排列組合習(xí)題課高志才第1頁§4簡單計(jì)數(shù)問題第2頁排列組合應(yīng)用題主要類型和常用辦法排列組合應(yīng)用題大體可分為三大類：不帶限制條件排列或組合題，帶有約束條件排列或組合題；排列與組合綜合題．解此類問題常用辦法有：(1)相鄰元素排列，能夠采取“整體到局部”排法，就是將相鄰元素當(dāng)成“一種”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列，分作兩步．(2)元素間隔排列應(yīng)用題，一般采取“插空法”．第3頁(3)具有特殊元素和特殊位置排列，組合應(yīng)用題，常采取“特殊元素法”，從元素為主出發(fā)，先安排特殊元素；從位置為主出發(fā)，先安排好特殊位置上元素，結(jié)合排除法處理此類問題．(4)指標(biāo)問題采取“隔板法”．(5)有關(guān)“分堆”與“到位”應(yīng)用問題常采取“分組法”與“分派法”．若只分堆，不指定到詳細(xì)位置，則需注意平均分情況．(6)相鄰類排列應(yīng)用題常采取“捆綁法”處理，就是將幾個(gè)相鄰元素先抽出進(jìn)行排列再將它們視為一種元素參與下一步排列，此法是法(1)逆向思維應(yīng)用．第4頁排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件應(yīng)用問題，處理此類問題一般有三種途徑：①以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求排列數(shù)或組合數(shù)．前兩種辦法叫直接解法，后一種辦法叫間接解法，求解時(shí)應(yīng)注意先把詳細(xì)問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過度析確定利用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理：然后分析題目條件，避免“選用”時(shí)反復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答．第5頁典型問題典型解法相鄰問題────捆綁法不相鄰問題───插空法間隔問題────分析法定序問題────空位法相同名額分派問題──插板法不一樣元素平均分組問題──

平均提成幾組就除以幾階乘第6頁4個(gè)男同窗，3個(gè)女同窗站成一排．(1)3個(gè)女同窗必須排在一起，有多少種不一樣排法？(2)任何兩個(gè)女同窗彼此不相鄰，有多少種不一樣排法？(3)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不一樣排法？第7頁【嘗試解答】(1)3個(gè)女同窗是特殊元素，共有A種排法；由于3個(gè)女同窗必須排在一起，視排好女同窗為一整體，再與4個(gè)男同窗排隊(duì)，應(yīng)有A種排法．第8頁第9頁1．對(duì)于有限制條件排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采取特殊元素優(yōu)先標(biāo)準(zhǔn)，即先安排有限制條件元素或有限制條件位置，對(duì)于分類過多問題能夠采取間接法．2．對(duì)相鄰問題采取捆綁法、不相鄰問題采取插空法、定序問題采取倍縮法是處理有限制條件排列問題常用辦法．第10頁在本例中，條件不變，把第(1)、(2)小題改為下面兩問題：(1)甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不一樣排法？(2)若甲乙兩同窗之間必須有3人，有多少種不一樣排法？第11頁第12頁(2023·汕頭質(zhì)檢)若一種三位數(shù)十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字中取3個(gè)數(shù)，組成無反復(fù)數(shù)字三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有()A．120個(gè)B．80個(gè)C．40個(gè)D．20個(gè)【答案】

C第13頁

男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派辦法？(1)最少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(2)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員．【思緒點(diǎn)撥】

第(1)問能夠用直接法或間接法求解．第(2)問根據(jù)有沒有女隊(duì)長分類求解．第14頁第15頁第16頁1．本題中第(1)小題，含“最少”條件，正面求解情況較多時(shí)，可考慮用間接法．第(2)小題恰當(dāng)分類是關(guān)鍵．2．組合問題常有下列兩類題型變化(1)“具有”或“不具有”某些元素組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下元素中去選用．(2)“最少”或“最多”具有幾個(gè)元素題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解．第17頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第18頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第19頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第20頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第21頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第22頁第23頁[思緒導(dǎo)引](1)取出4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，注意到：1＋2＋3＋4＝1＋1＋4＋4＝2＋2＋3＋3＝10，據(jù)此進(jìn)行分類，又取出卡片還要排序，因此這是排列與組合綜合問題．(2)一般地，解答排列與組合綜合問題，是先選元素(組合)再排元素(排列)，本題求解有兩處難點(diǎn)，一是如何分類，提成幾類，這里“數(shù)字之和為10”即為問題突破點(diǎn)；二是選出滿足條件卡片后還需排列，這是易錯(cuò)點(diǎn)．第24頁答案：432第25頁處理排列、組合綜合問題要遵循標(biāo)準(zhǔn)：(1)按事情發(fā)生過程進(jìn)行分步：(2)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類．①特殊元素優(yōu)先法．②特殊位置優(yōu)先法．③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求排列或組合數(shù)．第26頁1．有五張卡片，它們正、背面上分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9，將其中任意三張并排放在一起，組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不一樣三位數(shù)？第27頁第28頁第29頁[思緒導(dǎo)引](1)是平均分組問題，與次序無關(guān)，相稱于6本不一樣書平均分給甲、乙、丙三人，能夠理解為一種人一種人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是不均勻分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分派，(5)明確“最少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”，(6)實(shí)質(zhì)為全排列．第30頁第31頁第32頁(1)處理此類問題要分清是分組問題還是分派問題．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見分組問題有三種：①完全均勻分組，每組元素個(gè)數(shù)均相同；第33頁2．將4名大學(xué)生分派到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)最少一名，則不一樣分派方案有多少種？第34頁[思緒導(dǎo)引]以多面手入選人數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)分類求解．第35頁第36頁第37頁第38頁第39頁對(duì)于多種限制條件組合問題，要以其中某個(gè)條件為主去進(jìn)行分類，然后再考慮其他限制條件，分類要不重不漏．第40頁3．賽艇運(yùn)動(dòng)員10人，3人會(huì)劃右舷，2人會(huì)劃左舷，其他5人兩舷都能劃，現(xiàn)要從中選6人上艇，平均分派在兩舷上劃漿，有多少種不一樣選法？第41頁2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，假如B必須站在A右邊(A、B能夠不相鄰)，那么不一樣排法共有()A．24種B．60種C．90種D．120種【答案】

B第42頁n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里最少有一種小球放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.例4.某校準(zhǔn)備參與今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分派到高三年級(jí)1-4個(gè)教學(xué)班,每班最少一種名額,則不一樣分派方案共有___種.題型四、指標(biāo)問題采取“剪截法（檔板法）”：解：問題等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子最少有一種小球放法種數(shù)問題.將16個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不一樣分派方案共有455種.第43頁n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里最少有一種小球放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.變式：某校準(zhǔn)備參與今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分派到高三年級(jí)1-4個(gè)教學(xué)班,每班名額不少于該班序號(hào)數(shù),則不一樣分派方案共有___種.解：問題等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把余下10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子最少有一種小球放法種數(shù)問題.將10個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不一樣分派方案共有84種.第44頁【練習(xí)】把9個(gè)相同小球放入編號(hào)為1、2、3三個(gè)箱子里，要求每個(gè)箱子放入球個(gè)數(shù)大于其編號(hào)數(shù)，則不一樣方法種數(shù)有種?；瘹w成典型問題第45頁編號(hào)為1至nn個(gè)小球放入編號(hào)為1到nn個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一種小球.要求小球與盒子編號(hào)都不一樣,這種排列稱為錯(cuò)位排列.錯(cuò)位法：尤其當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.例5.編號(hào)為1至66個(gè)小球放入編號(hào)為1至66個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一種小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同放法有____種.解：選用編號(hào)相同兩組球和盒子辦法有種,其他4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法.故所求辦法有15×9＝135種.第46頁【思考題】7個(gè)人坐成一排，要調(diào)換其中三人位置而其他四人不動(dòng)，有

種不一樣調(diào)換辦法？第47頁【例1】如圖，在某都市中，M、N兩地之間有整潔道路網(wǎng)（圖中正方形每一條邊都表達(dá)一條街道）。則從M到N最短途徑有

條。捷徑問題第48頁【例1】（08，重慶卷)某人有4種顏色燈泡（每種顏色燈泡足夠多），要在如圖所示6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一種燈泡，要求同一條線段兩端燈泡不一樣色，則每種顏色燈泡都最少用一種安裝辦法共有

種。

染色問題第49頁題型七、染色問題解：按照A1，B1，C1，A，B，C次序安裝燈泡A1處有4種辦法，B1處有3種辦法，C1處有2種辦法．(1)當(dāng)A處與B1處不一樣與C1處相同步，A處有1種辦法，由于裝完B，C后每種顏色燈泡最少用一種，因此共有4×3×2×1×(1＋2)＝72種．(2)當(dāng)A處與B1處相同與C1處不一樣步，A處有1種辦法．B處有3種辦法，C處有1種辦法，共有4×3×2×1×3×1＝72種．(3)當(dāng)A處與B1，C1均不相同步，A處有1種辦法。B，C處共有2＋1＝3種辦法，因此，共有4×3×2×1×(2＋1)＝72種．因此，由分類計(jì)數(shù)原理可得共有72＋72＋72＝216(種)辦法．第50頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第51頁熱點(diǎn)分類突破本講欄目開關(guān)主干知識(shí)梳理熱點(diǎn)分類突破押題精練第52頁易錯(cuò)辨析實(shí)際意義理解不清造成計(jì)數(shù)錯(cuò)誤

(2023·山東高考改編)現(xiàn)有16張不一樣卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不一樣取法種數(shù)為()A．232B．256C．472D．484第53頁【答案】

B第54頁錯(cuò)因分析：(1)錯(cuò)解原因是沒有理解“3張卡片不能是同一種顏色”含義，誤以為“取出三種顏色不一樣”．