高等數(shù)學(xué)—“十三五”一般高等教育規(guī)劃教材—GAODENGSHUXUE第1頁(yè)向量代數(shù)與空間解析幾何6.１空間直角坐標(biāo)系6.２向量概念及線性運(yùn)算6.３向量數(shù)量積與向量積6.４曲面方程與空間曲線方程6.５平面方程與空間直線方程6.６常見(jiàn)二次曲面06第2頁(yè)一、空間直角坐標(biāo)系在空間中取定一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作三條兩兩互相垂直數(shù)軸Ox、Oy、Oz，給它們?nèi)∠嗤L(zhǎng)度單位，則稱點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別稱三條數(shù)軸為x軸（或橫軸）、y軸（或縱軸）、z軸（或豎軸）．各坐標(biāo)軸正向按右手系法則確定，即右手展開(kāi)四指所指方向?yàn)镺x軸正方向，四指與掌心成９０°角時(shí)方向?yàn)镺y軸正方向，這時(shí)大拇指指向就是Oz軸正方向（圖６-１），這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，常記這個(gè)坐標(biāo)系為Oxyz．第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系第3頁(yè)三個(gè)坐標(biāo)平面將空間提成八個(gè)部分，每個(gè)部分稱為一種卦限，這八個(gè)卦限用下述辦法要求其次序，如圖６-３所示．第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系第一卦限x＞０，y＞０，z＞０；第二卦限x＜０，y＞０，z＞０；第三卦限x＜０，y＜０，z＞０；第四卦限x＞０，y＜０，z＞０；第五卦限x＞０，y＞０，z＜０；第六卦限x＜０，y＞０，z＜０；第七卦限x＜０，y＜０，z＜０；第八卦限x＞０，y＜０，z＜０．第4頁(yè)二、空間兩點(diǎn)間距離設(shè)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),為空間中兩點(diǎn)，如圖６-４所示，過(guò)M1M2點(diǎn)分別作垂直于三條坐標(biāo)軸平面，這六個(gè)平面圍成一種以M1M2為體對(duì)角線長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系因此，有即第5頁(yè)第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系例1在空間直角坐標(biāo)系Oxyx中，若點(diǎn)P（x，y，x）坐標(biāo)滿足xyx<0，則點(diǎn)P也許在哪幾個(gè)卦限內(nèi)？

解由已知條件xyx<0可知，點(diǎn)P也許在第二、四、五或七卦限.例2已知兩點(diǎn)M1（2，5，一1），M?（一3，1，1），求|M1M2|.

解由空間兩點(diǎn)間距離公式，有例3已知點(diǎn)A（4，1，9），B（10，一1，6），C（2，4，3），試判斷△ABC幾何形狀.

解由空間兩點(diǎn)間距離公式，有

由于|AB|=|AC|，且有|AB|2+|AC|2=|BC|2，因此△ABC是等腰直角三角形第6頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算一、向量基本概念

現(xiàn)實(shí)世界中，我們經(jīng)常見(jiàn)到量能夠分為兩類，其中一類是只有大小量，稱為數(shù)量（也稱為標(biāo)量或純量），如溫度、時(shí)間、長(zhǎng)度、質(zhì)量等；另一類是現(xiàn)有大小，又有方向量，稱為向量（或矢量），如力、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等.幾何上，向量常用有向線段來(lái)表達(dá)，起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B向量記為AB（圖6-5）.向量大?。ㄩL(zhǎng)度）稱為向量模，記作|AB|.有向線段方向稱為向量方向.一般地，向量也可用黑體小寫字母表達(dá)，如a、b等，有時(shí)為了書寫方便也用a、b表達(dá)向量.第7頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算二、向量線性運(yùn)算

1.向量加法由物理學(xué)可知，作用于同一質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)力F1與F2協(xié)力F可由平行四邊形法則（圖6-6）或三角形法則求得.據(jù)此能夠定義向量加法.設(shè)a與b為不在同一條直線上兩個(gè)向量，將它們始點(diǎn)移至同一點(diǎn)O，并記a=OA，b=OB.以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，如圖6-7所示，則稱向量OC=c為向量a與b和向量，記作c=a+b.這種求向量和辦法稱為向量加法平行四邊形法則.由于向量能夠平移，因此，若把向量b起點(diǎn)放到向量a終點(diǎn)上，則自a起點(diǎn)到b終點(diǎn)向量即為向量a與b和向量，如圖6-8所示.這種求向量和辦法稱為向量加法三角形法則.第8頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算向量加法滿足：交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.2.向量減法定義:向量a減向量b等于向量a加上向量b負(fù)向量，即a-b=a+（-b）.向量a減向量b運(yùn)算成果稱為向量a與b差.向量減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把a(bǔ)與b起點(diǎn)放在一起，則以b終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a終點(diǎn)為終點(diǎn)向量即是a-b（圖6-9）.3.向量與數(shù)乘法定義設(shè)入為任意實(shí)數(shù)，向量a與實(shí)數(shù)入λ乘積是一種向量，記作λa，并且要求：（1）（2）當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a方向相反.（3）當(dāng)λ=0時(shí)，a=0（零向量）第9頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算三、向量代數(shù)表達(dá)1.向量坐標(biāo)表達(dá)在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)任一點(diǎn)M（x，y，z），則起點(diǎn)在原點(diǎn)O、終點(diǎn)在點(diǎn)M向量a=OM，稱為點(diǎn)M向徑（圖6-10）.由向量線性運(yùn)算中數(shù)與向量乘法運(yùn)算，有OA=xi,OB=yj,OC=zk,由向量加法三角形法則，有OM=ON+NM=(OA+AN)+NM=xi+yi+zk,即a=OM=xi+yj+zk由以上論述可知，有序數(shù)組（x，y，x）與向量a之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故可用它來(lái)表達(dá)向量a，記作a=OM=（x，y，z）上式稱為向量a坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)x，y，x稱為向量a坐標(biāo).第10頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算2.向量M1M2坐標(biāo)表達(dá)

在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)兩點(diǎn)M1（x1，y1，z1），M2（x2，y1，z2），則對(duì)于以M1為起點(diǎn)，以M2為終點(diǎn)向量M1M2（圖6-11），有M1M2=OM2-OM1

=(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)

=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k，則向量M1M2坐標(biāo)體現(xiàn)式為M1M2=(x2-x1，y2-y1，z2-z1）.3.向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表達(dá)

利用向量坐標(biāo)表達(dá)，能夠?qū)⑾蛄烤€性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間代數(shù)運(yùn)算.設(shè)向量a=（x1，y1，z1），b=（x2,y2,z2），則有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）；（2）a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）；（3）a=（x1，y1，z1）.（為實(shí)數(shù)）第11頁(yè)第二節(jié)向量概念及線性運(yùn)算4.向量模及方向余弦坐標(biāo)表達(dá)（1）向量模在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M(ax，ay，az)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，以M為終點(diǎn)向徑OM為向量a，由空間兩點(diǎn)間距離公式，可知向量a=(ax，ay，az)模，即為

（2）向量方向角及方向余弦向量a=（ax，ay，az）方向能夠用a與x軸、y軸、z軸正方向夾角來(lái)確定，如圖6-12所示.

定義非零向量a與Ox軸、Oy軸、Ox軸正向夾角稱為向量a方向角，分別記作α,β,γ（其中，0≤a≤π，0≤β≤π，0≤γ≤π），則方向角余弦cosa，cosβ，cosγ稱為非零向量a方向余弦.第12頁(yè)第三節(jié)向量數(shù)量積與向量積一、兩向量數(shù)量積1.數(shù)量積定義及性質(zhì)定義：設(shè)兩個(gè)向量a、b，其夾角為（a，b），則稱數(shù)|a||b|cos（a，b）為向量a與b數(shù)量積（或點(diǎn)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cos(a,b)(0≤(a,b)≤π).

性質(zhì)：兩個(gè)非零向量a與b垂直（記作a⊥b）充要條件是a·b=0.不難證明，數(shù)量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：a·b=b·a；（2）結(jié)合律：（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b），其中為實(shí)數(shù)；（3）分派律：a·（b+c）=a·b+a·c.第13頁(yè)第三節(jié)向量數(shù)量積與向量積2.數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)

設(shè)向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則有a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=axbx(i·i)+axby(i·j)+axbz(i·k)+aybx(j·i)+ayby(j·j)+aybz(j·k)+azbx(k·i)+azby(k·j)+azbz(k·k)于是可得a·b=axbcx+ayby+azbz.上述公式稱為數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式.由此可知，兩個(gè)非零向量a與b垂直充要條件是尤其地，當(dāng)a=b時(shí)，有由數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式還可得到兩個(gè)非零向量a與b夾角余弦坐標(biāo)表達(dá)式第14頁(yè)第三節(jié)向量數(shù)量積與向量積3.向量在軸上投影如圖6-14所示，PR=b，PQ=a，∠RPQ=，S是點(diǎn)R在直線PQ上垂足，那么PS就稱為向量b在向量a上投影向量，記作projab.數(shù)值|b|cos稱為b在a上投影，記作compab.當(dāng)0≤<

時(shí)，projab與a同向，compab>0；當(dāng)<0≤x時(shí)，projab與a反向，compab<0；當(dāng)=時(shí)，即b⊥a，projab=0，compab=0.由于a·b=│a││b│cos=│a│（│b│cos）=│a│compab，因此，a與b數(shù)量積又可解釋為b在向量a上投影與a模乘積.又由于因此b在向量a上投影可由b與a方向上單位向量作數(shù)量積而得.第15頁(yè)第三節(jié)向量數(shù)量積與向量積二、兩向量向量積1.向量積定義及性質(zhì)定義：已知向量a與b，若向量c按下列方式給出：

正方向按右手系法則確定，即當(dāng)右手四指從a正向轉(zhuǎn)向b正向時(shí)，大拇指所指方向即是c正方向，則向量c稱為向量a與b向量積（或叉積，或外積），記作a×b，即c=a×b.2.向量積坐標(biāo)表達(dá)設(shè)向量a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），則有a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)=axbx(i×i)+axby(i×j)+axbz(i×k)+aybx(j×i)+ayby(j×j)+aybz(j×k)+azbx(k×i)+azby(k×j)+azbz(k×k),因此a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,上式稱為向量積坐標(biāo)表達(dá)式.第16頁(yè)第四節(jié)曲面方程與空間曲線方程一、曲面方程1.曲面方程定義：假如曲面S與三元方程F（x，y，z）=0有下述關(guān)系：（1）曲面S上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程，（2）不在曲面S上點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方程，則稱方程F（x，y，x）=0是曲面S方程，而曲面S就是方程F（x，y，z）=0圖象.由上述定義可知，作為點(diǎn)幾何軌跡曲面S能夠用其上點(diǎn)（x，y，x）坐標(biāo)間方程F（x，y，x）=0來(lái)表達(dá).反過(guò)來(lái)，三個(gè)變量x，y，x之間方程F（x，y，x）=0表達(dá)點(diǎn)（x，y，x）軌跡所形成曲面S.由此，方程F（x，y，2）=0與空間曲面S建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系.空間解析幾何有關(guān)曲面研究，有下列兩個(gè)基本問(wèn)題：（1）已知曲面S作為點(diǎn)M（x，y，x）幾何軌跡，建立該曲面方程F（x，y，x）=0；（2）已知有關(guān)x，y，x方程F（x，y，x）=0，研究該方程所示曲面S幾何特性.第17頁(yè)第四節(jié)曲面方程與空間曲線方程2.母線平行于坐標(biāo)軸柱面方程在xOy坐標(biāo)平面上，方程F（x，y）=0表達(dá)一條曲線C.在空間直角坐標(biāo)系中，方程F（x，y）=0表達(dá)一種曲面.在曲線C上任取一點(diǎn)M0（x，y，0），過(guò)該點(diǎn)作平行于Oz軸直線L，在該直線上任取一點(diǎn)M（x，y，z），則點(diǎn)M坐標(biāo)肯定滿足方程F（x，y）=0，可知過(guò)點(diǎn)M0且與Ox軸平行直線L落在曲面F（x，y）=0上.由于M0任意性，可理解為由平行于Oz軸直線L沿曲線C移動(dòng)，所得到曲面上點(diǎn)必滿足方程F（x，y）=0.具有這種特性曲面稱之為柱面.對(duì)應(yīng)平面曲線C稱為柱面準(zhǔn)線，平行于Oz軸移動(dòng)直線L稱為柱面母線.3.以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)曲面平面曲線C繞同一平面上定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面母線，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)軸.若給定yOz平面上一條曲線C：將C繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，稱Oe軸為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)軸（圖6-18）.第18頁(yè)第四節(jié)曲面方程與空間曲線方程二、空間曲線方程1.曲線一般式方程一般地，空間兩曲面相交，它們交線為一條曲線.設(shè)F1（x，y，z）=0和F2（x，y，x）=0為空間兩曲面方程，若它們交線為曲線C，則C上任一點(diǎn)坐標(biāo)肯定滿足這兩個(gè)曲面方程.反之，坐標(biāo)同步滿足這兩個(gè)曲面方程點(diǎn)也肯定在它們交線C上因此空間曲線方程為此方程稱為曲線一般式方程.2.曲線參數(shù)方程在平面中，常用參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)表達(dá)一條平面曲線.同理，也能夠用參數(shù)方程表達(dá)一條空間曲線.一般地，空間曲線參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t).其中變量t稱為參數(shù).第19頁(yè)第四節(jié)曲面方程與空間曲線方程3.空間曲線在坐標(biāo)平面上投影曲線方程設(shè)空間曲線C方程為

過(guò)曲線C上每一點(diǎn)作xOy面垂線，這些垂線在xOy面上垂足所形成曲線就是曲線C在xOy平面上投影.而過(guò)曲線C上每一點(diǎn)作xOy面垂線就相稱于作一種母線平行于Oz軸柱面，使曲線C位于該柱面上，此柱面稱為投影柱面，則這個(gè)投影柱面與xOy平面交線就是曲線C在xOy平面上投影.第20頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程一、平面方程1.平面點(diǎn)法式方程

設(shè)非零向量n垂直于平面Ⅱ，則稱n為平面Ⅱ法向量.顯然，平面法向量有沒(méi)有數(shù)個(gè)且互相平行.設(shè)平面Ⅱ過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0），n=（A，B，C）為其法向量，下面利用向量運(yùn)算建立平面Ⅱ方程.設(shè)M（x，y，z）是平面Ⅱ上任意一點(diǎn)，則M0M在平面Ⅱ上，由于n⊥Ⅱ，因此，有n⊥M0M，則n·M0M=0,而M0M=（x-x0，y-y0，z-z0），因此A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(1)由于平面Ⅱ上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程（1），而不在平面Ⅱ上點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方程（1），因此，方程（1）就是過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0）且法向量為n=（A，B，C）平面點(diǎn)法式方程.第21頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程2.平面一般式方程將平面點(diǎn)法式方程（1）展開(kāi)，得Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,令D=-Ax0-By0-Cz0，則有Ax+By+Cz+D=0（A，B，C不全為零）.(3)設(shè)（x0，y0，z0）為方程（3）一組解，則有Ax0+By0+Cz0+D=0,(4)方程（3）減去方程（4）得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(5)這正是過(guò)點(diǎn)（x0，y0，z0）且以n=（A，B，C）為法向量平面方程.而式（5）與式（3）同解，因此，式（3）代表一平面方程，其中n=（A，B，C）為平面法向量.式（3）稱為平面一般式方程.第22頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程3.兩平面位置關(guān)系為了描述平面之間位置關(guān)系，先引入兩平面夾角定義.兩平面法向量之間夾角稱為這兩個(gè)平面間夾角.設(shè)兩平面Ⅱ1、Ⅱ2方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.它們法向量分別為n1=（A1，B1，C1），n2=（A2，B2，C2）.設(shè)這兩個(gè)平面法向量夾角，即兩平面夾角為θ（0°≤θ≤90°），則兩平面夾角θ余弦為即為兩平面夾角余弦公式.第23頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程4.點(diǎn)到平面距離已知點(diǎn)M0（x0，y0，z0），平面Ⅱ：Ax+By+Cz+D=0，現(xiàn)推尋點(diǎn)M0到平面Ⅱ距離公式.設(shè)點(diǎn)M（x，y，z）是平面Ⅱ上任意一點(diǎn)，則Ax+By+Cz=-D.若點(diǎn)M0不在平面Ⅱ上，過(guò)點(diǎn)M0作平面Ⅱ垂線，記垂足為N，則M0到平面Ⅱ距離d等于向量M0M在法線n上投影絕對(duì)值，即d=│compnM0M│.即為點(diǎn)到平面距離公式.因而d=│compnM0M│=第24頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程二、空間直線方程1.直線點(diǎn)向式方程若非零向量s與直線L平行，則稱s為直線L方向向量.顯然，一條直線方向向量有沒(méi)有數(shù)個(gè)且互相平行.直線上任歷來(lái)量都平行于該直線方向向量.已知直線上一點(diǎn)以及直線方向向量能確定直線方程.設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0），非零向量s=（m，n，p）是直線L一種方向向量，現(xiàn)推導(dǎo)直線L方程.設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點(diǎn).由于向量M0M=（x-x0，y-y0，z-z0）在直線L上，因此M0M∥s，

即有上式稱為直線點(diǎn)向式方程，或稱為標(biāo)準(zhǔn)式方程，或稱為對(duì)稱式方程.m，n，p稱為方向數(shù).第25頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程2.直線參數(shù)式方程對(duì)于直線點(diǎn)向式方程假如令其比值為t，即則有（2）上式（2）稱為直線參數(shù)式方程，t稱為參數(shù).3.直線一般式方程空間直線還能夠看作是兩個(gè)不平行平面交線，因此可用這兩個(gè)平面方程聯(lián)立方程組來(lái)表達(dá)一條直線，即用兩個(gè)系數(shù)不成百分比三元一次方程組成方程組第26頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程表達(dá)一條直線，稱上式（3）為直線一般式方程.（3）4.兩直線位置關(guān)系設(shè)兩直線方程為則它們方向向量分別為s1=（m1，n1，p1），s2=（m2，n2，p2）.由兩直線方向向量夾角余弦公式可知，這兩直線夾角θ（0°≤θ≤90°）滿足第27頁(yè)第五節(jié)平面方程與空間直線方程5.直線與平面位置關(guān)系已知直線L與平面Ⅱ，其方程分別為過(guò)直線L作一種與平面Ⅱ垂直平面Ⅱ1，則稱Ⅱ山與IⅡ交線L′是直線L在平面Ⅱ上投影線.直線L與它在Ⅱ投影線L′有兩個(gè)交角，現(xiàn)定義θ（0°≤θ≤90°）為直線與平面夾角，如圖6-22所示.直線L與平面Ⅱ法向量n之間夾角為或.設(shè)直線L方向向量為s=（m，n，p），由于故由兩向量間夾角余弦公式，可得上述公式稱為直線與平面夾角公式．第28頁(yè)第六節(jié)常見(jiàn)二次曲面1.橢球面由方程所確定曲面稱為橢球面，其中a，b，c分別為橢球面半長(zhǎng)軸、半中軸及半短軸.如圖6-23所示.當(dāng)a=b=c時(shí)，橢球面即為球面.一般對(duì)所給曲面方程使用平行截痕法研究其曲面幾何特性.所謂“平行截痕法”，即是用三組平行于坐標(biāo)面平面截割所給曲面，通過(guò)所得截痕，分析曲面幾何特性.用xOy面（x=0）來(lái)截橢球面，其截痕為xOy平面上橢圓第29頁(yè)第六節(jié)常見(jiàn)二次曲面2.單葉雙曲面由方程所表達(dá)曲面稱為單葉雙曲面.3.雙葉雙曲面由方程所表達(dá)曲面稱為雙葉雙曲面.4.二次錐面由方程所表達(dá)曲面稱為二次錐面.第30頁(yè)第六節(jié)常見(jiàn)二次曲面5.橢圓拋物面由方程所確定曲面稱為橢圓拋物面.6.雙曲拋物面由方程所確定曲面稱為雙曲拋物面.第31頁(yè)多元函數(shù)微分學(xué)7.１多元函數(shù)極限與連續(xù)7.２偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)7.３全微分7.４復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法7.５方向?qū)?shù)與梯度7.６多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用7.7多元函數(shù)極值07第32頁(yè)一、多元函數(shù)概念第一節(jié)多元函數(shù)極限與連續(xù)1.多元函數(shù)定義定義：設(shè)有三個(gè)變量x，y和x，D是xOy坐標(biāo)面上非空點(diǎn)集，假如對(duì)任意點(diǎn)（x，y）D，變量z按照一定法則f，總有唯一確定值與之對(duì)應(yīng)，則稱z是變量x，y二元函數(shù).記作x=f(x,y),(x,y)D.2.二元函數(shù)定義域二元函數(shù)定義域是二維平面R2上非空點(diǎn)集.三元函數(shù)定義域是三維空間R3上非空點(diǎn)集.類似地，n元函數(shù)定義域是n維空間Rn上非空點(diǎn)集.求二元函數(shù)定義域與求一元函數(shù)定義域辦法相類似.二元函數(shù)z=f（x，y）定義域就是使得體現(xiàn)式f（x，y）故意義點(diǎn)集合.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域還應(yīng)當(dāng)根據(jù)問(wèn)題實(shí)際意義來(lái)確定.第33頁(yè)第一節(jié)多元函數(shù)極限與連續(xù)3.二元函數(shù)幾何意義在平面直角坐標(biāo)系中，一元函數(shù)y=f（x）圖形，一般表達(dá)xOy坐標(biāo)平面上一條曲線.對(duì)于二元函數(shù)x=f（x，y），則需要在空間直角坐標(biāo)系中研究它幾何意義.設(shè)函數(shù)x=f（x，y）定義域是xOy坐標(biāo)平面上點(diǎn)集D，對(duì)于D內(nèi)任意一點(diǎn)P0（x0，y0），把所對(duì)應(yīng)函數(shù)值z(mì)0=f（.x0，y0）作為豎坐標(biāo)，就得到空間直角坐標(biāo)系中一種確定點(diǎn)M0（x0，y0，z0）.當(dāng)點(diǎn)P（x，y）取遍定義域D內(nèi)所有點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)M（x，y，z）軌跡就形成了空間中一張曲面（圖7-4），這就是二元函數(shù)幾何意義.而二元函數(shù)定義域D就是此空間曲面在xOy平面上投影.三元或三元以上多元函數(shù)沒(méi)有直觀幾何意義.第34頁(yè)二、二元函數(shù)極限第一節(jié)多元函數(shù)極限與連續(xù)定義：設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）D，且在P0（x0，y0）任一去心鄰域內(nèi)都有使f（x，y）有定義點(diǎn).假如對(duì)于任意給定正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于滿足不等式一切點(diǎn)P（x，y），都有或恒成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f（x，y）當(dāng)x→x0，y→y0時(shí)極限.記作其中第35頁(yè)三、二元函數(shù)連續(xù)性第一節(jié)多元函數(shù)極限與連續(xù)類似于一元函數(shù)連續(xù)定義，給出二元函數(shù)連續(xù)定義.定義1：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）定義區(qū)域?yàn)镈，P0（x0，y0）D，假如則稱函數(shù)x=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處連續(xù).點(diǎn)P0稱為x=f（x，y）連續(xù)點(diǎn).定義2：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）定義區(qū)域?yàn)镈，且P0（x0，y0）D，P（x0+△∈x，y0+△y）∈D，假如則稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處連續(xù).若函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D上每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱x=f（x，y）在區(qū)域D上連續(xù).二元連續(xù)函數(shù)x=f（x，y）圖形是一張曲面.第36頁(yè)一、偏導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)定義定義：設(shè)函數(shù)x=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量△x時(shí)，對(duì)應(yīng)地函數(shù)有增量△zx（稱為對(duì)x偏增量），即△zx=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0),

它是平面y=y0上一條曲線z=f（x，y0）.根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可知偏導(dǎo)數(shù)fx（x0，y0）就是曲線x=f（x，y0）在點(diǎn)M0（x0，y0，f（x0，y0））處切線Tx有關(guān)Ox軸斜率（圖7-10）.２．偏導(dǎo)數(shù)幾何意義幾何上，二元函數(shù)z=f（x，y）圖形表達(dá)空間一張曲面.當(dāng)y=y0時(shí)，曲面z=f（x，y）與平面y=y0交線方程為第37頁(yè)二、偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算辦法第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)

從多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義可知，多元函數(shù)對(duì)某一變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，其他變量均視為常量，因此多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，事實(shí)上可視為一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù).這樣，一元函數(shù)求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對(duì)求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)仍然適用.例如，求二元函數(shù)z=f（x，y）偏導(dǎo)數(shù)，能夠?qū)看作常數(shù)，只需z對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，能夠?qū)看作常數(shù)，只需z對(duì)y求導(dǎo)數(shù).因此利用一元函數(shù)求導(dǎo)法則和公式求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)即可.第38頁(yè)三、高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)x=f（x，y）在區(qū)域D上有偏導(dǎo)數(shù)

一般地說(shuō)，fx（x，y），fy（x，y）仍為x，y函數(shù).若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y），fy（x，y）偏導(dǎo)數(shù)仍然存在，則稱fx（x，y），fy（x，y）偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)z=f（x，y）二階偏導(dǎo)數(shù).

類似地，能夠定義更高階偏導(dǎo)數(shù)，例如，對(duì)x三階偏導(dǎo)數(shù)是

對(duì)x二階偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)是

同樣可得四階、五階乃至n階偏導(dǎo)數(shù).一種多元函數(shù)（n-1）階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)稱為本來(lái)函數(shù)n階偏導(dǎo)數(shù).第39頁(yè)一、全微分概念第三節(jié)全微分

定義:設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)全增量可表達(dá)為其中，A，B與△x，△y無(wú)關(guān)，當(dāng)→0時(shí)，o（）是比高階無(wú)窮小，則稱A△x+B△y為z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處全微分，記作，即并稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處可微.第40頁(yè)二、全微分存在必要條件和充足條件第三節(jié)全微分

定理1（全微分存在必要條件）:若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（.x0，y0）處可微，則它在點(diǎn)（x0，y0）處必連續(xù)，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，并有

定理2（全微分存在充足條件）:若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y），fy（x，y）存在且連續(xù)，則z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處可微.第41頁(yè)三、全微分在近似計(jì)算中應(yīng)用第三節(jié)全微分設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)全增量能夠表達(dá)為其中由全微分定義知，當(dāng)→0時(shí)，函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處全增量與全微分之差是一種比高階無(wú)窮小，因此，當(dāng)|△x|和|△y|都很小時(shí)，有如下近似計(jì)算公式：或?qū)憺槔蒙鲜龉?，能夠?jì)算函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處全增量△z和點(diǎn)（x0，y0）附近函數(shù)值f（x0+△x，y0+△y）近似值.第42頁(yè)一、復(fù)合函數(shù)微分法第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法

1.復(fù)合函數(shù)微分法則

定理：若函數(shù)u=（x，y），v=（x，y）在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[（x，y），（x，y）]在點(diǎn)（x，y）處偏導(dǎo)數(shù)存在，且有

2.全微分形式不變性我們已經(jīng)懂得，一元函數(shù)有微分形式不變性.類似地，多元函數(shù)也有微分形式不變性，即對(duì)于函數(shù)z=f（u，v），無(wú)論u，v是自變量，或是中間變量，它微分形式都是同樣，亦即這一性質(zhì)稱為全微分形式不變性.第43頁(yè)二、隱函數(shù)微分法第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法

1.由二元方程F（x，y）=0所確定一元隱函數(shù)y=f（x）求導(dǎo)公式設(shè)隱函數(shù)關(guān)系y=f（x）由二元方程F（x，y）=0確定，那么，必然有F[x,f(x)]=0.其左端能夠看作是x一種復(fù)合函數(shù)，若F（x，y）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，等式兩端對(duì)x求全導(dǎo)數(shù)，有

2.由三元方程F（x，y，z）=0所確定二元隱函數(shù)z=f（x，y）求導(dǎo)公式與一元隱函數(shù)概念類似，把由三元方程F（x，y，x）=0所確定隱函數(shù)z=f（x，y）稱為二元隱函數(shù).由方程F（x，y，x）=0能夠直接求出所確定隱函數(shù)z=f（x，y）偏導(dǎo)數(shù).第44頁(yè)一、方向?qū)?shù)第五節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

定義：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）某一鄰域內(nèi)有定義，自點(diǎn)P引一條射線l，它與Ox軸正向夾角為a，與Oy軸正向夾角為β（圖7-19），在射線l上任取一點(diǎn)P′（x+△x，y+△y），則P與P′之間距離為

定理:假如函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l向?qū)?shù)存在，且其中，cosα，cosβ是l方向方向余弦.第45頁(yè)二、梯度第五節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

定義：定義設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）某一鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量為函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）處梯度，記作gradz，即梯度概念能夠推廣到三元函數(shù).設(shè)函數(shù)u=f（x，y，z）在點(diǎn)P（x，y，z）處可微，稱向量為函數(shù)u=f（x，y，z）梯度，記作gradu，即

與二元函數(shù)梯度類似，三元函數(shù)梯度也是一種向量，它方向與方向?qū)?shù)取得最大值方向一致，而它模為方向?qū)?shù)最大值.第46頁(yè)一、空間曲線切線與法平面第六節(jié)多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用

利用多元函數(shù)微分法，能夠求出空間曲線上任一點(diǎn)M處切線方程與法平面方程.設(shè)空間曲線L由參數(shù)方程給出

假設(shè)x（t），y（t），z（t）都可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)不一樣步為零.當(dāng)參數(shù)t=t0時(shí)，對(duì)應(yīng)于曲線L上點(diǎn)M0（x0，y0，z0），當(dāng)參數(shù)t=t0+△t時(shí)，對(duì)應(yīng)于曲線L上點(diǎn)M（x0+△x，y0+△y，z0+△z）.由空間解析幾何可知，割線M0M方程為

曲線L在點(diǎn)M0處法平面方程為第47頁(yè)二、空間曲面切平面與法線第六節(jié)多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用

1.空間曲面S由方程F（x，y，z）=0給出設(shè)曲面S上點(diǎn)M0（x0，y0，z0），且在點(diǎn)M0處有不一樣步為零連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).任取曲面S上一條過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0）曲線L（圖7-21），設(shè)曲線L參數(shù)方程為第48頁(yè)第六節(jié)多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用

2.空間曲面S由顯函數(shù)z=f（x，y）給出假如空間曲面S由函數(shù)z=f（x，y）給出，令則有于是，當(dāng)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，曲面S在點(diǎn)M0（x0，y0，z0）處切平面方程為fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0.即z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).曲面S在點(diǎn)M0（x0，y0，z0）處法線方程為在點(diǎn)M0處法線向量為n=（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1）.第49頁(yè)一、多元函數(shù)極值第七節(jié)多元函數(shù)極值

定義：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）某個(gè)鄰域內(nèi)有定義.假如對(duì)于該鄰域內(nèi)任一異于P0點(diǎn)P（x，y），恒有如下不等式成立：f（x，y）≤f（x0，y0）（或f（x，y）≥f（x0，y0）），則稱函數(shù)x=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處取得極大值（或極小值）f（x0，y0），并稱點(diǎn)P0（x0，y0）為函數(shù)f（x，y）極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.函數(shù)極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，函數(shù)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).

定理（極值存在必要條件）:設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處有極值，且在點(diǎn)P0（x0，y0）處偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.

定理（極值存在充足條件）:設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）某個(gè)鄰域內(nèi)具有連續(xù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)（x0，y0）是函數(shù)f（x，y）駐點(diǎn)，即fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0.記A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），則第50頁(yè)第七節(jié)多元函數(shù)極值（1）當(dāng)B2-AC<0時(shí)，函數(shù)具有極值fxx（x0，y0），且A<0時(shí)，（x0，y0）為極大值點(diǎn)，f（x0，y0）為極大值；A>0時(shí)，（x0，y0）為極小值點(diǎn)，f（x0，y0）為極小值.（2）當(dāng)B2-AC>0時(shí)，f（x0，y0）不是極值.（3）當(dāng)B2-AC=0時(shí)，f（x0，y0）也許是極值，也也許不是極值，此法失效，需另行鑒別.第51頁(yè)二、多元函數(shù)最大值與最小值第七節(jié)多元函數(shù)極值

由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知，假如函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在該區(qū)域上一定能取得最大值和最小值，并且函數(shù)最值只也許在有界區(qū)域內(nèi)部極值點(diǎn)處或區(qū)域邊界上取得.假如函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在，且只有唯一駐點(diǎn)（x0，y0），而根據(jù)問(wèn)題實(shí)際意義能夠判定函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)一定存在最大值（或最小值），那么f（x0，y0）就是實(shí)際問(wèn)題所要求最大值（或最小值）.三、條件極值

求函數(shù)z=f（x，y）在約束條件（x，y）=0下極值辦法稱為拉格朗日乘數(shù)法.詳細(xì)求解步驟如下：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（稱為拉格朗日函數(shù)）F（x，y，λ）=f（x，y）+λ（x，y），其中λ為待定常數(shù)，稱為拉格朗日系數(shù)，將原條件極值問(wèn)題化為求三元函數(shù)F（x，y，λ）無(wú)條件極值問(wèn)題；第52頁(yè)第七節(jié)多元函數(shù)極值

（2）求F（x，y，λ）偏導(dǎo)數(shù)，并建立方程組解方程組，得出也許極值點(diǎn)（x，y）和λ；

（3）判斷求出點(diǎn)（x，y）是否為極值點(diǎn)，一般可根據(jù)問(wèn)題實(shí)際意義判定.拉格朗日乘數(shù)法，對(duì)于多于兩個(gè)變量函數(shù)，或約束條件多于一種情況也有類似成果.例如，求函數(shù)u=f（x，y，z）在條件(x,y,z)=0,(x,y,z)=0下極值.構(gòu)造輔助函數(shù)F(x,y,z,λ1,λ2)=f(x,y,z)+λ1(x,y,z)+λ2(x,y,z)求F（x，y，z，λ1，λ2）一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，建立并求解方程組，得出駐點(diǎn)（x，y，z）就是也許極值點(diǎn).第53頁(yè)重積分8.１二重積分概念與性質(zhì)8.２二重積分計(jì)算8.３三重積分08第54頁(yè)一、兩個(gè)引例第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)

引例1（曲頂柱體體積）設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在有界閉區(qū)域D上非負(fù)且連續(xù)，以曲面z=f（x，y）為頂、xOy平面上區(qū)域D為底，以D邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于Oz軸柱面為側(cè)面立體圖形稱為曲頂柱體（圖8-1）.求曲頂柱體體積.

引例2（非均勻物質(zhì)平面薄板質(zhì)量）已知一平面薄板，在xOy平面上占有區(qū)域D，其質(zhì)量分布面密度u=u（x，y）為D上連續(xù)函數(shù)，求平面薄板D質(zhì)量.如圖8-2所示.由于質(zhì)量分布非均勻，求平面薄板D質(zhì)量也通過(guò)“分割，近似替代，求和，取極限”四個(gè)步驟來(lái)處理.第55頁(yè)二、二重積分定義第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)

定義：設(shè)z=f（x，y）是定義在有界閉區(qū)域D上有界函數(shù)，將D任意分割成n個(gè)小區(qū)域△σi（i=1，2…，n），并以△σi，表達(dá)第i個(gè)小區(qū)域面積，在每個(gè)小區(qū)域△σi上任取一點(diǎn)（，），作乘積f（，）△σi（i=1，2…，n），并作和式

定理（二重積分存在定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)f（x，y）一定可積.三、二重積分物理意義與幾何意義1.二重積分物理意義二重積分物理意義是非均勻密度平面薄板質(zhì)量等于其面密度u=u（x，y）在區(qū)域D上二重積分第56頁(yè)第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)

2.二重積分幾何意義（1）若在區(qū)域D上恒有f（x，y）≥0，則二重積分表達(dá)以區(qū)域D為底，曲面z=f（x，y）為頂曲頂柱體體積V，即（2）若在區(qū)域D上恒有f（x，y）≤0，則上述曲頂柱體在xOy平面下方，二重積分值是負(fù)數(shù)，用表達(dá)以區(qū)域D為底，曲面z=f（x，y）為頂曲頂柱體體積V，即（3）若f（x，y）在D某些子區(qū)域上為正，在D另某些子區(qū)域上為負(fù)，則表達(dá)在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積代數(shù)和.第57頁(yè)第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)性質(zhì)1有限項(xiàng)可積函數(shù)代數(shù)和積分等于各函數(shù)積分代數(shù)和，即四、二重積分性質(zhì)性質(zhì)2被積函數(shù)中常數(shù)因子能夠提到積分號(hào)外面，即（k為常數(shù)）.性質(zhì)3（積分區(qū)域可加性）假如閉區(qū)域D被連續(xù)曲線提成兩個(gè)閉區(qū)域D1和D2，D1和D2除邊界外無(wú)公共點(diǎn)，則性質(zhì)4若在區(qū)域D上，f（x，y）=1，且區(qū)域D面積為σ，則性質(zhì)5若在區(qū)域D上，f（x，y）≤g（x，y），則第58頁(yè)第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)性質(zhì)6（估值定理）設(shè)M和m分別為函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上最大值和最小值，σ是D面積，則性質(zhì)7（二重積分中值定理）設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是區(qū)域D面積，則在D上最少存在一點(diǎn)（,），使得第59頁(yè)一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分第二節(jié)二重積分計(jì)算

1.D為X形區(qū)域若積分區(qū)域D為X形區(qū)域，即D可表達(dá)為：a≤x≤b，（x）≤y≤（x），其中函數(shù)（x），（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)（圖8-4）.如圖8-6所示，在[a，b]上任取一微元小區(qū)間[x，x+dx]，其上立體薄片近似看作以S（x）為底，dx為高小直柱體，就得到體積微元為第60頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算于是所求曲頂柱體體積為從而得到二重積分計(jì)算公式

2.D為Y形區(qū)域若積分區(qū)域D為Y形區(qū)域，即D可表達(dá)為：c≤y≤d，（y）≤x≤（y），其中函數(shù)（y），（y）在閉區(qū)間[c，d]上連續(xù)（圖8-7）.第61頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算假如D是Y形區(qū)域，在[c，d]上任意取定一點(diǎn)y0，過(guò)y0作垂直于Oy軸（或平行于xOz坐標(biāo)面）平面，該平面截曲頂柱體所得截面是一種以區(qū)間[（y0），（y0）]為底，曲線z=f（x，0）為曲邊曲邊梯形，其面積為一般地，過(guò)[c，d]上任一點(diǎn)y且垂直于Oy軸（或平行于zOx坐標(biāo)面）平面截曲頂柱體所得截面面積為在[c，d]上任取一微元小區(qū)間[y，y+dy]，其上立體薄片近似看作以S（y）為底，dy為高小直柱體，就得到體積微元為于是所求曲頂柱體體積為從而得到二重積分計(jì)算公式第62頁(yè)二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分第二節(jié)二重積分計(jì)算

1.極坐標(biāo)系下二重積分體現(xiàn)式設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在區(qū)域D上可積，若用極坐標(biāo)來(lái)描述區(qū)域D，假定從極點(diǎn)O出發(fā)穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部射線與D邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)，用以極點(diǎn)為中心一族同心圓和以極點(diǎn)為頂點(diǎn)一族射線把區(qū)域D提成n個(gè)小區(qū)域（圖8-16）.若第i個(gè)小區(qū)域△σi；是由r=ri，r=ri+△ri，θ=θi與θ=θi+△θi所圍成，由扇形面積公式可得忽視高階無(wú)窮小有設(shè)△σ是半徑為r和r+dr兩圓弧與極角為θ和θ+dθ兩條射線所圍成小區(qū)域，則△σ面積可近似看作邊長(zhǎng)為△r和r△θ小矩形域面積，即.因此，在極坐標(biāo)系下面積微元為

于是就可把直角坐標(biāo)系下二重積分化為極坐標(biāo)系下二重積分第63頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算

2.極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算將直角坐標(biāo)系下二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下二重積分，應(yīng)注意下列問(wèn)題：（1）將面積元素dσ=dxdy換為dσ=rdrdθ；（2）將x=rcosθ，y=rsinθ代入被積函數(shù)，即f（x，y）=f（rcosθ，rsinθ）；（3）將區(qū)域D邊界曲線換為極坐標(biāo)系下體現(xiàn)式；（4）將極坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分，一般情況下，先對(duì)r積分，后對(duì)θ積分，要根據(jù)積分區(qū)域類型確定對(duì)應(yīng)積分限.三、二重積分應(yīng)用

1.求平面圖形面積由二重積分性質(zhì)可知，當(dāng)f（x，y）=1時(shí)，二重積分表達(dá)平面區(qū)域D面積，因此能夠利用二重積分計(jì)算平面圖形面積.第64頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算

2.求空間幾何體體積由二重積分幾何意義可知，當(dāng)f（x，y）≥0時(shí)，二重積分表達(dá)以區(qū)域D為底，曲面z=f（x，y）為頂曲頂柱體體積V.因此能夠利用二重積分求空間封閉曲面所圍成有界區(qū)域體積.

3.求空間曲面面積設(shè)空間曲面S方程為z=f(x,y),(x,y)∈Dxy,S在xOy平面上投影區(qū)域?yàn)镈xy，并設(shè)f（x，y）在Dxy上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).首先，將區(qū)域Dxy任意提成n個(gè)小區(qū)域△σi（i=1，2…，n），以每個(gè)△σi邊界限為準(zhǔn)線，作母線平行于Oz軸柱面，這些柱面把曲面S提成對(duì)應(yīng)n小塊△si.在△si上任取一點(diǎn)（xi，yi，zi）.設(shè)曲面S在該點(diǎn)切平面被對(duì)應(yīng)小柱面所截得截面為△Ai，則可用平面塊△A，面積近似替代曲面塊△si面積（圖8-27）.由于第65頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算其中是曲面S在點(diǎn)（xi，yi，zi）處法向量與Oz軸所成夾角（取銳角），又曲面z=f（x，y）在點(diǎn)（xi，yi，zi）法線向量為n=（-fx（xi，yi），-f，（xi，yi），1），因此于是因此曲面面積元素為故曲面面積A能夠表達(dá)為第66頁(yè)第二節(jié)二重積分計(jì)算設(shè)平面D上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1，m2…，mn（其中mi表達(dá)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量），并設(shè)mi坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，…，n）.設(shè)它質(zhì)心為（，），則有故

4.求平面薄板質(zhì)量與質(zhì)心由二重積分物理意義可知，若平面薄板D面密度為=（x，y），則D質(zhì)量為第67頁(yè)一、三重積分概念與性質(zhì)第三節(jié)三重積分

1.引例設(shè)在空間直角坐標(biāo)系中，一空間立體Ω在點(diǎn)（x，y，x）處密度為μ（x，y，z），這里μ（x，y，z）非負(fù)且連續(xù).為計(jì)算Ω質(zhì)量，像引入定積分定義那樣，可分“分割、近似替代、求和、取極限”四個(gè)步驟來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題.

2.三重積分定義定義:設(shè)三元函數(shù)f（x，y，z）在空間有界閉區(qū)域Ω上有定義且有界，將Ω分割成至多只有公共界面n個(gè)空間子區(qū)域△v1，△v2…，△vn，若在每一種子區(qū)域中任取一點(diǎn)（xi，yi，zi）（i=1，2，…，n），作積分和式第68頁(yè)第三節(jié)三重積分

3.三重積分性質(zhì)根據(jù)三重積分定義，容易推出三重積分一系列性質(zhì).最常用有下列幾點(diǎn)：設(shè)f（x，y，z），g（x，y，z）在空間有界閉區(qū)域Ω上可積，則有

（3）（積分區(qū)域可加性）若f（x，y，z）在空間有界閉區(qū)域Ω1，Ω2上可積，且Ω1與Ω2除邊界之外沒(méi)有公共部分，則f（x，y，z）在Ω=Ω1UΩ2上也可積，且有

（4）當(dāng)f（x，y，z）=1時(shí)，則有，其中V是Ω體積.

（5）若f（x，y，x）在空間有界閉區(qū)域Ω上可積，且f（x，y，z）≥0，則第69頁(yè)二、直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分第三節(jié)三重積分

1.將三重積分化為先重后單計(jì)算公式設(shè)f（x，y，x）≥0，空間有界閉區(qū)域Ω邊界面與穿越Ω內(nèi)且平行于坐標(biāo)軸直線至多有兩個(gè)交點(diǎn)（當(dāng)Ω不能滿足后一條件時(shí)，常將Ω提成若干個(gè)符合條件區(qū)域之和，利用積分區(qū)域可加性進(jìn)行處理），函數(shù)f（x，y，z）在空間有界閉區(qū)域Ω上可積.

2.將三重積分化為先單后重計(jì)算公式設(shè)空間區(qū)域Ω邊界曲面與平行于Ox軸直線至多有兩個(gè)交點(diǎn)，Ω在xOy坐標(biāo)面上投影區(qū)域?yàn)镈，過(guò)D內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y，0），作平行于Ox軸直線與Ω相交，可得到一種介于Ω內(nèi)直線段.設(shè)其滿足z1(x,y)≤z≤z2(x,y),則此直線段質(zhì)量為若將D內(nèi)每一點(diǎn)都作出平行于Oz軸且介于Ω內(nèi)直線段，并無(wú)限累加，得第70頁(yè)第三節(jié)三重積分

3.將三重積分化為三次積分計(jì)算若選定先對(duì)z積分，能夠先用平行于Oz軸直線沿Oz軸正方向穿越空間區(qū)域Ω，入口曲面為z=z1（x，y），出口曲面為z=z2（x，y），則z1(x,y)≤z≤z2(x,y).再對(duì)y積分，將區(qū)域Ω投影到xOy坐標(biāo)面.設(shè)投影域?yàn)镈，用平行于Oy軸直線且沿Oy軸正方向穿越D，若入口曲線為y=y1（x），出口曲線為y=y2（x），則y1(x)≤y≤y2(x).最后對(duì)x積分，將D投影到Ox軸上，若投影區(qū)間為[a，b]，則a≤x≤b.這樣可得三重積分化為三次積分積分公式第71頁(yè)三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第三節(jié)三重積分

設(shè)點(diǎn)M（x，y，z）為空間一點(diǎn)，且點(diǎn)M在xOy坐標(biāo)面上投影為M1，點(diǎn)M1極坐標(biāo)為（r，θ），則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)三維有序數(shù)組（r，θ，z），（r，θ，z）稱為點(diǎn)M柱面坐標(biāo).這表達(dá)利用以O(shè)z軸為軸圓柱面r=常數(shù)，以過(guò)Oz軸半平面θ=常數(shù)和平行于xOy坐標(biāo)面平面z=常數(shù)來(lái)確定空間中一點(diǎn).這種表達(dá)空間點(diǎn)位置辦法稱為柱面坐標(biāo)系.如圖8-32所示.點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x，y，z）與柱面坐標(biāo)（r，θ，z）關(guān)系為

要把三重積分化為柱面坐標(biāo)下三重積分，關(guān)鍵在于體積元素如何體現(xiàn).為此，我們用三組坐標(biāo)面：r=常數(shù)（一組以O(shè)z軸為軸圓柱面）；

θ=常數(shù)（一組過(guò)Oz軸半平面）；z=常數(shù)（一組平行于xOy坐標(biāo)面平面）.第72頁(yè)第三節(jié)三重積分

把區(qū)域Ω分割成n個(gè)子區(qū)域，則每一種小體積微元能夠近似地看作長(zhǎng)為dr，寬為rdθ，高為dz長(zhǎng)方體，因此體積微元dv=rdrdθdz，如圖8-33所示.

假如f（x，y，z）在空間有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則有第73頁(yè)四、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第三節(jié)三重積分

設(shè)點(diǎn)M（x，y，z）為空間一點(diǎn)，點(diǎn)M位置也可用三維有序數(shù)組（r，，θ）來(lái)確定，其中，OM=r，OM與Oz軸正方向夾角為，自O(shè)A按逆時(shí)針?lè)较虻絆P所成角為θ，稱（r，，θ）為球面坐標(biāo)，這種表達(dá)空間點(diǎn)位置辦法稱為球面坐標(biāo)系.如圖8-35所示.可要求r，，θ變化范圍為0≤r<+∞,0≤≤π,0≤θ≤2π.點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x，y，z）與球面坐標(biāo)（r，，θ）關(guān)系為第74頁(yè)五、三重積分應(yīng)用第三節(jié)三重積分

1.求空間幾何體體積根據(jù)三重積分性質(zhì)，有，其中V是Ω體積，因此能夠利用三重積分求空間立體體積.

2.求空間物體質(zhì)量和質(zhì)心由三重積分物理意義可知，非均勻密度空間物體Ω質(zhì)量m等于其密度函數(shù)μ（x，y，z）在區(qū)域Ω上三重積分，即

3.求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由力學(xué)知識(shí)可知，質(zhì)點(diǎn)系m1，m2…，mn，對(duì)于軸L轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中ri是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)mi到軸L距離.第75頁(yè)曲線積分與曲面積分9.１曲線積分9.２格林公式、平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)條件9.３曲面積分09第76頁(yè)第一節(jié)曲面方程與空間曲線方程一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分

1.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分概念定義：設(shè)f（x，y）是定義在分段光滑曲線弧L（即AB）上有界函數(shù)，用分點(diǎn)A=M0，M1，M2…，Mn=B，將AB任意分割成n個(gè)子弧段Mi-1Mi（i=1，2…，n），并記其長(zhǎng)為△si.在每個(gè)子弧段Mi-1M；上任取一點(diǎn)（，），作積分和式

2.對(duì)孤長(zhǎng)曲線積分性質(zhì)假定下列所討論對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分總是存在，與定積分性質(zhì)相類似，也有下列常用性質(zhì).（1），即對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分與積分途徑方向無(wú)關(guān)。從物理上能夠解釋為曲線弧AB質(zhì)量與曲線弧BA質(zhì)量相等.（2）曲線弧AC由AB和BC兩段光滑曲線弧組成，則從物理上能夠解釋為整個(gè)弧段上質(zhì)量等于各分段弧質(zhì)量之和.第77頁(yè)第一節(jié)曲面方程與空間曲線方程（3）（4）（k為常數(shù)）.（5）（中值定理）設(shè)函數(shù)f（x，y）在光滑曲線弧AB上連續(xù)，s是AB長(zhǎng)度，則在AB上最少存在一點(diǎn)（，），使得

3.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分計(jì)算辦法對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分在一定條件下，能夠轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算.根據(jù)微分法思想，當(dāng)小曲線弧長(zhǎng)△si很小時(shí)，能夠用這段弧弦長(zhǎng)近似替代弧Mi-1Mi長(zhǎng)度△si.第78頁(yè)第一節(jié)曲面方程與空間曲線方程二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分

1.對(duì)坐標(biāo)曲線積分概念定義：設(shè)L為xOy平面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在L上有界，在曲線弧L上沿L方向用分點(diǎn)A=M0，M1，M?…，Mn=B，將AB任意分割成n個(gè)子弧段Mi-1M（i=1，2.…，n），并記△xi=xi-xi-1，△yi=yi-yi-1.在Mi-1M上任意取定一點(diǎn)（，），作積分和式當(dāng)各子弧段長(zhǎng)度最大者λ→0時(shí)，若極限總存在，且此極限與曲線弧AB分法無(wú)關(guān)，也與每一種子弧段Mi-1Mi上點(diǎn)（，）取法無(wú)關(guān)，則稱此極限值為函數(shù)P（x，y）在有向弧段L上對(duì)坐標(biāo)x積分，記作或，即第79頁(yè)第一節(jié)曲面方程與空間曲線方程

2.對(duì)坐標(biāo)曲線積分性質(zhì)假定下列所討論對(duì)坐標(biāo)曲線積分總是存在，由定義能夠?qū)С鱿铝谐Ｓ眯再|(zhì).其物理意義能夠解釋為：協(xié)力所做功等于每個(gè)分力所做功之和.（2）曲線弧ABC由AB和BC兩段光滑曲線弧組成，則其物理意義能夠解釋為：力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)在某弧段上所做功等于在各子弧段上所做功之和.

（3）其物理意義能夠解釋為：在力F作用下，質(zhì)點(diǎn)沿AB弧由點(diǎn)A到點(diǎn)B所做功為I，則在力F作用下，質(zhì)點(diǎn)沿BA弧由點(diǎn)B到點(diǎn)A所做功為-I.第80頁(yè)第一節(jié)曲面方程與空間曲線方程

3.對(duì)坐標(biāo)曲線積分計(jì)算辦法（1）將對(duì)坐標(biāo)曲線積分化為對(duì)參數(shù)t定積分計(jì)算公式.（2）將對(duì)坐標(biāo)曲線積分化為對(duì)x定積分計(jì)算公式.（3）將對(duì)坐標(biāo)曲線積分化為對(duì)y定積分計(jì)算公式.第81頁(yè)第二節(jié)格柿公式、平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)條件格林公式

定理1（格林公式）設(shè)閉區(qū)域D是由分段光滑曲線L圍成，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有其中L是區(qū)域D邊界曲線正向.

定理2設(shè)區(qū)域D是一種單連通域，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與途徑無(wú)關(guān)（或沿D內(nèi)任意閉曲線曲線積分等于零）充足必要條件是在D內(nèi)恒成立.第82頁(yè)第二節(jié)格柿公式、平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)條件

定理3設(shè)區(qū)域D是一種單連通域，函數(shù)P（x，y），Q（x，y）在區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P（x，y）dx+Q（x，y）dy在區(qū)域D內(nèi)為全微分式充足必要條件是在D內(nèi)恒成立.第83頁(yè)第三節(jié)曲面積分一、對(duì)面積曲面積分

1.對(duì)面積曲面積分概念定義：設(shè)f（x，y，z）是定義在光滑曲面∑上有界函數(shù).將曲面∑任意分割成n個(gè)子區(qū)域△S1，△S2…，△Sn，并以△Si（i=1，2，…，n）表達(dá)第i塊子區(qū)域面積.在每個(gè)子區(qū)域△Si上任取一點(diǎn)（，，），作積分和式.記A為n個(gè)子區(qū)域△S1，△S2，…，△Sn直徑最大值，若極限存在，且此極限與曲面∑分法無(wú)關(guān)，也與每一塊子區(qū)域△Si上點(diǎn)（，，）取法無(wú)關(guān)，則稱此極限值為函數(shù)f（x，y，z）在曲面上對(duì)面積曲面積分或第一類曲面積分，記作，即定理:設(shè)f（x，y，z）在光滑曲面∑上連續(xù)，則曲面積分肯定存在.第84頁(yè)第三節(jié)曲面積分

2.對(duì)面積曲面積分性質(zhì)假定下列所討論對(duì)面積曲面積分總是存在.由對(duì)面積曲面積分定義可知，它具有與對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分相類似性質(zhì).例如：(1)(2)(k為常數(shù)）(3)若曲面乏可分為兩片光滑曲面∑1及∑2，且∑1與∑2除公共邊界外再無(wú)交點(diǎn)，則

3.對(duì)面積曲面積分計(jì)算辦法對(duì)面積曲面積分在一定條件下，能夠轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算.設(shè)曲面方程為z=z（x，y），∑在xOy坐標(biāo)面上投影區(qū)域?yàn)镈xy函數(shù)z=z（x，y）在Dxy上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)f（x，y，z）在∑上連續(xù).根據(jù)對(duì)面積曲面積分定義，有第85頁(yè)第三節(jié)曲面積分二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分

1.對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念定義:設(shè)R（x，y，z）是定義在光滑曲面∑上有界函數(shù).將曲面∑任意分割成n個(gè)子區(qū)域△S1，△S2，…，△Sn，并以△Si（i=1，2…，n）表達(dá)第i塊子區(qū)域面積.在每個(gè)子區(qū)域△Si任取一點(diǎn)（，，），記△表達(dá)△Si在xOy坐標(biāo)面上投影.

2.對(duì)坐標(biāo)曲面積分性質(zhì)假定下列所討論對(duì)坐標(biāo)曲面積分總是存在.由對(duì)面積曲面積分定義可知，它具有與對(duì)坐標(biāo)曲線積分相類似性質(zhì).例如：（1）若曲面∑可分為兩片光滑曲面∑1及∑2，且∑1與∑2除公共邊界外再無(wú)交點(diǎn)，則（2）第86頁(yè)第三節(jié)曲面積分（3）

3.對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法在一定條件下，對(duì)面積曲面積分能夠轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算.若光滑曲面方程能夠表達(dá)為單值函數(shù)z=z（x，y），記Dxy表達(dá)∑在xOy坐標(biāo)面上投影區(qū)域.設(shè)z=z（x，y）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R（x，y，x）在∑連續(xù)，設(shè)曲面積分沿上側(cè)：（△σi,xy=cosγi·△Si為正值），于是

4.高斯公式設(shè)空間區(qū)域Ω是由分片光滑閉曲面∑所圍成，∑與任一平行于坐標(biāo)軸直線交點(diǎn)不多于兩個(gè)，且P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在Ω內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式第87頁(yè)級(jí)數(shù)10.１無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)10.２正項(xiàng)級(jí)數(shù)10.３任意項(xiàng)級(jí)數(shù)10.4冪級(jí)數(shù)10.5函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)10.6傅立葉級(jí)數(shù)10第88頁(yè)第一節(jié)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)基本概念

1.無(wú)窮級(jí)數(shù)基本概念定義:設(shè)數(shù)列{un}（n=1，2，3…），稱體現(xiàn)式u1+u2+…+un+…為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作，即

2.無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散定義:設(shè)級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為S1，S2…，Sn…，若部分和數(shù)列{Sn}當(dāng)n→∞時(shí)有極限S，即則稱級(jí)數(shù)收斂，并稱S為該級(jí)數(shù)和，記作此時(shí)，也稱級(jí)數(shù)，收斂于S.若部分和數(shù)列{Sn}沒(méi)有極限，即不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.

3.級(jí)數(shù)收斂必要條件定理:若級(jí)數(shù)收斂，則=0.第89頁(yè)第一節(jié)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)

性質(zhì)1：設(shè)k為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同步收斂或同步發(fā)散，且當(dāng)收斂時(shí)，若=S，則

性質(zhì)2：若級(jí)數(shù)、分別收斂于S、σ，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為S±σ.

性質(zhì)3：在級(jí)數(shù)中增加、減少或變化有限項(xiàng)，不會(huì)變化級(jí)數(shù)收斂性.

性質(zhì)4：若級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)級(jí)數(shù)項(xiàng)任意加括號(hào)后所形成級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.第90頁(yè)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂充足必要條件

定理:正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂充足必要條件是其部分和數(shù)列{Sn}有界。由上述定理可知：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)部分和數(shù)列{Sn}無(wú)界，則肯定發(fā)散；若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則其部分和數(shù)列{Sn}肯定無(wú)界.二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂鑒別法

1.比較鑒別法設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、，滿足un≤vn(n=1,2…),（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散.第91頁(yè)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

2.極限形式比較鑒別法設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則（1）當(dāng)0<l<+∞時(shí)，級(jí)數(shù)、同步收斂或同步發(fā)散；（2）當(dāng)l=0且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂；（3）當(dāng)l=+∞且發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散.

3.比值鑒別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且滿足（為常數(shù)），則（1）當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)=1時(shí)，也許收斂，也也許發(fā)散，即此時(shí)不能利用比值鑒別法判定收斂性.第92頁(yè)第三節(jié)任意頂級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

若級(jí)數(shù)各項(xiàng)正負(fù)符號(hào)相間，即un>0（n=1，2，…），則級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).二、絕對(duì)收斂與條件收斂

定理：若收斂，則肯定收斂

定義：假如正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，而任意項(xiàng)級(jí)數(shù)也收斂，則稱為絕對(duì)收斂；假如任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱為條件收斂.第93頁(yè)第四節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念

設(shè)un=un（x）是定義在區(qū)間I上函數(shù)列，則稱為定義在區(qū)間I上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).二、冪級(jí)數(shù)

1.系級(jí)數(shù)及其收斂性形如（其中a0，a1，a2，…均為常數(shù)）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為x-x0冪級(jí)數(shù)，稱a0，a1，a2，…為冪級(jí)數(shù)系數(shù).

2.冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間假如冪級(jí)數(shù)不是僅在x=0處收斂，也不是在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都收斂，則總存在一種正實(shí)數(shù)R，使得第94頁(yè)第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

2.冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間假如冪級(jí)數(shù)不是僅在x=0處收斂，也不是在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都收斂，則總存在一種正實(shí)數(shù)R，使得（1）當(dāng)|x|<R，即x∈（-R，R）時(shí)，冪級(jí)數(shù)anx”收斂；（2）當(dāng)|x|>R，即x∈（-∞，-R）U（R，+∞）時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)|x|=R，即x=±R時(shí)，冪級(jí)數(shù)也許收斂，也也許發(fā)散.三、冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1：冪級(jí)數(shù)和函數(shù)S（x）在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)為連續(xù)函數(shù).

性質(zhì)2：若冪級(jí)數(shù)收斂半徑R>0，則其和函數(shù)為S（x）在區(qū)間（-R，R）內(nèi)可積，且有逐項(xiàng)積分公式其中|x|<R，逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到冪級(jí)數(shù)收斂半徑也為R.第95頁(yè)第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

性質(zhì)3：若冪級(jí)數(shù)收斂半徑R>0，則其和函數(shù)為S（x）在區(qū)間（-R，R）內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其中|x|<R，逐