問題什么是序列算子??為什么要提出序列算子??序列算子的構(gòu)造原理是什么??已有哪些序列算子??如何應(yīng)用序列算子??問題什么是序列算子??主要內(nèi)容第二節(jié)沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子第三節(jié)均值生成算子第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律主要內(nèi)容第二節(jié)沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子第三節(jié)均值生成算子第四節(jié)灰色系統(tǒng)理論是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑,稱之為灰色序列生成一切灰色序列都可以通過某種生成弱化其隨機(jī)性,顯現(xiàn)規(guī)律性.序列算子是處理數(shù)據(jù)的一種方法。

引言灰色系統(tǒng)理論是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的,這是一例河南省長(zhǎng)葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù)（1983-1986年）為

X=(10155,12588,23480,35388)

其增長(zhǎng)勢(shì)頭很猛，1983-1986年每年平均遞增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均遞增67.7%，參與該縣發(fā)展規(guī)劃編制工作的各階層人士（包括領(lǐng)導(dǎo)層、專家層、群眾層）普遍認(rèn)為該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值今后不可能一直保持這么高的發(fā)展速度。用現(xiàn)有數(shù)據(jù)直接建模預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果人們根本無(wú)法接受。經(jīng)過認(rèn)真分析和討論，大家認(rèn)識(shí)到增長(zhǎng)速度高主要是由于基數(shù)低，而基數(shù)低的原因則是過去對(duì)有利于鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展的政策沒有用足、用活、用好。要弱化序列增長(zhǎng)趨勢(shì)，就需要將對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展比較有利的現(xiàn)行政策因素附加到過去的年份中，為此引入二階弱化算子，得到二階緩沖序列XD2=(27260,29547,32411,35388)

用XD2建模預(yù)測(cè)得，1986-2000年該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值每年平均遞增9.4%，這一結(jié)果是1987年得到的，與“八五”后半期和“九五”期間該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展實(shí)際基本吻合。引言例河南省長(zhǎng)葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值數(shù)據(jù)（1983-198原始數(shù)據(jù)與XD2數(shù)據(jù)曲線比較引言原始數(shù)據(jù)與XD2數(shù)據(jù)曲線比較引言第二節(jié)沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子強(qiáng)化緩沖算子弱化緩沖算子沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱緩沖算子公理緩沖算子性質(zhì)第二節(jié)沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子強(qiáng)化緩沖算子弱化緩沖算子沖擊擾定義2.2.1設(shè)為系統(tǒng)真實(shí)行為序列,而觀測(cè)到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為:其中,為沖擊擾動(dòng)項(xiàng),則稱X為沖擊擾動(dòng)序列.下面的討論圍繞一個(gè)總目標(biāo):由展開2.1沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱定義2.2.1設(shè)2.1沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱定義2.2.2設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為,若(1),則稱為單調(diào)增長(zhǎng)序列；(2)1中不等號(hào)反過來(lái)成立，則稱為單調(diào)衰減序列；(3)存在有則稱為隨機(jī)振蕩序列。設(shè)稱為序列的振幅。2.2緩沖算子公理定義2.2.2設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為2.2緩沖算子公理2.2緩沖算子公理2.2緩沖算子公理定義2.2.3設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，為作用于的算子，經(jīng)過算子作用后所得序列記為稱為序列算子，稱為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進(jìn)行多次，相應(yīng)的，若皆為序列算子，我們稱為二階算子，并稱為二階算子作用序列。同理稱為三階序列算子，并稱為三階算子作用序列，以此類推。2.2緩沖算子公理定義2.2.3設(shè)2.2緩沖算子公理公理2.2.1（不動(dòng)點(diǎn)公理）設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，為序列算子，則滿足不動(dòng)點(diǎn)公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)保持不變，即運(yùn)用序列算子對(duì)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，不改變這一即成事實(shí)。根據(jù)定性分析的結(jié)論，亦可使以前的若干個(gè)數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令其中，2.2緩沖算子公理公理2.2.1（不動(dòng)點(diǎn)公理）2.2緩沖算子公理公理2.2.2（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都應(yīng)充分的參與算子作用的全過程。信息充分利用公理限定任何序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有的序列中的信息為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，不允許拋開原始數(shù)據(jù)另搞一套。公理2.2.3（解析化、規(guī)范化公理）任意的,皆可由一個(gè)統(tǒng)一的的初等解析式表達(dá)。2.2緩沖算子公理公理2.2.2（信息充分利用2.2緩沖算子公理定義2.2.4

稱上述三個(gè)公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階，二階，三階……緩沖算子作用序列稱為一階，二階，三階……緩沖序列。定義2.2.5設(shè)為原始數(shù)據(jù)序列，為緩沖算子，當(dāng)分別為增長(zhǎng)序列、衰減序列或振蕩序列時(shí)：

(1)若緩沖序列比原始序列的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）減緩或振幅減小，我們稱緩沖算子為弱化算子；

(2)若緩沖序列比原始序列的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）加快或振幅增大，則稱緩沖算子為強(qiáng)化算子。2.2緩沖算子公理定義2.2.4稱上述三個(gè)2.3緩沖算子的性質(zhì)定理2.2.1

設(shè)為單調(diào)增長(zhǎng)序列，為其緩沖序列，則有

(1)為弱化算子

(2)為強(qiáng)化算子即單調(diào)增長(zhǎng)序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮。證明：設(shè)為原始數(shù)據(jù)序列中到的增長(zhǎng)率。為緩沖序列中到的增長(zhǎng)率。2.3緩沖算子的性質(zhì)定理2.2.1設(shè)2.3緩沖算子的性質(zhì)若為弱化算子，則，即，于是，即，反之亦然。若為強(qiáng)化算子，則，即，于是，即，反之亦然。2.3緩沖算子的性質(zhì)2.3緩沖算子的性質(zhì)定理2.2.2

設(shè)為單調(diào)衰減序列，為其緩沖序列，則有

(1)為弱化算子

(2)為強(qiáng)化算子即單調(diào)衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹。定理2.2.3

設(shè)為振蕩序列，為其緩沖序列，則有

(1)若為弱化算子，則

(2)若為強(qiáng)化算子，則2.3緩沖算子的性質(zhì)定理2.2.2設(shè)2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.4

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，皆為弱化算子。并稱為平均弱化緩沖算子(AWBO)。推論2.2.1

對(duì)于定理2.2.4中定義的弱化算子，令

則對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)、單調(diào)衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.4設(shè)原2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.5

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列和單調(diào)衰減序列時(shí)，皆為強(qiáng)化算子。推論2.2.2

對(duì)于定理2.2.5中定義的強(qiáng)化算子，令

則對(duì)于單調(diào)增長(zhǎng)、單調(diào)衰減序列，皆為二階強(qiáng)化算子。2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.5設(shè)原2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.6設(shè),令其中

則對(duì)單調(diào)增長(zhǎng)序列為強(qiáng)化算子，對(duì)單調(diào)衰減序列為強(qiáng)化算子。推論2.2.3對(duì)于定理2.2.6中定義的，則，分別為單調(diào)增長(zhǎng)、單調(diào)衰減序列的二階強(qiáng)化算子。2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.6設(shè)2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.7設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，皆為弱化算子。并稱為加權(quán)平均弱化緩沖算子(WAWBO)。證明:這里只證明單調(diào)增長(zhǎng)序列的情況，對(duì)單調(diào)衰減序列和振蕩序列類似可以證明。為單調(diào)增長(zhǎng)序列，則因此；所以，為弱化算子。2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.7設(shè)原2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.8

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，皆為弱化算子。并稱為幾何平均弱化緩沖算子(GAWBO)。證明容易驗(yàn)證，滿足緩沖算子三公理，因而為緩沖算子。

(1)當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，因?yàn)樗援?dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，為弱化緩沖算子。

(2)同理，當(dāng)為單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，皆為弱化算子。2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.2.8設(shè)原2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造例2.2.2

南京市農(nóng)林牧漁總產(chǎn)值數(shù)據(jù)（1996—1999）為（億元）增長(zhǎng)速度十分緩慢，平均每年的增長(zhǎng)率僅為2.4%，這與整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速增長(zhǎng)的大環(huán)境是不相適應(yīng)的，長(zhǎng)期發(fā)展下去，必將導(dǎo)致產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)發(fā)展不平衡，影響國(guó)民經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)增長(zhǎng)，因此，為了能夠及時(shí)準(zhǔn)確地把握經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展作科學(xué)合理的預(yù)測(cè)，必須對(duì)緩慢增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)加以處理，使其符合今后的發(fā)展趨勢(shì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行二階強(qiáng)化，得出二階緩沖序列數(shù)據(jù)為建立GM(1,1)模型為時(shí)間響應(yīng)式為2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造例2.2.2南京市農(nóng)林2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造根據(jù)上式，計(jì)算模擬結(jié)果并列擬合效果表和預(yù)測(cè)效果表如下。由表2.2.1和表2.2.2可以看出，應(yīng)用強(qiáng)化緩沖算子作用后的數(shù)據(jù)建模能夠取得良好的模擬效果和預(yù)測(cè)效果.

2.4實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造根據(jù)上式，計(jì)算模擬結(jié)果第三節(jié)均值生成算子第三節(jié)均值生成算子第三節(jié)均值生成算子在搜集數(shù)據(jù)時(shí)，常常出現(xiàn)空缺或者異常值。均值生成是常用的構(gòu)造新數(shù)據(jù)、填補(bǔ)老序列空穴、生成新序列的方法。定義2.3.1

設(shè)序列與為的一對(duì)緊鄰值，稱為前值，稱為后值，若為新信息，則對(duì)任意，稱為老信息。定義2.3.2設(shè)序列在處有空穴，記為，即則稱和為的界值，為前界，為后界，當(dāng)由與生成時(shí)，稱生成值為的內(nèi)點(diǎn)第三節(jié)均值生成算子在搜集數(shù)據(jù)時(shí)，常常出現(xiàn)空缺或第三節(jié)均值生成算子定義2.3.3

設(shè)和為序列中的一對(duì)緊鄰值，若有

(1)為老信息，為新信息；

(2)

則稱為由新信息和老信息在生成系數(shù)（權(quán)）下的生成值，當(dāng)時(shí)，稱的生成是“重新信息、輕老信息”生成；當(dāng)時(shí)，稱的生成是“重老信息、輕新信息”生成；當(dāng)時(shí)，稱的生成是非偏生成。第三節(jié)均值生成算子定義2.3.3設(shè)第三節(jié)均值生成算子定義2.3.4

設(shè)序列為在處有空穴的序列，而為非緊鄰均值生成數(shù)，用非緊鄰均值生成數(shù)填補(bǔ)空穴所得的序列稱為非緊鄰均值生成序列。當(dāng)為新信息時(shí)，非緊鄰均值生成是新老信息等權(quán)生成。在信息缺乏難以衡量新老信息對(duì)的影響程度時(shí)，采用等權(quán)生成。定義2.3.5設(shè)序列，若

則稱為緊鄰均值生成數(shù)。由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列稱為緊鄰均值生成序列。第三節(jié)均值生成算子定義2.3.4設(shè)序列第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成1.光滑比生成光滑比定義準(zhǔn)光滑序列2.級(jí)比生成級(jí)比定義相互關(guān)系如何??第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成1.光滑比生成2.級(jí)比生成相互第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成定義2.4.1稱為序列的光滑比。光滑比從反映序列的光滑性，即用序列中第個(gè)數(shù)據(jù)與其前個(gè)數(shù)據(jù)之和的比值來(lái)考察序列中數(shù)據(jù)變化是否平穩(wěn)。顯然，序列中的數(shù)據(jù)變化越平穩(wěn)，其光滑比越小。定義2.4.2若序列滿足

(1)(2)(3)

則稱為準(zhǔn)光滑序列。第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成定義2.4.1稱第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成當(dāng)序列的起點(diǎn)和終點(diǎn)為空穴，即時(shí)，我們無(wú)法采用均值生成填補(bǔ)空缺，只有轉(zhuǎn)而考慮別的方法。級(jí)比生成就是常用的填補(bǔ)序列端點(diǎn)空穴的方法。定義2.4.3設(shè)序列，則稱為序列的級(jí)比。定義2.4.4設(shè)為端點(diǎn)是空穴的序列：若用右鄰的級(jí)比生成，用左鄰的級(jí)比生成,則稱和為級(jí)比生成；按級(jí)比生成填補(bǔ)空穴所得的序列稱為級(jí)比生成序列。第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成當(dāng)序列的起點(diǎn)第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成命題2.4.1

設(shè)是端點(diǎn)為空穴的序列，若采取級(jí)比生成，則命題2.4.2

級(jí)比與前面定義的光滑比有下列關(guān)系命題2.4.3

若為遞增序列，且有

(1)對(duì)于

(2)對(duì)于即光滑比遞減，則對(duì)指定的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，必有第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成命題2.4.1設(shè)第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成例2.4.1

設(shè)序列,則對(duì)于,滿足。對(duì)于,滿足當(dāng)時(shí)，，第四節(jié)光滑比生成和級(jí)比生成例2.4.1設(shè)序第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.1設(shè)為原始序列,為序列算子,其中則稱為的一次累加生成算子，稱階算子為的次累加生成算子，記為,習(xí)慣上，我們記其中

第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.2設(shè)為原始序列,為序列算子,其中則稱為的一次累減生成算子。階算子為的次累減生成算子。我們記其中定理2.5.1累減生成算子是累加生成算子的逆算子，即鑒于累減過程與累加過程互逆，將累減生成算子記為。第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.2累加生成累減生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子累加生成累減生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律一般的非負(fù)準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會(huì)減少隨機(jī)性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律。原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也越明顯，如某市自行車銷售量數(shù)據(jù)序列和其一次累加生成序列的曲線分別如圖2.6.1和圖2.6.2所示。第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律一般的非負(fù)準(zhǔn)光滑序列經(jīng)過第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.1設(shè)連續(xù)函數(shù)為則當(dāng)(1)時(shí)，稱為齊次指數(shù)函數(shù)；(2)時(shí)，稱為非齊次指數(shù)函數(shù)。定義2.6.2設(shè)序列，若對(duì)于(1),則稱為齊次指數(shù)序列；(2),則稱為非齊次指數(shù)序列；第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.1設(shè)連續(xù)函數(shù)為第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定理2.6.1為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是，對(duì)于恒有成立。證明：設(shè)對(duì)任意,則：再設(shè)對(duì)任意,則第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定理2.6.1第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.3設(shè)序列