難題突破專題五實踐與應(yīng)用現(xiàn)實生活中存在大量的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題，需要從所研究的問題中捕捉數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——方程(組)、不等式(組)、函數(shù)表達(dá)式，再通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使原問題獲得解決，為此學(xué)生要過好三關(guān)：1．審題關(guān)．應(yīng)用題出題形式多樣，如利用對話或圖表呈現(xiàn)相關(guān)信息．對于文字?jǐn)⑹鋈唛L的問題，要從數(shù)學(xué)的角度去除無關(guān)信息，抓住有用信息，捕捉數(shù)量關(guān)系，為此學(xué)生要提高閱讀能力和搜集信息的能力．2．轉(zhuǎn)化關(guān)．在分析數(shù)量關(guān)系時要抓住反映數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵詞語，如“共”“少”“是”“剩下”等，根據(jù)相等、不等關(guān)系分別列方程(組)、不等式(組)，根據(jù)變量之間的對應(yīng)關(guān)系列函數(shù)表達(dá)式，切忌混淆數(shù)量關(guān)系，建立錯誤的數(shù)學(xué)模型．3．解題關(guān)．加強解方程(組)、不等式(組)的訓(xùn)練，確保求解正確，充分考慮結(jié)果的多樣性，使答案簡明、準(zhǔn)確．在空間與圖形的綜合題中，常遇到求未知幾何量或探索存在性問題，可通過探索圖形性質(zhì)，尋找未知幾何量和已知幾何量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系，列出方程(組)或不等式(組)，利用其有解、無解探索存在性問題，通過求解來求幾何量．類型1分析數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，建立方程(組)或不等式(組)例題：（2017山東煙臺）今年，我市某中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，開設(shè)了“足球大課間”活動，現(xiàn)需要購進(jìn)100個某品牌的足球供學(xué)生使用，經(jīng)調(diào)查，該品牌足球2015年單價為200元，2017年單價為162元．（1）求2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率；（2）選購期間發(fā)現(xiàn)該品牌足球在兩個文體用品商場有不同的促銷方案：試問去哪個商場購買足球更優(yōu)惠？【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據(jù)2015年及2017年該品牌足球的單價，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩商城的促銷方案，分別求出在兩商城購買100個該品牌足球的總費用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為x，根據(jù)題意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年該品牌足球單價平均每年降低的百分率為10%．（2）100×=≈90.91（個），在A商城需要的費用為162×91=14742（元），在B商城需要的費用為162×100×=14580（元）．14742＞14580．答：去B商場購買足球更優(yōu)惠．同步訓(xùn)練：（2017四川眉山）東坡某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次，第一檔次（即最低檔次）的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件，每件利潤10元．調(diào)查表明：生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件利潤增加2元．（1）若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為14元，此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品；（2）由于生產(chǎn)工序不同，蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次，一天產(chǎn)量會減少4件．若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件利潤增加2元，即可求出每件利潤為14元的蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品；（2）設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品，根據(jù)單件利潤×銷售數(shù)量=總利潤，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）（14﹣10）÷2+1=3（檔次）．答：此批次蛋糕屬第3檔次產(chǎn)品．（2）設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品，根據(jù)題意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，整理得：x2﹣16x+55=0，解得：x1=5，x2=11．答：該烘焙店生產(chǎn)的是第5檔次或第11檔次的產(chǎn)品．類型2分析數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，建立函數(shù)表達(dá)式例題：（2017浙江衢州）“五?一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租用新能源汽車自駕出游．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）設(shè)租車時間為x小時，租用甲公司的車所需費用為y1元，租用乙公司的車所需費用為y2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）請你幫助小明計算并選擇哪個出游方案合算．【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用；FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的信息，分別運用待定系數(shù)法，求得y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）當(dāng)y1=y2時，15x+80=30x，當(dāng)y1＞y2時，15x+80＞30x，當(dāng)y1＜y2時，15x+80＞30x，分求得x的取值范圍即可得出方案．【解答】解：（1）設(shè)y1=k1x+80，把點（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；設(shè)y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）當(dāng)y1=y2時，15x+80=30x，解得x=；當(dāng)y1＞y2時，15x+80＞30x，解得x＜；當(dāng)y1＜y2時，15x+80＞30x，解得x＞；∴當(dāng)租車時間為小時，選擇甲乙公司一樣合算；當(dāng)租車時間小于小時，選擇乙公司合算；當(dāng)租車時間大于小時，選擇甲公司合算．同步訓(xùn)練：（2017浙江義烏）某市規(guī)定了每月用水18立方米以內(nèi)（含18立方米）和用水18立方米以上兩種不同的收費標(biāo)準(zhǔn)，該市的用戶每月應(yīng)交水費y（元）是用水量x（立方米）的函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）若某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費多少元？（2）求當(dāng)x＞18時，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，若小敏家某月交水費81元，則這個月用水量為多少立方米？【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上點的縱坐標(biāo)，可得答案；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得答案．【解答】解：（1）由縱坐標(biāo)看出，某月用水量為18立方米，則應(yīng)交水費18元；（2）由81元＞45元，得用水量超過18立方米，設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b（x≥18），∵直線經(jīng)過點（18，45）（28，75），∴，解得，∴函數(shù)的解析式為y=3x﹣9（x≥18），當(dāng)y=81時，3x﹣9=81，解得x=30，答：這個月用水量為30立方米．解題方法點析此類問題考查的是函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，主要是利用函數(shù)的增減性求最值，難點在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)表達(dá)式．類型3函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系例題;(2017湖北咸寧)某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價為6元/件，該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點進(jìn)行了為期一個月（30天）的試營銷，售價為8元/件，工作人員對銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪成圖象，圖中的折線ODE表示日銷售量y（件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系，已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中，時間每增加1天，日銷售量減少5件．（1）第24天的日銷售量是330件，日銷售利潤是660元．（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天？試銷售期間，日銷售最大利潤是多少元？【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)第22天銷售了340件，結(jié)合時間每增加1天日銷售量減少5件，即可求出第24天的日銷售量，再根據(jù)日銷售利潤=單件利潤×日銷售量即可求出日銷售利潤；（2）根據(jù)點D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出線段OD的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)第22天銷售了340件，結(jié)合時間每增加1天日銷售量減少5件，即可求出線段DE的函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系式求出交點D的坐標(biāo)，此題得解；（3）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，有起始和結(jié)束時間即可求出日銷售利潤不低于640元的天數(shù)，再根據(jù)點D的坐標(biāo)結(jié)合日銷售利潤=單件利潤×日銷售數(shù)，即可求出日銷售最大利潤．【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5=330（件），330×（8﹣6）=660（元）．故答案為：330；660．（2）設(shè)線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，將（17，340）代入y=kx中，340=17k，解得：k=20，∴線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20x．根據(jù)題意得：線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．聯(lián)立兩線段所表示的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得，解得：，∴交點D的坐標(biāo)為（18，360），∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=．（3）當(dāng)0≤x≤18時，根據(jù)題意得：（8﹣6）×20x≥640，解得：x≥16；當(dāng)18＜x≤30時，根據(jù)題意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1=11（天），∴日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有11天．∵點D的坐標(biāo)為（18，360），∴日最大銷售量為360件，360×2=720（元），∴試銷售期間，日銷售最大利潤是720元．同步訓(xùn)練：（2017烏魯木齊）一輛慢車從甲地勻速行駛至乙地，一輛快車同時從乙地出發(fā)勻速行駛至甲地，兩車之間的距離y（千米）與行駛時間x（小時）的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：（1）甲乙兩地相距多遠(yuǎn)？（2）求快車和慢車的速度分別是多少？（3）求出兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）何時兩車相距300千米．【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）由圖象容易得出答案；（2）由題意得出慢車速度為=60（千米/小時）；設(shè)快車速度為x千米/小時，由圖象得出方程，解方程即可；（3）求出相遇的時間和慢車行駛的路程，即可得出答案；（4）分兩種情況，由題意得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由圖象得：甲乙兩地相距600千米；（2）由題意得：慢車總用時10小時，∴慢車速度為=60（千米/小時）；想和快車速度為x千米/小時，由圖象得：60×4+4x=600，解得：x=90，∴快車速度為90千米/小時，慢車速度為60千米/小時；（3）由圖象得：=（小時），60×=400（千米），時間為小時時快車已到達(dá)甲地，此時慢車走了400千米，∴兩車相遇后y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（4）設(shè)出發(fā)x小時后，兩車相距300千米．①當(dāng)兩車沒有相遇時，由題意得：60x+90x=600﹣300，解得：x=2；②當(dāng)兩車相遇后，由題意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；即兩車2小時或6小時時，兩車相距300千米．解題方法點析此類題目需根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型，然后再與方程、不等式相互轉(zhuǎn)化．專題訓(xùn)練1.（2017江蘇鹽城）某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒．2014年，該商店用3500元購進(jìn)了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進(jìn)價比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購進(jìn)了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒．（1）2014年這種禮盒的進(jìn)價是多少元/盒？（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用；B7：分式方程的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)2014年這種禮盒的進(jìn)價為x元/盒，則2016年這種禮盒的進(jìn)價為（x﹣11）元/盒，根據(jù)2014年花3500元與2016年花2400元購進(jìn)的禮盒數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)年增長率為m，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價求出2014年的購進(jìn)數(shù)量，再根據(jù)2014年的銷售利潤×（1+增長率）2=2016年的銷售利潤，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2014年這種禮盒的進(jìn)價為x元/盒，則2016年這種禮盒的進(jìn)價為（x﹣11）元/盒，根據(jù)題意得：=，解得：x=35，經(jīng)檢驗，x=35是原方程的解．答：2014年這種禮盒的進(jìn)價是35元/盒．（2）設(shè)年增長率為m，2014年的銷售數(shù)量為3500÷35=100（盒）．根據(jù)題意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合題意，舍去）．答：年增長率為20%．2.（2017江蘇徐州）4月9日上午8時，2017徐州國際馬拉松賽鳴槍開跑，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽，下面是兩個孩子與記者的對話：根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出哥哥和妹妹的年齡．【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用．【分析】設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)兩個孩子的對話，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)題意得：，解得：．答：今年妹妹6歲，哥哥10歲．3.（2017山東聊城）在推進(jìn)城鄉(xiāng)義務(wù)教育均衡發(fā)展工作中，我市某區(qū)政府通過公開招標(biāo)的方式為轄區(qū)內(nèi)全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)采購了某型號的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦，其中，A鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生用電腦110臺和教師用筆記本電腦32臺，共花費30.5萬元；B鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)更新學(xué)生電腦55臺和教師用筆記本電腦24臺，共花費17.65萬元．（1）求該型號的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦單價分別是多少萬元？（2）經(jīng)統(tǒng)計，全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)需要購進(jìn)的教師用筆記本電腦臺數(shù)比購進(jìn)的學(xué)生用電腦臺數(shù)的少90臺，在兩種電腦的總費用不超過預(yù)算438萬元的情況下，至多能購進(jìn)的學(xué)生用電腦和教師用筆記本電腦各多少臺？【考點】C9：一元一次不等式的應(yīng)用；9A：二元一次方程組的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)該型號的學(xué)生用電腦的單價為x萬元，教師用筆記本電腦的單價為y萬元，根據(jù)題意列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)能購進(jìn)的學(xué)生用電腦m臺，則能購進(jìn)的教師用筆記本電腦為（m﹣90）臺，根據(jù)“兩種電腦的總費用不超過預(yù)算438萬元”列出不等式，求出不等式的解集．【解答】解：（1）設(shè)該型號的學(xué)生用電腦的單價為x萬元，教師用筆記本電腦的單價為y萬元，依題意得：，解得，經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意．答：該型號的學(xué)生用電腦的單價為0.19萬元，教師用筆記本電腦的單價為0.3萬元；（2）設(shè)能購進(jìn)的學(xué)生用電腦m臺，則能購進(jìn)的教師用筆記本電腦為（m﹣90）臺，+×（m﹣90）≤438，解得m≤1860．所以m﹣90=×1860﹣90=282（臺）．答：能購進(jìn)的學(xué)生用電腦1860臺，則能購進(jìn)的教師用筆記本電腦為282臺．4.（2017?新疆）某周日上午8：00小宇從家出發(fā)，乘車1小時到達(dá)某活動中心參加實踐活動．11：00時他在活動中心接到爸爸的電話，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照來活動中心時的路線，以5千米/小時的平均速度快步返回．同時，爸爸從家沿同一路線開車接他，在距家20千米處接上了小宇，立即保持原來的車速原路返回．設(shè)小宇離家x（小時）后，到達(dá)離家y（千米）的地方，圖中折線OABCD表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系．（1）活動中心與小宇家相距22千米，小宇在活動中心活動時間為2小時，他從活動中心返家時，步行用了0.4小時；（2）求線段BC所表示的y（千米）與x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x所表示的范圍）；（3）根據(jù)上述情況（不考慮其他因素），請判斷小宇是否能在12：00前回到家，并說明理由．【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)點A、B坐標(biāo)結(jié)合時間=路程÷速度，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)離家距離=22﹣速度×?xí)r間，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）由小宇步行的時間等于爸爸開車接到小宇的時間結(jié)合往返時間相同，即可求出小宇從活動中心返家所用時間，將其與1比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（1，22），點B的坐標(biāo)為（3，22），∴活動中心與小宇家相距22千米，小宇在活動中心活動時間為3﹣1=2小時．（22﹣20）÷5=0.4（小時）．故答案為：22；2；0.4．（2）根據(jù)題意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．+0.4=0.8（小時），∵＜1，∴所用小宇12：00前能到家．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計算；（2）根據(jù)離家距離=22﹣速度×?xí)r間，找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）由爸爸開車的速度不變，求出小宇從活動中心返家所用時間．5.（2017青海西寧）首條貫通絲綢之路經(jīng)濟帶的高鐵線﹣﹣寶蘭客專進(jìn)入全線拉通試驗階段，寶蘭客專的通車對加快西北地區(qū)與“一帶一路”沿線國家和地區(qū)的經(jīng)貿(mào)合作、人文交流具有十分重要的意義，試運行期間，一列動車從西安開往西寧，一列普通列車從西寧開往西安，兩車同時出發(fā)，設(shè)普通列車行駛的時間為x（小時），兩車之間的距離為y（千米），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象進(jìn)行一下探究：【信息讀取】（1）西寧到西安兩地相距1000千米，兩車出發(fā)后3小時相遇；（2）普通列車到達(dá)終點共需12小時，普通列車的速度是千米/小時．【解決問題】（3）求動車的速度；（4）普通列車行駛t小時后，動車到達(dá)終點西寧，求此時普通列車還需行駛多少千米到達(dá)西安？【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）由x=0時y=1000及x=3時y=0的實際意義可得答案；（2）根據(jù)x=12時的實際意義可得，由速度=可得答案；（3）設(shè)動車的速度為x千米/小時，根據(jù)“動車3小時行駛的路程+普通列出3小時行駛的路程=1000”列方程求解可得；（4）先求出t小時普通列車行駛的路程，繼而可得答案．【解答】解：（1）由x=0時，y=1000知，西寧到西安兩地相距1000千米，由x=3時，y=0知，兩車