2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.設(shè)α是n維單位列向量，A=E-ααT．證明：r(A)＜n．2.3.4.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂．證明：絕對(duì)收斂．5.設(shè)f(x)為[0，+∞)上的正值連續(xù)函數(shù)，已知曲線和兩坐標(biāo)軸及直線x=t(t＞0)所圍區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積與曲線y=f(x)和兩坐標(biāo)軸及直線x=t(t＞0)所圍區(qū)域的面積之和為t2，求曲線y=f(x)的方程．6.f(x)=(x2+x-6)|x3-4x|的不可導(dǎo)點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____A.0B.1C.2D.37.曲線的漸近線條數(shù)為A.1．B.2．C.3．D.4．8.設(shè)矩陣Am×n的秩r(A)=m＜n，Em為m階單位矩陣，則下列結(jié)論中正確的是______A.A的任意m個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)．B.A的任意m階子式不等于零．C.若矩陣B滿足BA=0，則B=0．D.A通過(guò)初等行變換，必可以化為(Em,0)的形式．9.設(shè)，則a=______，b=______，c=______．10.令，n=0，1，2，…，則無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂么?如果收斂，它的和是多少?11.曲線在點(diǎn)處的切線方程是______．12.二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為_(kāi)_____。13.14.設(shè)隨機(jī)變量X和Y均服從，且D(X+y)=1，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=______。15.設(shè)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中α為常數(shù)，則此級(jí)數(shù)______A.絕對(duì)收斂．B.條件收斂．C.發(fā)散．D.斂散性與a有關(guān)．16.函數(shù)f(x，y)=kx2+y3-3y在點(diǎn)(0，1)處A.取極大值．B.取極小值．C.不取得極值．D.是否取得極值與k取值有關(guān)．17.從正態(tài)總體N(μ，σ2)中抽取一容量為16的樣本，S2為樣本方差，則______．18.設(shè)，f(x)＞0且f(x)可導(dǎo)，則當(dāng)x→0+時(shí)，α(x)是β(x)的______A.等價(jià)無(wú)窮小B.高階無(wú)窮小C.低階無(wú)窮小D.同階但不等價(jià)無(wú)窮小19.20.設(shè)n為正整數(shù)，則=______．21.在橢球面2x2+2y2+z2=1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在該點(diǎn)沿l={1，-1，0}方向的方向?qū)?shù)最大．22.設(shè)隨機(jī)變量X1，…，X9相互獨(dú)立分布，E(Xi)=1，D(Xi)=1，i=1，…，9．令S9=Xi，則對(duì)任意ε＞0，從切比雪夫不等式直接可得

(A)

(B)

(C)

(D)23.24.設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中φ(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，且已知，證明：函數(shù)φ(t)滿足方程25.設(shè)k在(0，5)上服從均勻分布，則方程4x2+4kx+k+2=0有實(shí)根的概率為_(kāi)_____．26.設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，而x～B(1，p)，0＜p＜1，記和．

試求：(Ⅰ)X的概率分布；

(Ⅱ)

(Ⅲ)ET的值．27.計(jì)算n階行列式28.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．29.設(shè)g(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，g(0)=0，g'(0)=a≠0，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．30.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，則P(B-A)=______A.0.1B.0.2C.0.3D.0.431.32.33.已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以經(jīng)過(guò)正交變換化為橢圓柱面方程μ2+4ζ2=4，求a、b的值和正交矩陣P．34.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，且X1，X2均服從N(0，1)，P{X3=-1}=P{X3=1}=則Y=X1+X2X3的概率密度f(wàn)Y(y)=______

A．

B．

C．

D．35.某人的食量是2500卡/天，其中1200卡/天用于基本的新陳代謝．在健身運(yùn)動(dòng)中，他所消耗的為16卡/千克/天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲(chǔ)存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時(shí)間變化．36.設(shè)參數(shù)方程，求證：

(Ⅰ)由參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)(0≤x≤2π)；

(Ⅱ)y=y(x)在[0，π]單調(diào)上升，在[π，2π]單調(diào)下降；

(Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函數(shù)．37.假設(shè)總體的k階矩存在(k≥2)，則下列結(jié)論不正確的是A.樣本均值、方差是總體均值、方差的無(wú)偏、一致(相合)估計(jì)量．B.樣本K階原點(diǎn)矩是總體k階原點(diǎn)矩的無(wú)偏、一致(相合)估計(jì)量．C.樣本K階中心矩是總體k階中心矩的無(wú)偏、一致(相合)估計(jì)量．D.樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)無(wú)偏、一致(相合)估計(jì)量．38.已知曲線L的方程為y=1-|x|(x∈[-1，1])，起點(diǎn)是(-1，0)，終點(diǎn)為(1，0)，則曲線積分39.40.41.設(shè)，X，Y相互獨(dú)立，X1，X2，…，Xn1與Y1，Y2，…，Yn2分別為X和Y的樣本，則有______

A．

B．

C．

D．42.43.交換二次積分的積分次序：44.設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f'(0)=1，且微分方程

(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f'(x)+x2y)dy=0

為全微分方程．

(Ⅰ)求f(x)；

(Ⅱ)該全微分方程的通解．45.求的反函數(shù)．46.一個(gè)面密度為ρ(x)=x2，曲線y=4-x2和x軸圍成的平而物體，用定積分求：

(Ⅰ)質(zhì)量；

(Ⅱ)關(guān)于x軸，y軸的靜力矩；

(Ⅲ)質(zhì)心．47.設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)與(U，V)有相同的邊緣分布，則A.(X，Y)與(U，V)有相同的聯(lián)合分布．B.(X，Y)與(U，V)不一定有相同的聯(lián)合分布．C.(X+Y)與(U+V)有相同的分布．D.(X-Y)與(U-V)有相同的分布．48.49.設(shè)n維向量組α1，α2，α3(n≥3)線性無(wú)關(guān)，討論：當(dāng)向量組aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3線性相關(guān)時(shí)，

方程組的解，

且當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí)，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解．50.下列命題正確的是______

A．

B．

C．

D．第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：證明：A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααT·ααT，因?yàn)棣翞閱挝涣邢蛄浚驭罷α=1，于是A2=A．由A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)≤n，又由r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E-A)=n．因?yàn)镋-A=ααT≠O，所以r(E-A)=r(ααT)=r(α)=1，故r(A)=n-1＜n．2.參考答案：3.參考答案：C4.參考答案：[證明]令Sn=(a1-a0)+(a2-a1)+…+(an-an-1)，則Sn=an-a0．

因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以存在，設(shè)，則有，即存在，于是存在M＞0，對(duì)一切的自然數(shù)n有|an|≤M．

因?yàn)榻^對(duì)收斂，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，又0≤|anbn|≤M|bn|，

再由收斂，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法得收斂，即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．5.參考答案：[解]曲線和兩坐標(biāo)軸及直線x=t(t＞0)所圍區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積為．

曲線y=f(x)和兩坐標(biāo)軸及直線x=t(t＞0)所圍區(qū)域的面積為，則，上式兩端對(duì)t求導(dǎo)得令，則

由z(0)=0知，，，．6.參考答案：C[考點(diǎn)]一元函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)[解析]記g(x)=x2+x-6=(x+3)(x-2)；

φ(x)=(x3=4x)=x(x+2)(x-2).

|φ(x)|的不可導(dǎo)點(diǎn)x=x0滿足今知φ(0)=φ(-2)=φ(2)=0，φ′(x).即x1=0，x2=-2，x3=2均為|φ(x)|的不可導(dǎo)點(diǎn).

f(x)的不可導(dǎo)，點(diǎn)x=a滿足

因?yàn)間(0)=-6≠0，g(-2)=-4≠0，g(2)=0.故知x1=0，x2=-2是f(x)不可導(dǎo)點(diǎn).選C.7.參考答案：C[解析]由于則x=0(y軸)為該曲線的一條垂直漸近線，又

則y=x+1為該曲線的一條斜漸近線，而

則y=-x-1為該曲線的另一條斜漸近線，原曲線共有三條漸近線，故應(yīng)選(C)．8.參考答案：C[解析]r(A)=m表示A中有m個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，有m階子式不等于零，但不是任意的，因此A，B均不正確．

經(jīng)過(guò)初等變換，可以把A化為標(biāo)準(zhǔn)型，一般應(yīng)當(dāng)既有初等行變換也有初等列變換，只用一種不一定能化為標(biāo)準(zhǔn)型．

例如只用初等行變換就不能化為(E2，0)的形式，所以D不正確．

關(guān)于C，由BA=0可得r(A)+r(B)≤m，又r(A)=m，則r(B)≤0，于是r(B)=0B=0，故選C．9.參考答案：a≠1；b=0；c=0或a=1；b=0；c=-2[解析]

因且存在，所以必有，因此必有b=0．

當(dāng)a≠1時(shí)

因此c=0

當(dāng)a=1時(shí)

因此c=-2．10.參考答案：

令，于是

，令n→∞，有

所以收斂，其和為．11.參考答案：[解析]易寫出題設(shè)的參數(shù)方程

x=cost．y=sint，x=2-cost+sint．點(diǎn)P在上，對(duì)應(yīng)在P點(diǎn)的切向量

在P點(diǎn)切線方程是

[分析二]曲線作為兩曲面的交線，在P點(diǎn)的切向量

τ=grad(x2+y2-1)×grad(x-y+x-2)|P

其余同前．[分析三]若用交面式表示切線，由x2+y2=1在P點(diǎn)的法向量

求得該柱面在P點(diǎn)的切平面方程為即在P點(diǎn)的切線方程是12.參考答案：[解析]由

解得駐點(diǎn)

又

因?yàn)?，且A＞0，所以是f(x，y)的極小值，且。13.參考答案：14.參考答案：1[解析]根據(jù)題意可知，且

解得。故相關(guān)系數(shù)

15.參考答案：B[解析]，

對(duì)級(jí)數(shù)，

而收斂，所以絕對(duì)收斂；

對(duì)級(jí)數(shù)，

而條件收斂，

所以級(jí)數(shù)條件收斂．

綜上可知，級(jí)數(shù)條件收斂，故選(B)．16.參考答案：D[解析]

fx=2kx，fy=3y2-3，顯然

fx(0，1)=0，fy(0，1)=0

fxx(0，1)=2k，fyy(0，1)=6，fxy(0，1)=0

AC-B2=12k

則f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處是否取得極值與k的取值有關(guān)．17.參考答案：[解析]方差的計(jì)算．

[解題分析]因

故

18.參考答案：D[解析]

故D正確．19.參考答案：D20.參考答案：[解析]21.參考答案：將l={1，-1，0}單位化，得

由此解得可能取極值的點(diǎn)為

因，而欲求的最大值一定存在，故為所求之點(diǎn).[解析]先按方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，寫出方向?qū)?shù)表達(dá)式，再按條件極值的求法，得出欲求22.參考答案：B[解析]因?yàn)镋(S9)=9，D(S9)=9，由切比雪夫不等式有

而，，由切比雪夫不等式

所以選(B)．23.參考答案：解24.參考答案：[證]因?yàn)?/p>

由題設(shè)故(1+t)φ"(t)-φ'(t)=3(1+t)2，25.參考答案：0.6．26.參考答案：X～B(1，p)，故X有分布

從而

所以

(Ⅱ)

因?yàn)閄i的取值僅為0或1，故X2i=Xi

所以

(Ⅲ)[評(píng)注]計(jì)算ET時(shí)，也可以利用(Ⅱ)的結(jié)果，ET=(n-1)ES2=(n-1)DX=(n-1)p(1-p)．27.參考答案：解：

則將該行列式按第一行展開(kāi)得

再將上式中后面的n-1階行列式按照第一列展開(kāi)得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，則

Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)

=βn-2[(α2+αβ+β2)-α(α+β)]=βn，

即Dn-αDn-1=βn，(1)

類似地，有Dn-βDn-1=αn，(2)

(1)×β-(2)×α可得(β-α)Dn=βn+1-αn+1，所以[解析]利用行列式的性質(zhì)或展開(kāi)式找出遞推關(guān)系式，再根據(jù)所得的遞推關(guān)系式遞推或迭代求出所給行列式的值，該方法一般適用于高階且元素有規(guī)律的行列式的計(jì)算。28.參考答案：解由，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，當(dāng)時(shí)，收斂，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?/p>

令，

則，又S(0)=0，

所以．29.參考答案：C[解析]由積分中值定理知

其中(ξ，η)為圓域x2+y2≤r2上的一個(gè)點(diǎn)，則，而

所以，故選C。30.參考答案：B[解析]∵A與B獨(dú)立，∴P(AB)=P(A)P(B)．

故0.3=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=P(A)[1-P(B)]=P(A)(1-0.5)=0.5(P(A)

得，

P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.5-0.6×0.5=0.2

由A-B=A-AB及ABA，得P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)，這是一個(gè)經(jīng)常用到、要求學(xué)生用得很熟的Kq-(請(qǐng)勿出現(xiàn)“P(A-B)=P(A)-P(B)”一類式子)。在“無(wú)背景”的2個(gè)事件A，B的概率運(yùn)算中，只要告訴你3個(gè)(不能互推的)等式條件，那么關(guān)于A，B的所有運(yùn)算(并、交、差、補(bǔ)，包括條件概率)的概率，要求你都能熟練地求出，這是很基本的要求，在這種題上丟分實(shí)在太不應(yīng)該了!31.參考答案：32.參考答案：33.參考答案：解：由與相似得

解之得到a=3，b=1．(△另一解法：由特征值的性質(zhì)得1+a+1=0+1+4，=0×1×4=0，

解之得a=3，b=1)

計(jì)算可得，矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4的單位特征向量分別可取為

因此所求正交矩陣P可取為

本題仍然是二次型f通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題，因?yàn)槠鋵?shí)質(zhì)是f的矩陣(實(shí)對(duì)稱矩陣)的正交相似對(duì)角化，其運(yùn)算涉及到求特征值和特征向量等基本運(yùn)算且有重要應(yīng)用，因此務(wù)必熟練掌握．34.參考答案：B[解析]由FY(y)=P{X3=-1}P{X1+X2X3≤y|X3=-1}

+P{X3=1}P{X1+X2X3≤y|X3=1}

=P{X3=-1}P{X1-X2≤y}+P{X3=1}P{X1+X2≤y}

選B．35.參考答案：解輸入率為2500卡/天，輸出率為(1200+16w)，其中w為體重，根據(jù)題意得，

由，得，代入初始條件得，

于是．36.參考答案：[分析與證明](Ⅰ)，又在[0，2π]連續(xù)在[0，27]單調(diào)上升，值域在[0，2π]存在連續(xù)的反函數(shù)t=t(x)，定義域?yàn)樵赱0，2π]上連續(xù)．

(Ⅱ)由反函數(shù)的可導(dǎo)性及復(fù)合函數(shù)的可性導(dǎo)知，y=y(x)在(0，2π)內(nèi)可導(dǎo)，由參數(shù)式求導(dǎo)法，有

由于，于是

因此，y=y(x)在[0，π]，在[π，2π]．

(Ⅲ)由于y(x)在[0，2π]上連續(xù)，則由x∈(0，2π)時(shí)

可知y=y(x)在[0，2π]是凸函數(shù)．37.參考答案：C[解析](A)、(B)、(D)是已有的結(jié)論，它們都成立．根據(jù)大數(shù)定律，上述估計(jì)量都具有一致性．但無(wú)偏性不具有不變性原理，例如總體X二階矩中心矩DX=σ2，樣本二階中心矩

故選擇(C)．38.參考答案：0[解析]直接法

如圖

[分析二]

補(bǔ)線用格林公式，補(bǔ)線段則

39.參考答案：D40.參考答案：(1,1);F41.參考答案：B[解析]依題知，又X，Y相互獨(dú)立，故

42.參考答案：43.參考答案：[考點(diǎn)]交換二次積分的積分次序．

[解析]因?yàn)橐阎畏e分中當(dāng)1≤x≤2時(shí)，，由此可知這個(gè)二次積分不能直接轉(zhuǎn)化為二重積分；而二次積分與已知二次積分只相差一個(gè)負(fù)號(hào)，且該積分可轉(zhuǎn)化為二重積分，其中積分區(qū)域D如圖所示；再由二重積分得到所求積分次序的二次積分．

解：因?yàn)?，則積分區(qū)域(如圖所示)為

將D改寫為

則有

故應(yīng)填．

44.參考答案：[解](Ⅰ)

求得滿足f(0)=0，f'(0)=1的特解為f(x)=2cosx+sinx+x2-2．

(Ⅱ)求全微分方程

[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0的通解．關(guān)鍵是求原函數(shù)．

方法一湊原函數(shù)法．

[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy

=xy(ydx+xdy)+(-2sinx+cosx)dy+yd(-2sinx+cosx)+2(xdy+ydx)

所以該全微分方程的通解為

方法二折線法．

45.參考答案：[解]令則

于是即

故

即46.參考答案：選取x作積分變量，其取值范圍為[-2，2]，在[-2，2]內(nèi)任給一點(diǎn)x，給以小增量dx，得到如圖所示的一小片物體，則

(Ⅰ)質(zhì)量元素為dm=ρ(x)