第二節(jié)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二重積分的計(jì)算法第二節(jié)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法上節(jié)回顧

1求曲頂柱體體積設(shè)曲頂柱的底為型任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的上節(jié)回顧

1求曲頂柱體體積設(shè)曲頂柱的底為型任取平面故對(duì)應(yīng)有一、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為對(duì)應(yīng)有一、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r即根據(jù)積分區(qū)域同極心得位置關(guān)系，可以分如下三種情形：

這是二重積分從直角坐標(biāo)系過(guò)渡到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式即根據(jù)積分區(qū)域同極心得位置關(guān)系，可以分如下三種情形：設(shè)則情形1極心在積分區(qū)域外(1)若極點(diǎn)在區(qū)域D之外.為了的確定的變化范圍，過(guò)原點(diǎn)作兩射線：使D恰好被夾在此二射線之間，那么，便知積分區(qū)域D可以記為：設(shè)則情形1極心在積分區(qū)域外(1)若極點(diǎn)在區(qū)域D之外.同理情形2，極心在積分區(qū)域邊界上同理情形2，極心在積分區(qū)域邊界上6情形3，極心在積分區(qū)域內(nèi)部若f≡1

則可求得D的面積情形3，極心在積分區(qū)域內(nèi)部若f≡1則可求得D的面積7例1.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.例1.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù)例2.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知例2.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.提示:

積分域如圖例3交換積分提示:積分域如圖例3交換積分將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：（1）將代入被積函數(shù)，（2）將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分上下限，（3）將面積元轉(zhuǎn)化為將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積例4將化為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中解：因?yàn)閳A的方程為直線方程為所以例4將化為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中解12例5求

，其中解：一般,若D的表達(dá)式中含有時(shí)，可考慮用極坐標(biāo)來(lái)積分。

令則的極坐標(biāo)方程為例5求，其中解：一般,若D的13第二節(jié)二重積分的計(jì)算課件14利用對(duì)稱性解：積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

例6極坐標(biāo)計(jì)算中