常數(shù)項級數(shù)的概念與斂散性常數(shù)項級數(shù)的概念與斂散性

1.常數(shù)項級數(shù)的概念知識點講解2.

典型例題講解常數(shù)項級數(shù)的概念引例

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形，設(shè)表示內(nèi)接正三角形面積,表示邊數(shù)增加時增加的面積，

則圓內(nèi)接正邊形面積為當(dāng)

時，這個和逼近于圓的面積

.即常數(shù)項級數(shù)的概念定義1給定數(shù)列稱無限和為常數(shù)項無窮級數(shù)，或無窮級數(shù).稱為級數(shù)的部分和.常數(shù)項級數(shù)的概念定義2

若級數(shù)的部分和極限存在，即若不存在，則稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散.則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)的和，記為常數(shù)項級數(shù)的概念定理若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱差值為級數(shù)的余項.若數(shù)項級數(shù)收斂于,典型例題講解例1

判斷數(shù)項級數(shù)是否收斂.解故級數(shù)收斂，且和為1.典型例題講解(1)當(dāng)時，(2)當(dāng)時，不存在，此時級數(shù)發(fā)散；例2

討論等比級數(shù)(也叫幾何級數(shù))的斂散性.解當(dāng)時，此時級數(shù)收斂，且和為典型例題講解此時級數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時，不存在，此時級數(shù)發(fā)散；(4)當(dāng)時，不存在，課程小結(jié)1.介紹了常數(shù)項級數(shù)的概念及斂散性

2.兩種常見級數(shù)的斂散性

無窮級數(shù)的性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念與斂散性

1.無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)知識點講解

2.典型例題講解無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)性質(zhì)1證明

令則說明級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.

若級數(shù)收斂于是任意常數(shù)，則也是收斂的，其和為無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)性質(zhì)2

若有兩個收斂級數(shù)證明

令則級數(shù)也收斂，其和為這說明級數(shù)也收斂，其和為級數(shù)的性質(zhì)級數(shù)

收斂的充要條件是：推論1

若級數(shù)收斂，則

級數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)（2）若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散，則它們的和、差必發(fā)散；（1）收斂級數(shù)可逐項相加減；（3）若兩級數(shù)都發(fā)散，它們的和、差不一定發(fā)散.

例如，取此時收斂；取此時發(fā)散.性質(zhì)2表明無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)推論2

若加括號后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散.

性質(zhì)3

在級數(shù)前面加上或減去有限項，不會影響級數(shù)的斂散性.

性質(zhì)4

收斂級數(shù)加括號所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù).

典型例題講解證明

因為

所以級數(shù)是發(fā)散的.例1

證明級數(shù)

是發(fā)散的.典型例題講解例2

證明調(diào)和級數(shù)

是發(fā)散的.證明

因為

由推論1無法判斷級數(shù)是發(fā)散的.在柯西收斂準(zhǔn)則中，取

所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.

典型例題講解例3

判斷級數(shù)

是否收斂；若收斂，求其和.解

因為級數(shù)