期中考試時(shí)間:5月5日上午10：00-12：00

期中考試時(shí)間:5月5日上午10：00-12：00一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：計(jì)算公式(重點(diǎn)）?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧首頁×計(jì)算公式(重點(diǎn)）?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑例5.計(jì)算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得例5.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分例6.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求解:

分段積分例6.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求解:例7.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則例7.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則習(xí)1解由對(duì)稱性,知習(xí)1解由對(duì)稱性,知四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義高等數(shù)學(xué)9-2第二類曲線積分課件例1.橢圓柱面被平面所截，求截得部分的側(cè)面積.解所求橢圓柱面的準(zhǔn)線是xoy面上的半個(gè)橢圓對(duì)L作分割，取微元?jiǎng)t相應(yīng)小柱面的側(cè)面積近似等于,因此側(cè)面積積分曲線L的參數(shù)方程為于是例1.橢圓柱面被平面高等數(shù)學(xué)9-2第二類曲線積分課件例2.L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)解:

如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為例2.L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)例3.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則例3.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸例4.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.例4.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處五、小結(jié)1.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的應(yīng)用五、小結(jié)1.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3.思考題?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與重積分進(jìn)行比較：這里，相同點(diǎn)：1。物理意義都是表示質(zhì)量（當(dāng)被積函數(shù)是密度函數(shù)）2?；啥ǚe分后的積分下限都小于積分上限不同點(diǎn)：重積分：不能代入，如曲線積分：可以代入，如思考題?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與重積分進(jìn)行比較：這里，相同點(diǎn)：1。一.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線C移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“分割”“近似求和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束&2、第二型曲線積分(對(duì)坐標(biāo)曲線積分）一.引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在分割：分割：求和取極限近似值精確值求和取極限近似值精確值二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義類似地定義類似地定義2.存在條件：3.組合形式2.存在條件：3.組合形式4.推廣4.推廣5.性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).

定積分是第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)）的特例,但不是第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)）的特例.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds

0,但定積分中dx

可能為負(fù).5.性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).定積分是第二三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理特殊情形特殊情形高等數(shù)學(xué)9-2第二類曲線積分課件例3.計(jì)算其中C為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.計(jì)算其中C為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解例4.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.計(jì)算其中L為(1)半徑為a圓心在原點(diǎn)的問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同例5解例5解高等數(shù)學(xué)9-2第二類曲線積分課件問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相其中（可以推廣到空間曲線上）四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系其中（可以推廣到空間曲線上）四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系可用向量表示有向曲線元；可用向量表示有向曲線元；二者夾角為

例6.設(shè)曲線段L

的長(zhǎng)度為s,證明續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二者夾角為例6.設(shè)曲線段L的長(zhǎng)度為s,證明續(xù),證例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周機(jī)動(dòng)1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧第二型曲線積分必須注意積分曲線弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?

對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧?對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng)目錄4.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對(duì)空間有向光滑弧

:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.兩類曲線積分的聯(lián)系?對(duì)空間有向光滑弧:機(jī)動(dòng)

曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算三代一定二代一定(與方向有關(guān))曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)三思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.作業(yè)P2501（2）（5）(8)；2（3）;5,6(1)作業(yè)人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古