：（42.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來.因此，平面幾何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決問題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié).下面通過幾個(gè)具體實(shí)例,說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用。

2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的平面幾何中的向量方法平面幾何中探究1：矩形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與構(gòu)成矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？探究（一）：推斷線段長(zhǎng)度關(guān)系

ADCBAC2+BD2=2(AB2+AD2)探究2：如圖的平行四邊形ABCD中，設(shè)，如何用a、b表示?ABCDab探究1：矩形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與構(gòu)成矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有探究3：你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系嗎？你能證明嗎？

ABCD即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.abAC2+DB2=2（AB2+AD2)探究3：你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間探究4：如果不用上面的方法你還有其他的證明方法嗎？ABCDxy方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).探究4：如果不用上面的方法你還有其他的證明方法嗎？ABCD探究5：以上的兩種方法分別用了向量的基向量法和坐標(biāo)法（解析法）證明，如果只用幾何法，你能不能證明？ABCD方法三：作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.FEBD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).

由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.探究5：以上的兩種方法分別用了向量的基向量法和坐標(biāo)法（解析法探究6：對(duì)比上面的解題方法，明顯向量法比幾何法簡(jiǎn)單，那么大家總結(jié)一下，向量法解幾何問題有哪些步驟？1、“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；2、簡(jiǎn)述為：幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。探究6：對(duì)比上面的解題方法，明顯向量法比幾何法簡(jiǎn)單，那么大家已知：四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.

用向量法證明：AC⊥BD探究（二）：推斷直線的位置關(guān)系

ABCDO分析：本題用三種方法都容易證明，但是強(qiáng)調(diào)用向量法證明，可采用基向量法或坐標(biāo)法。要證AC⊥BD，只需證明

已知：四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.

用探究1、在等腰三角形ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，則∠A是否確定？如果確定，請(qǐng)求出∠A的余弦值，如果不確定，請(qǐng)說明理由。探究（三）：計(jì)算夾角大小猜想：確定探究1、在等腰三角形ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，ABCDE探究2：設(shè)向量a，b，可以利用哪個(gè)向量原理求∠A的大?。刻骄?：于是你想到該如何證明？abABCDE探究2：設(shè)向量a，如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？典例精析AR=RT=TC猜想：如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE分析：由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可。如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRTba解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。分析：由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TCABCDEFRTba第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系A(chǔ)BCDEFRTba第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的ABCDEFRTba第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系；所以AR=RT=TCABCDEFRTba第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系；歸納小結(jié)，反思建構(gòu)1、向量法解題的基本思路是幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化2、用向量方法研究幾何問題，需要用向量的觀點(diǎn)看問題，將幾何問題化歸為向量問題來解決.它既是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)能力.其中合理設(shè)置向量，并建立向量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.3、本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法:向量法---基向量法與坐標(biāo)法，待定系數(shù)法，向量法與幾何法比較,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸的