《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第1章基礎(chǔ)知識(shí)課時(shí)分配8教學(xué)目標(biāo)1．掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)、方程、不等式等代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)2．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)定義域、值域的求解方法3．掌握函數(shù)的表示方法，會(huì)求解函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性4．把實(shí)際問(wèn)題抽象概括為函數(shù)問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)理解函數(shù)的概念能把實(shí)際問(wèn)題抽象概括為函數(shù)問(wèn)題授課方式講授法，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容1.1代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)1.2函數(shù)1.3建立函數(shù)關(guān)系教學(xué)過(guò)程1.1代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)一、指數(shù)冪及其運(yùn)算1、整數(shù)指數(shù)冪（1）正整數(shù)指數(shù)冪：(n為正整數(shù))．（2）零指數(shù)冪：()．（3）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：(，n為正整數(shù))．（4）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：(，，m，n為整數(shù))；；；．2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1）n次根式一般地，如果(，)，則稱x為a的n次方根．（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根可以記作．（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，分別用和表示，其中稱為a的n次算術(shù)根；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．（3）0的n次方根是0，記作．我們把形如(，)的式子稱為n次根式，其中，n稱為根指數(shù)，a稱為被開(kāi)方數(shù)．2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義，為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其中．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪也適用，前提是必須使運(yùn)算法則中出現(xiàn)的每一個(gè)有理數(shù)指數(shù)冪都有意義，即當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，有，，．二、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作其中，a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)（簡(jiǎn)稱底），N稱為真數(shù)．通常，我們稱形如的等式為指數(shù)式，稱形如的等式為對(duì)數(shù)式．由對(duì)數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，．性質(zhì)：（1）零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；（2），即1的對(duì)數(shù)為0；（3），即底的對(duì)數(shù)為1．2、積、商、冪的對(duì)數(shù)設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：三、方程1、直線方程一次函數(shù)的圖像是一條直線l，其解析式可以看作一個(gè)關(guān)于的二元一次方程，直線l上的任意一點(diǎn)都滿足方程．此時(shí)，我們把方程稱為直線l的方程．1）直線的點(diǎn)斜式方程已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k．設(shè)點(diǎn)為直線l上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，由斜率公式可得整理得點(diǎn)也滿足上述方程．由于上述方程是由直線上的一點(diǎn)和直線的斜率確定的，所以稱為直線的點(diǎn)斜式方程．2）直線的斜截式方程設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，則a稱為直線l在x軸上的截距（或橫截距）；b稱為直線l在y軸上的截距（或縱截距）．設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為，且直線l的斜率為k，則直線l的方程為即3）直線的一般式方程把形如（不全為零）的二元一次方程稱為直線的一般式方程．2、一元二次方程等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，稱為一元二次方程．一元二次方程的一般形式為．1）公式法一般地，式子稱為一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“”表示，即．當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根可寫(xiě)為若，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即；若，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即；若，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．2）因式分解法設(shè)物體經(jīng)過(guò)xs后落回地面，這時(shí)它離地面的高度為0m，即．此方程的左邊可以因式分解，得．這個(gè)方程的左邊是兩個(gè)一次因式的乘積，右邊是0．我們知道，如果兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；反之，如果兩個(gè)因式中任何一個(gè)為0，那么它們的積等于0．所以或．于是，方程的兩個(gè)根為，．四、不等式1、不等式的概念及基本性質(zhì)用不等號(hào)（）表示不等關(guān)系的式子稱為不等式．性質(zhì)1（傳遞性）如果，，則．性質(zhì)2（加法性質(zhì)）如果，則．性質(zhì)3（乘法性質(zhì)）如果，，則；如果，，則．2、含有絕對(duì)值的不等式1）或型不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，并且的幾何意義為：數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離由絕對(duì)值的幾何意義可知，不等式表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于3的所有點(diǎn)的集合；不等式表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于3的所有點(diǎn)的集合．不等式的解集為；不等式的解集為一般地，不等式的解集為；不等式的解集是2）或型不等式對(duì)于或型不等式，可以把看成一個(gè)整體，從而轉(zhuǎn)化為或型不等式來(lái)求解．例如，求解不等式時(shí)，可先設(shè)，則不等式化為，其解集為，即．根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以求出，即原不等式的解集為．3、區(qū)間的概念1）有限區(qū)間實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，例如，集合可以用數(shù)軸上位于與之間的一條線段（不包括端點(diǎn)）來(lái)表示．由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的全部實(shí)數(shù)所組成的集合稱為區(qū)間，其中這兩個(gè)點(diǎn)稱為區(qū)間端點(diǎn)．不含端點(diǎn)的區(qū)間稱為開(kāi)區(qū)間，含有兩個(gè)端點(diǎn)的區(qū)間稱為閉區(qū)間．集合表示的就是開(kāi)區(qū)間，記作．集合表示的就是閉區(qū)間，記作．綜上所述，設(shè)ab為任意實(shí)數(shù)，且，則有；；右半開(kāi)區(qū)間：；左半開(kāi)區(qū)間：以上的開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、右半開(kāi)區(qū)間和左半開(kāi)區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間．2）無(wú)限區(qū)間集合可以用數(shù)軸上位于3右側(cè)的一條射線（不包括端點(diǎn)）來(lái)表示，如圖1-6所示．由圖可以看出，集合所表示的區(qū)間的左端點(diǎn)為3，沒(méi)有右端點(diǎn)，這時(shí)可以將其記作，其中符號(hào)“”讀作“正無(wú)窮大”，表示右端點(diǎn)可以任意大，而并非某個(gè)具體的數(shù)．同理，集合表示的區(qū)間可記作，其中符號(hào)“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”．類似地，集合表示的區(qū)間記作，是右半開(kāi)區(qū)間；集合表示的區(qū)間記作，是左半開(kāi)區(qū)間．設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，且，則有；；（3）；（4）（5）實(shí)數(shù)集R如果用區(qū)間來(lái)表示，可以記作．以上這5種區(qū)間統(tǒng)稱為無(wú)限區(qū)間．4、鄰域的概念設(shè)點(diǎn)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則稱集合為點(diǎn)的鄰域，記作，其中將稱為鄰域中心，將稱為鄰域半徑．有時(shí)還要用到去掉中心的鄰域，即集合，稱為點(diǎn)的去心鄰域，記作．5、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式，稱為一元二次不等式或①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解和（），對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即，，不等式的解集為②③此時(shí)不等式的解集為R，不等式的解集為．1.2函數(shù)一、函數(shù)的概念與性質(zhì)1、函數(shù)的概念設(shè)有兩個(gè)變量x和y，D是一個(gè)非空數(shù)集，若當(dāng)變量x在集合D內(nèi)任取一個(gè)值，變量y依照一定法則f，總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是x的函數(shù)，記為，其中，D稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量對(duì)于確定的，與之對(duì)應(yīng)的稱為函數(shù)在處的函數(shù)值，記作當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的集合稱為函數(shù)的值域，記作M，即定義域函數(shù)的兩要素對(duì)應(yīng)法則解析法函數(shù)的表示方法表格法圖示法2、函數(shù)的性質(zhì)1）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)有定義，若對(duì)區(qū)間I內(nèi)的任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有，則稱在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)增加，區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，有，則稱在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)減少，區(qū)間I稱為單調(diào)減區(qū)間．單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間．2）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則），若對(duì)于任意的，都有，則稱為偶函數(shù)；若對(duì)于任意的，都有，則稱為奇函數(shù)．3）有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，使得與任一所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱函數(shù)在I內(nèi)有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)在I內(nèi)無(wú)界．4）周期性設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上有定義，若存在常數(shù)，對(duì)于任意的，恒有，則稱是以為周期的周期函數(shù)．通常所說(shuō)周期函數(shù)的周期是指它們的最小正周期，例如，的周期是，的周期是．函數(shù)是周期函數(shù)，但不存在最小正周期．二、基本初等函數(shù)1、常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)法則是對(duì)于任何，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值恒等于常數(shù)C．其函數(shù)圖像為平行于軸的直線．2、冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域和值域由a而定，但在內(nèi)都有定義，且其圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．3、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少．指數(shù)函數(shù)的圖像均在x軸上方.4、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑘D像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像在y軸的右方．當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為，它是常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù)．其中，為無(wú)理數(shù)．5、三角函數(shù)三角函數(shù)有：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)；正切函數(shù)，余切函數(shù)；正割函數(shù)，余割函數(shù)．（1）和的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋家詾橹芷冢瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)．（2）的定義域是，的定義域是，它們都以為周期，且都是奇函數(shù)．6、反三角函數(shù)反三角函數(shù)是各三角函數(shù)在其特定單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)．（1）反正弦函數(shù)是正弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?）反余弦函數(shù)是余弦函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?）反正切函數(shù)是正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?）反余切函數(shù)是余切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?fù)合函數(shù)設(shè)y是u的函數(shù)，u是x的函數(shù)．如果的值域與的定義域的交集不是空集，則y通過(guò)u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量．例如，，，它們復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)為．利用復(fù)合函數(shù)的概念，可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)．分解的原則是：由外向里，逐層分解．分解的結(jié)果是：分解成的每個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)都是基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算后形成的函數(shù)．四、初等函數(shù)和分段函數(shù)1、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成，并且用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)．2、分段函數(shù)引例自2018年8月1日起，北京巡游出租車(chē)（不含電動(dòng)車(chē)）白天的基本收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：行駛里程如果不超過(guò)3公里，則收費(fèi)13元；如果超過(guò)3公里，則超出的部分按每公里2.3元收費(fèi)；另外每運(yùn)次加收1元燃油附加費(fèi)．那么每運(yùn)次的行駛里程數(shù)公里與費(fèi)用元之間的關(guān)系為以上的函數(shù)關(guān)系不是用一個(gè)式子表示的，而是在自變量不同范圍內(nèi)用不同的表達(dá)式來(lái)表示的，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．常見(jiàn)的分段函數(shù)：①絕對(duì)值函數(shù)②符號(hào)函數(shù)1.3建立函數(shù)關(guān)系一、工程技術(shù)中函數(shù)的建立例要造一個(gè)圓柱形油罐，其體積為定值V，試求油罐的表面積與底圓半徑的函數(shù)關(guān)系．解設(shè)油罐的底圓半徑為r，油罐的高為h，因，故．油罐的表面積為，將代入上式得所求函數(shù)為，．例某工廠建造一個(gè)小型車(chē)間，要求車(chē)間借助現(xiàn)有的一面墻建成兩塊矩形，設(shè)平行于原有墻面的矩形邊長(zhǎng)為x，現(xiàn)有材料只夠砌50m長(zhǎng)的墻壁，試求圍成的車(chē)間面積S與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系．解設(shè)矩形的寬為y，根據(jù)題意有，得．車(chē)間面積為，．例彈簧在汽車(chē)懸吊系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用，在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長(zhǎng)量與受力大小成正比．現(xiàn)在有一彈簧受力4N，伸長(zhǎng)了0.01m，求該彈簧的伸長(zhǎng)量與受到的力之間的函數(shù)關(guān)系．解設(shè)彈簧受力為FN時(shí)，其伸長(zhǎng)量為lm，由題意可知（k為比例常數(shù)）．將已知條件時(shí)，，代入上式，得，．由此得該彈簧伸長(zhǎng)量l與受到的力F之間的函數(shù)關(guān)系為．二、經(jīng)濟(jì)函數(shù)的建立1、需求函數(shù)需求（量）是指在一定的價(jià)格條件下，消費(fèi)者對(duì)某種商品有支付能力購(gòu)買(mǎi)的商品量．人們對(duì)某一商品的需求受許多因素的影響，如商品的價(jià)格、質(zhì)量，消費(fèi)者的收入、偏好等．其中，商品的價(jià)格是影響需求量的主要因素，若把其他因素視為常量，則市場(chǎng)對(duì)某商品的需求量Q是商品價(jià)格p的函數(shù)，它是一個(gè)需求函數(shù)，可表示為．一般來(lái)說(shuō)，在商品量一定的情況下，商品價(jià)格越低，需求量越大；商品價(jià)格越高，需求量越?。虼耍ǔＰ枨罅渴莾r(jià)格的單調(diào)減函數(shù)．常見(jiàn)的需求函數(shù)有如下三種形式：線性函數(shù)；二次函數(shù)；指數(shù)函數(shù)．例某計(jì)算器售價(jià)80元/臺(tái)時(shí)，月銷(xiāo)售量是1000臺(tái)；當(dāng)價(jià)格調(diào)整為85元/臺(tái)時(shí)，月銷(xiāo)售量為600臺(tái)，求該商品的線性需求函數(shù)．解設(shè)該商品的線性需求函數(shù)為．由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，代入得解得．所以，所求的需求函數(shù)為．2、供給函數(shù)某商品的市場(chǎng)供給量S受商品價(jià)格的影響，價(jià)格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場(chǎng)提供更多的商品，使供給量增加；價(jià)格下跌將使供給量減少．供給量S是商品價(jià)格p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記為．供給量S是價(jià)格p的單調(diào)增函數(shù)．一般地，使某種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格稱為均衡價(jià)格．當(dāng)價(jià)格時(shí)，商品供不應(yīng)求，商品的價(jià)格有提高的趨勢(shì)；當(dāng)價(jià)格時(shí)，商品供過(guò)于求，商品的價(jià)格有下降的趨勢(shì)；當(dāng)價(jià)格在處時(shí)，供給量等于需求量．這就體現(xiàn)了價(jià)格的市場(chǎng)調(diào)節(jié)作用．3、成本函數(shù)總成本C是指用于生產(chǎn)的總費(fèi)用，它由固定成本和可變成本構(gòu)成．固定成本是指在一定時(shí)期內(nèi)，不受產(chǎn)量變動(dòng)影響的成本，如廠房、設(shè)備等費(fèi)用．可變成本是指隨產(chǎn)量變化而變化的成本，如工人的工資、原材料費(fèi)用等．因此總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)，即，稱為成本函數(shù)．平均成本函數(shù)（也叫單位成本函數(shù)）記為．4、收入函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)總收入R是指生產(chǎn)者將產(chǎn)品售出后的全部所得，總收入等于產(chǎn)品的單價(jià)p與銷(xiāo)售量q的乘積．假設(shè)銷(xiāo)售過(guò)程中價(jià)格p不變，則總收入是銷(xiāo)售量q的函數(shù)，即，稱為收入函數(shù)．為了研究問(wèn)題的方便，我們假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)量全部銷(xiāo)售出去，即產(chǎn)量銷(xiāo)售量q．那么，總利潤(rùn)L就是總收入R減去總成本C，表示為．所以，總利潤(rùn)是產(chǎn)量或銷(xiāo)售量q的函數(shù)，稱為利潤(rùn)函數(shù)．5、單利與復(fù)利①單利計(jì)算公式設(shè)初始本金為，計(jì)息期（如一年）的利率為r，則第一年末的本利和為；第二年末的本利和為；……第n年末的本利和為．②復(fù)利計(jì)算公式設(shè)本金為，計(jì)息期（如一年）的復(fù)利率為r，則第一年末的本利和為；第二年末的本利和為；……第n年末的本利和為．歸納總結(jié)通過(guò)總結(jié)回顧所學(xué)知識(shí)作業(yè)布置通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)初識(shí)數(shù)學(xué)軟件MATLAB及繪圖《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第2章極限與連續(xù)課時(shí)分配8教學(xué)目標(biāo)1．掌握極限的概念,熟練掌握函數(shù)極限的運(yùn)算法則，并且會(huì)用極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限。2．正確理解無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念，了解無(wú)窮小量的性質(zhì)；3．掌握極限的運(yùn)算法則及求解方法4.正確理解函數(shù)的左右連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)的左右連續(xù)性判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.極限的概念和左極限與右極限的概念及應(yīng)用2.無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較3.函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的左右連續(xù)性。授課方式講授法，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容2.1極限的概念2.2極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則2.3兩個(gè)重要極限及無(wú)窮小的比較2.4函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)過(guò)程2.1極限的概念一、數(shù)列的極限定義1在某一法則下，當(dāng)依次取時(shí)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)排成一列數(shù)，這列數(shù)就稱為數(shù)列，記作．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)．?dāng)?shù)列可看作自變量為整數(shù)n的函數(shù)，它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取等一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列．定義2對(duì)于數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值a，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作；如果數(shù)列沒(méi)有極限，則稱數(shù)列是發(fā)散的．二、函數(shù)的極限數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它研究當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)．對(duì)于一般函數(shù)，也可討論自變量在某一變化過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì)．函數(shù)自變量的變化過(guò)程可分為兩種情況：的絕對(duì)值無(wú)限增大，無(wú)限接近．為了方便起見(jiàn)，我們規(guī)定：①的絕對(duì)值無(wú)限增大用記號(hào)表示；小于0且絕對(duì)值無(wú)限增大用記號(hào)表示；大于0且絕對(duì)值無(wú)限增大用記號(hào)表示．②無(wú)限接近用記號(hào)表示；從的左側(cè)（即）無(wú)限接近用記號(hào)表示；從的右側(cè)（即）無(wú)限接近用記號(hào)表示．1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限例作出函數(shù)的圖形，在的前提下，討論當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的變化趨勢(shì)，并說(shuō)出它的極限．當(dāng)x沿x軸的正方向無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近于x軸，但始終不與x軸相交，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)以0為極限．定義3當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大，即時(shí)，如果函數(shù)值無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或．例4討論是否存在．解有及．由于當(dāng)和時(shí)，函數(shù)不是無(wú)限接近于同一個(gè)確定的常數(shù)，所以不存在．圖2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么也存在并且與它們相等．如果和都存在，但不相等，那么不存在．定理1的充分必要條件是．例討論函數(shù)及當(dāng)時(shí)的極限．解如圖2-3所示為這兩個(gè)函數(shù)的圖形．因?yàn)椋圆淮嬖冢忠驗(yàn)?，所以不存在?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限對(duì)于函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，和的變化趨勢(shì)如圖所示．從圖像容易看出，當(dāng)時(shí)，和都無(wú)限接近于2．定義4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義（在處可以無(wú)定義），如果存在一個(gè)常數(shù)A，當(dāng)x無(wú)限趨于時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或．如果當(dāng)從的左邊趨于（通常記作）時(shí)，無(wú)限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限，記作或．如果當(dāng)x從的右邊趨于（通常記作）時(shí)，無(wú)限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限，記作或．左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限．根據(jù)函數(shù)極限的定義并觀察函數(shù)圖像，我們可以確定一些常見(jiàn)函數(shù)的極限．例如，，，，，不存在．定理2當(dāng)時(shí)，以A為極限的充分必要條件是在點(diǎn)處的左、右極限存在且都等于A，即．例設(shè)，試判斷是否存在．設(shè)討論極限是否存在？三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1、無(wú)窮小量在實(shí)際中，我們經(jīng)常遇到一類變量，它們的絕對(duì)值變得越來(lái)越小且趨向于零．引例單擺離開(kāi)鉛直位置的偏度用角來(lái)度量．如果讓單擺自己擺動(dòng)，由于機(jī)械摩擦力和空氣阻力，擺動(dòng)幅度就會(huì)不斷地減小，角逐漸趨向于零．對(duì)于這種變量變化趨于零的情形，我們給出如下定義．定義5在自變量x的某一變化過(guò)程中，若函數(shù)的極限為0，即，則稱為該變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小．性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮?。再|(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮?。再|(zhì)3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小．例求．2、無(wú)窮大量例如，當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值無(wú)限增大，因此在這個(gè)變化過(guò)程中，是無(wú)窮大量；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無(wú)窮大量；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量．3、無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系定理3如果（或），則有（或0）．例如，因?yàn)?，所以?.2極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則一、極限的性質(zhì)定理1（唯一性）如果函數(shù)在某一變化過(guò)程中有極限，則其極限唯一．定理2（有界性）如果函數(shù)在時(shí)存在極限，則必存在的某一鄰域，使得在該鄰域內(nèi)有界．定3（保號(hào)性）若在的左右近旁，恒有（或）且，則（或）．二、極限的運(yùn)算法則定理4設(shè)，則（1）；（2）；（3）．推論1設(shè)，則．推論2設(shè)，則．三、極限的求法1、直接代入法它適用于，其中函數(shù)和在點(diǎn)有定義，且．方法：．注：此方法是求極限最基本、也是使用頻率最高的方法之一．例1求．例2求．2、倒數(shù)法（型）它適用于，其中，但，記為“”型．方法：由直接代入法，先求其倒數(shù)的極限，再由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得．例3求．3、分解因式，約去零因子法（型）它適用于，其中且，記為“”型．方法：將分子或分母分解因式，約去共同的零因子，再用直接代入法．例4求．4、分子或分母有理化，約去零因子法（型）它適用于，其中且，且分子或分母中含有根號(hào)，記為“”型．方法：將分子或分母有根號(hào)的先有理化，約去共同的零因子，再用直接代入法．例5求．5、公式法（無(wú)窮小分出法）（型）它適用于，此時(shí)分子、分母都趨于，記為“”型．方法：先將分子、分母同除的最高次方，將分子、分母都轉(zhuǎn)化成無(wú)窮小，于是有下面結(jié)論此結(jié)論只與分子、分母的最高方次有關(guān)．例6求．例7求．例8求．例9一個(gè)貯水池中有5000L的純水，現(xiàn)將濃度為30g/L的鹽水以25L/min的速度注入水池中，求：（1）經(jīng)過(guò)后水池中鹽的濃度；（2）隨著時(shí)間的推移，池中鹽的濃度將如何變化？6、型它適用于，其中且，記為“”型．方法：先通分或先將分子有理化，就可以化成前面幾種形式．例10求．2.3兩個(gè)重要極限及無(wú)窮小的比較一、兩個(gè)重要極限1、從圖像可以觀察出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于1．（□代表同一變量）．例1求．例2求下列極限：（1）；（2）；（3）．2、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)從表中可以看出，當(dāng)及時(shí)，的值無(wú)限趨近于，即．如果令，則當(dāng)時(shí)，，因此公式還可以寫(xiě)成．此重要極限屬于“”型，常形象地表示為或（□代表同一變量）．例3求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）．例4設(shè)有本金10000元，年利率為6%，計(jì)息期五年，分別計(jì)算下列情況的本利和：（1）單利計(jì)息（五年結(jié)算一次）；（2）復(fù)利計(jì)息（3個(gè)月結(jié)算一次）；（3）連續(xù)復(fù)利計(jì)息．二、無(wú)窮小的比較，，，．兩個(gè)無(wú)窮小量比值極限的不同，反映了不同無(wú)窮小量趨于零的速度差異．，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，的速度比要快；，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，的速度比要慢；，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，與的速度相當(dāng)；，說(shuō)明當(dāng)時(shí)，與的速度相同．定義設(shè)是自變量的同一變化過(guò)程中（或）的無(wú)窮小量，且．（1）若，則稱β是比α高階的無(wú)窮小，記作；（2）若，則稱β是比α低階的無(wú)窮小；（3）若，則稱β與α是同階無(wú)窮?。唬?）若，則稱β與α是等價(jià)無(wú)窮小，記作．例如，當(dāng)時(shí)，與x都是無(wú)窮小量，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，與x是同階無(wú)窮小量．等價(jià)無(wú)窮小在求極限時(shí)有重要的作用．對(duì)此，有如下定理：定理設(shè)，且存在，則有．這說(shuō)明，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子、分母可分別用它們的等價(jià)無(wú)窮小代替，這樣可以簡(jiǎn)化某些極限的運(yùn)算．因此，我們應(yīng)該記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮?。?dāng)時(shí)，，，，，，，．例5求．例6求．2.4函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念1、函數(shù)的增量自變量從初值變?yōu)榻K值時(shí)，終值與初值的差稱為．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在該領(lǐng)域內(nèi)由變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地由變到，稱為函數(shù)的增量（或改變量），記作或，則有．2、函數(shù)連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處的改變量趨于零時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)的改變量也趨于零，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．在定義1中，如果令，則即為，即為，因此，函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性也可敘述為：定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在且等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．由函數(shù)在點(diǎn)處左極限、右極限的定義可以得到函數(shù)在點(diǎn)處是左連續(xù)與右連續(xù)的定義．，則稱函數(shù)在點(diǎn)處是右連續(xù)．定義4若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處均連續(xù)，則稱在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)．若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)．例1討論函數(shù)在處的連續(xù)性．（1）函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義；（2）函數(shù)的極限存在；（3）．二、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在處沒(méi)定義；（2）在處有定義，但不存在；（3）在處有定義，且存在，但，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)或間斷，點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．例2討論函數(shù)在處的連續(xù)性．設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．（1）若左極限和右極限都存在，則稱點(diǎn)為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)．其中若，則點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)；若，則點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)．（2）若左極限和右極限兩者之中至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)．其中，當(dāng)時(shí)，若為無(wú)窮大量，則這種類型的間斷點(diǎn)也稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)．三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1如果函數(shù)和都在點(diǎn)處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母不等于0）也都在點(diǎn)處連續(xù)．定理2若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．上述定理也可表示為：若，，且，則，即．這說(shuō)明，在求連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，極限符號(hào)可與函數(shù)符號(hào)交換次序．例3計(jì)算．例4計(jì)算．定理3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．例5求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．例6求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）．四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值．若函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少有一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處取最大值；同樣，至少有一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處取最小值．性質(zhì)2（介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，C為介于與之間的任意數(shù)，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得．性質(zhì)3（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，即，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使．從幾何意義上講，如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖形是一條連續(xù)曲線，其兩個(gè)端點(diǎn)分別位于軸兩側(cè)，那么這條曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．例7歸納總結(jié)通過(guò)總結(jié)回顧所學(xué)知識(shí)作業(yè)布置通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)利用MATLAB軟件求極限《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第3章一元函數(shù)微分學(xué)課時(shí)分配8教學(xué)目標(biāo)1．理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則；2．掌握高階導(dǎo)數(shù)的求解方法；3．理解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，掌握其求解方法；4.正確應(yīng)用函數(shù)的微分。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系；高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)；一階微分的形式不變形授課方式課堂講授，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3.3高階導(dǎo)數(shù)3.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用教學(xué)過(guò)程3.1導(dǎo)數(shù)的概念一、引例分析引例自由落體的瞬時(shí)速度，其中為常量．試求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度．給定時(shí)間變量在時(shí)的一個(gè)增量，則在從時(shí)刻到這段時(shí)間間隔內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)路程的增量為從而求得物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為顯然，當(dāng)無(wú)限變小時(shí)，平均速度無(wú)限接近于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度．因此，平均速度的極限值就是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即可定義二、定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處及其左右近旁有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量．如果當(dāng)時(shí)，與之比的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，或，，即．導(dǎo)數(shù)的定義式還有下列兩種形式：（1）令，得；（2）令，得．定義2如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對(duì)于任意一個(gè)，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，即，也可記作，，．三、求導(dǎo)數(shù)舉例由導(dǎo)數(shù)定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）求函數(shù)增量：；（2）計(jì)算比值：；（3）求極限：．例1求函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（為任意實(shí)數(shù)）．例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）．例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．．．特別地，．．特別地，．例5求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）．四、用導(dǎo)數(shù)表示實(shí)際量——變化率模型案例1切線的斜率設(shè)曲線在點(diǎn)處有切線且斜率存在，求曲線在點(diǎn)處的切線斜率．在曲線上另取一點(diǎn)，設(shè)它的坐標(biāo)為，如圖3-3所示．當(dāng)割線上的點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)時(shí)，割線的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的切線．設(shè)割線的傾角為，切線傾角為，則割線斜率為．顯然當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)將沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線趨近于極限位置（即切線）．于是得到切線的斜率為．這就是說(shuō)，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率．由直線的點(diǎn)斜式方程可以得到：（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線稱為曲線在點(diǎn)處的法線．如果，則法線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的法線方程為．例6求曲線在點(diǎn)處的切線斜率，并寫(xiě)出該點(diǎn)處的切線方程和法線方程．解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求的切線斜率為，從而所求的切線方程為，即．所求法線的斜率為，于是所求的法線方程為，即．案例2速度、加速度由引例可知，若物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為．因?yàn)榧铀俣龋枋鏊俣茸兓目炻潭龋┦撬俣汝P(guān)于時(shí)間的變化率，所以物體在時(shí)刻的加速度為．案例3電流強(qiáng)度電路中電荷的定向移動(dòng)形成電流，通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量與所用時(shí)間之比稱為電流強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱電流．如果導(dǎo)體內(nèi)的電荷隨時(shí)間變化的函數(shù)為，那么該導(dǎo)體在時(shí)間段內(nèi)的平均電流為，在時(shí)刻的電流為．五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點(diǎn)處連續(xù)．例7證明函數(shù)在處連續(xù)，但在處不可導(dǎo)．3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)和在點(diǎn)處可導(dǎo)，則，，在點(diǎn)處也可導(dǎo)，且有下列法則：（1）；（2）；（3）．特例：．例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）．例2設(shè)函數(shù)，證明．例3設(shè)函數(shù)，求．三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處也可導(dǎo)，并且或．或記為．兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)．本法則可推廣到有限次復(fù)合的情形，例如，設(shè)函數(shù)，，，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．例4設(shè)函數(shù)，求．例5設(shè)函數(shù)，求．例6設(shè)函數(shù)，求．例7設(shè)函數(shù)，求例8設(shè)函數(shù)，求．3.3高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義定義若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，，或．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記為；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)，記為，……，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，，或．二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)．相應(yīng)地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)．二、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1設(shè)函數(shù)，求．例2設(shè)函數(shù)，求．例3設(shè)函數(shù)，求．例4設(shè)函數(shù)，求．例5設(shè)函數(shù)，求．()．例6設(shè)一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻的速度和加速度．3.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用解析法表示函數(shù)通常有兩種不同的方式：一種是由的形式給出的自變量為的函數(shù)，稱為顯函數(shù)，例如，，，等均為顯函數(shù)；另一種是由方程的形式所確定的自變量為的函數(shù)，稱為隱函數(shù)，例如，，等均為隱函數(shù)．顯函數(shù)與隱函數(shù)都反映了變量之間存在的某種依賴關(guān)系，只是表達(dá)形式不同．有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，例如，可化為；有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)，如．因此，在求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，希望能找到一個(gè)不需要把隱函數(shù)化為顯函數(shù)，而直接由方程求出導(dǎo)數(shù)的方法．利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就能解決一般隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題．例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例2求由方程所確定的函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．例3求橢圓在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．例4設(shè)，求．例5求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在式中，如果函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)，且此反函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成由函數(shù)，復(fù)合成的函數(shù)．所以，根據(jù)據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有．反函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或．例6求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例7求擺線在時(shí)相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程．三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法形如()的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其中，是可導(dǎo)函數(shù)．冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，即先將等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，變成隱函數(shù)的形式，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求其導(dǎo)數(shù)．例8求的導(dǎo)數(shù)．例9求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用一、微分的概念一塊正方形的金屬薄片，當(dāng)受熱膨脹后，邊長(zhǎng)由變到．問(wèn)此薄片的面積增加了多少？變到．從上式可以看出，由兩部分組成，第一部分是，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，它是的線性函數(shù)；第二部分是，即圖中帶有交叉斜線的小正方形面積．當(dāng)很小時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，面積的增量可以用近似表示，即，因?yàn)?，所以一般地，?duì)于函數(shù)，當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的增量可表示為．第一項(xiàng)中是不依賴的常數(shù)，第二項(xiàng)是比高階的無(wú)窮小．因此，當(dāng)很小時(shí)，的近似值表示為，稱為的線性主部，由此給出微分的定義．定義如果函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)處的微分，記作，即．通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即．則函數(shù)在點(diǎn)處的微分可寫(xiě)成．當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處有微分時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)處可微．一般地，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)的微分稱為函數(shù)的微分，記作，即．由，得．由此可見(jiàn)，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．因此導(dǎo)數(shù)也稱微商．例1求函數(shù)在，時(shí)的改變量及微分．例2設(shè)，求．二、微分的幾何意義點(diǎn)和是曲線上鄰近的兩點(diǎn)．為曲線在點(diǎn)處的切線，其傾斜角為．容易得到．這就是說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處的微分，在幾何上表示曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)的增量．表示與之差，當(dāng)很小時(shí)，與相比是微不足道的，因此，可用近似代替．這就是說(shuō)，當(dāng)很小時(shí)，有．因此在點(diǎn)P的附近，可以用切線段來(lái)近似代替曲線段，即．三、微分的運(yùn)算1、微分的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．2、函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)，都是的可微函數(shù)，為常數(shù)，則（1）；（2）；（3）；（4）．根據(jù)微分的定義，有．3、微分形式的不變性由微分的定義知，當(dāng)是自變量時(shí)，函數(shù)的微分是．如果不是自變量而是的可微函數(shù)，那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)，根據(jù)微分的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有．其中，所以上式仍可寫(xiě)成．由此可見(jiàn)，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總是同一個(gè)形式：，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性．例3設(shè)函數(shù)，求．例4求函的微分．四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1、計(jì)算函數(shù)增量的近似值當(dāng)很小時(shí)，可得．例5半徑為10cm的金屬圓片加熱后，半徑伸長(zhǎng)了0.05cm，問(wèn)圓片面積改變了多少？2、計(jì)算函數(shù)值的近似值當(dāng)很小時(shí)，由式（3-1）可得：．在上面公式中令，（當(dāng)很小時(shí)）可得．例6計(jì)算的近似值．例7證明：當(dāng)較小時(shí)，．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．例8計(jì)算的近似值．例9求的近似值．3、誤差估計(jì)如果某個(gè)量的精確值為，它的近似值為，那么稱為近似值的絕對(duì)誤差，而絕對(duì)誤差與的比值稱為近似值的相對(duì)誤差．在實(shí)際工作中，某個(gè)量的精確值往往是無(wú)法知道的，于是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差也就無(wú)法求得．但是根據(jù)測(cè)量?jī)x器的精度等因素，有時(shí)能夠確定誤差在某一個(gè)范圍內(nèi)．如果某個(gè)量的精確值是，測(cè)得它的近似值是，又已知它的誤差不超過(guò)，即，則

稱為測(cè)量的絕對(duì)誤差限（簡(jiǎn)稱絕對(duì)誤差），稱為測(cè)量的相對(duì)誤差限（簡(jiǎn)稱相對(duì)誤差）．例10測(cè)得圓鋼截面的直徑=60.03mm，測(cè)量的絕對(duì)誤差限．利用公式計(jì)算圓鋼的截面積時(shí)，試估計(jì)面積的誤差．歸納總結(jié)通過(guò)總結(jié)回顧所學(xué)知識(shí)作業(yè)布置通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用MATLAB求函數(shù)導(dǎo)數(shù)《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課時(shí)分配6教學(xué)目標(biāo)1．了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；3．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題；教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)的極值及其應(yīng)用最值問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)1.極值點(diǎn)的概念2.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用授課方式講授法，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容4.1利用導(dǎo)數(shù)求極限（洛必達(dá)法則）4.2函數(shù)的單調(diào)性與極值4.3曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4.4利用導(dǎo)數(shù)求極值4.5曲率4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程4.1利用導(dǎo)數(shù)求極限（洛必達(dá)法則）定理（洛必達(dá)法則）若（1），（2）與在的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且，（3）（為有限數(shù)，也可為或），則．這種在一定條件下，通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)來(lái)計(jì)算未定式極限的方法，稱為洛必達(dá)法則．例1求．例2求．例3求．例4求．例5求．例6求．例7求．在使用洛必達(dá)法則時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）每次使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于“”或“”型未定式，若不是這兩種未定式，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為這兩種未定式，否則不能使用該法則．（2）如果有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，以簡(jiǎn)化演算步驟．（3）當(dāng)不存在（不包括的情形）時(shí)，并不能斷定也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限．4.2函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)在區(qū)間上的增減性和它的導(dǎo)數(shù)值有密切關(guān)系．定理1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則有（1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少．有時(shí)，函數(shù)在其整個(gè)定義域上并不具有單調(diào)性，但在其各個(gè)部分區(qū)間上卻具有單調(diào)性．要確定可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求出使的點(diǎn)（駐點(diǎn)）；然后，用這些駐點(diǎn)將的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；最后在每個(gè)子區(qū)間上用定理1判斷函數(shù)的單調(diào)性．一般地，如果在某區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處為0，而在其余各點(diǎn)處都為正（或負(fù)），那么在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的．確定函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出使函數(shù)和不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域劃分成若干個(gè)子區(qū)間；（3）確定在各個(gè)子區(qū)間的符號(hào)，從而確定的單調(diào)區(qū)間．例1討論函數(shù)的單調(diào)性．二、函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值．同樣，若對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，均有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值．函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．定理2（極值存在的必要條件）設(shè)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，并且在點(diǎn)處取得極值，那么．由定理2可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是的駐點(diǎn)．反過(guò)來(lái)，駐點(diǎn)卻不一定是的極值點(diǎn)．例如，是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)．對(duì)于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它的極值點(diǎn)還可能是使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這種點(diǎn)稱為尖點(diǎn)．例如，函數(shù)，不存在，但是它的極小值點(diǎn)．定理3（極值存在的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，且在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)．當(dāng)x由小到大經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，（1）如果由正變負(fù)，那么點(diǎn)是極大值點(diǎn)；（2）如果由負(fù)變正，那么點(diǎn)是極小值點(diǎn)；（3）如果不變號(hào)，那么點(diǎn)不是極值點(diǎn)．求函數(shù)極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出的全部駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）考察上述點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；（4）求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值．例2求函數(shù)的極值．定理4（極值存在的第二充分條件）設(shè)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且，．（1）如果，則在點(diǎn)處取得極大值；（2）如果，則在點(diǎn)處取得極小值．例3求函數(shù)的極值．4.3曲線的凹凸點(diǎn)與拐點(diǎn)定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)處切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間上是凸的.定理1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在內(nèi)，則在上的圖像是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖像是凸的．例1判斷曲線的凹凸性．定義2連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為這條曲線的拐點(diǎn)．定理2（拐點(diǎn)的必要條件）設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則或不存在．判斷曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的方法如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求出二階導(dǎo)數(shù)，解出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)將整個(gè)定義域分成若干區(qū)間；（3）列表討論每個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，從而確定出曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．例2求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．4.4利用導(dǎo)數(shù)求最值函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值統(tǒng)稱為的最值．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值．一般情況下，把函數(shù)所有可能的極大值、極小值與區(qū)間的．求函數(shù)在上的最值的一般步驟如下：（1）求出在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn)；（2）求出各駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；（3）比較上述各函數(shù)值的大小，其中最大者是在上的最大值，最小者是在上的最小值．例1求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．例2求函數(shù)的最值．例3有一塊寬為的長(zhǎng)方形鐵皮，將寬的兩個(gè)邊緣向上折起，做成一個(gè)開(kāi)口水槽，其橫截面為矩形，高為．問(wèn)取何值時(shí)水槽的流量最大？例4有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，從其四個(gè)角截去大小相同的四個(gè)小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的容器，問(wèn)截去小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，該容器的體積最大？4.5曲率一、曲率及其計(jì)算公式設(shè)曲線是光滑的，在曲線上選定一點(diǎn)作為度量弧的基點(diǎn)，設(shè)在點(diǎn)處切線的傾斜角為，曲線上另外一點(diǎn)B處切線的傾斜角為．我們用比值（即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度大?。﹣?lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度．記，稱為弧段的平均曲率．記，稱為曲線在點(diǎn)處的曲率．于是，在存在的條件下，有．此式說(shuō)明曲線在點(diǎn)A處的曲率可表示為轉(zhuǎn)角微分與弧微分之商，其中弧微分．例如，設(shè)圓的半徑為R，如圖4-12所示，則圓的平均曲率．因?yàn)榕c點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，所以點(diǎn)處的曲率為，即圓上任意一點(diǎn)處的曲率都是相等的，等于．可見(jiàn)，半徑越小，彎曲程度越大，曲率越大，這與我們對(duì)圓的認(rèn)識(shí)是一樣的．設(shè)且具有二階導(dǎo)數(shù)（這時(shí)連續(xù)，從而曲線是光滑的）．因?yàn)椋?，兩邊取微分，有，于是．又知，從而得曲率的?jì)算公式，即．例1計(jì)算直線上任意一點(diǎn)的曲率．例2計(jì)算雙曲線在點(diǎn)處的曲率．例3設(shè)有兩個(gè)弧形工件A，B，工件A滿足曲線方程，工件B滿足曲線方程，試比較這兩個(gè)工件在處的彎曲程度．二、曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為()．在點(diǎn)處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)，使．以為圓心，為半徑作圓，這個(gè)圓稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心稱為曲線在點(diǎn)處的曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．曲線在點(diǎn)處的曲率()與曲線在點(diǎn)處的曲率半徑有如下關(guān)系：．例4如圖4-14所示，設(shè)工件表面的截線為拋物線．現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問(wèn)直徑為多大時(shí)砂輪才比較合適？4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用一、邊際分析1、邊際成本經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本是指總成本對(duì)產(chǎn)量x的變化率，即導(dǎo)數(shù)，一般記作MC．根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，產(chǎn)量為的邊際成本為．由于產(chǎn)量的最小變化單位只能為1，所以邊際成本可看作，當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再增加一個(gè)單位的產(chǎn)量所增加的總成本．例1某種產(chǎn)品生產(chǎn)x件時(shí)，總成本（元）．求當(dāng)產(chǎn)量為100時(shí)的平均成本和邊際成本．2、邊際收入經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入是指總收入對(duì)銷(xiāo)售量x的變化率．其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷(xiāo)售量達(dá)到某一點(diǎn)時(shí)，再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收入．邊際收入一般記作MR，即．例2設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格與銷(xiāo)售量的關(guān)系為，求銷(xiāo)售量為20時(shí)的總收入、平均收入與邊際收入．3、邊際利潤(rùn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際利潤(rùn)是指總利潤(rùn)對(duì)銷(xiāo)售量x的變化率，一般記作ML．其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷(xiāo)售量達(dá)到某一點(diǎn)時(shí)，再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)．由于總利潤(rùn)為總收入與總成本的差，即，故兩邊同時(shí)求導(dǎo)得．例3某工廠生產(chǎn)x臺(tái)產(chǎn)品的總成本為（元），總收入為（元），試求：（1）邊際利潤(rùn)函數(shù)；（2）產(chǎn)量為600臺(tái)和700臺(tái)時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）當(dāng)產(chǎn)量是多少時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？二、彈性分析定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的點(diǎn)彈性，記為．例4某種商品市場(chǎng)的需求量Q（單位：件）是價(jià)格P（單位：元）的函數(shù)，求價(jià)格為每件5元時(shí)的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義．例5設(shè)某種商品需求量D（單位：件）對(duì)價(jià)格P（單位：元）的函數(shù)關(guān)系是，試求價(jià)格為3元時(shí)的需求彈性．歸納總結(jié)通過(guò)總結(jié)回顧所學(xué)知識(shí)作業(yè)布置通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用MATLAB求函數(shù)的極值《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第5章一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用課時(shí)分配12教學(xué)目標(biāo)1．正確理解定積分的幾何意義，并能利用幾何意義與定積分性質(zhì)來(lái)對(duì)某些簡(jiǎn)單定積分的值進(jìn)行估計(jì)；2．正確理解變上限積分與微積分第一基本定理的涵義及其分析證明，并能熟練地應(yīng)用第一基本定理求變限積分的導(dǎo)數(shù)。3.掌握定積分的換元法與分部積分法；4．了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分；5.掌握定積分在幾何、物理等方面的應(yīng)用；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.掌握不定積分的概念及性質(zhì)；2.掌握微積分的基本公式以及定積分的性質(zhì)；3.熟練掌握不定積分的積分方法。4.定積分的換元積分法法；5.廣義積分的計(jì)算；6.掌握定積分的換元積分法和分部積分法的應(yīng)用授課方式課堂講授，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容5.1定積分的概念5.2不定積分的概念和性質(zhì)5.3微積分基本公式與定積分性質(zhì)5.4不定積分的積分方法5.5定積分的積分方法5.6廣義積分5.7定積分的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程5.1定積分的概念一、引例分析引例1曲邊梯形的面積，1）分割任取分點(diǎn)把區(qū)間任意分成個(gè)小區(qū)間，即．每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為．對(duì)應(yīng)地，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，其面積為．2）近似代替對(duì)于第i個(gè)小曲邊梯形，在小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得到以區(qū)間的長(zhǎng)為底，以為高的小矩形，如圖5-2所示，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即．圖5-23）求和將個(gè)小矩形的面積加起來(lái)即得曲邊梯形面積的近似值，即4）取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增大，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨近于0時(shí)，上述和式的極限便是曲邊梯形的面積，即．引例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，求物體在時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程．1）分割任取分點(diǎn)，把分成個(gè)小時(shí)間段

，第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，相應(yīng)的路程被分成了個(gè)小路程，記作．2）近似代替在每個(gè)小時(shí)間段上以勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，即在小時(shí)間段上任取一時(shí)刻，用速度近似代替這個(gè)小時(shí)間段上的速度，則有．3）求和將所有小時(shí)間段的路程求和，得到總路程的近似值，即．4）取極限若分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增多，令，當(dāng)時(shí)，上述和式的極限即是所求的路程的精確值，即．二、定積分的定義定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，任意取分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，稱為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記為．作乘積，并作和式．令，若，上述和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分，記作，即．其中，“”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，區(qū)間稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限與上限．說(shuō)明：（1）和式極限存在（即函數(shù)可積），是指不論對(duì)區(qū)間怎樣劃分及點(diǎn)如何選取，極限都唯一存在．（2）定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，即．（3）定積分的存在性：當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)時(shí)，在區(qū)間上的定積分存在（即可積）．初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部都是可積的．（4）定義是在的情況下給出的，但不管還是，總有．例1利用定義計(jì)算定積分．三、定積分的幾何意義從曲邊梯形面積的計(jì)算可以看出：（1）若在上，，則定積分表示由曲線、直線，及軸圍成的曲邊梯形的面積，即．（2）若在上，，則．（3）若在上，有正有負(fù)，即的圖像某些部分在軸上方，某些部分在軸下方，則定積分表示軸上方圖形的面積與軸下方圖形的面積之差，即．根據(jù)定積分的定義和幾何意義，顯然有如下結(jié)論：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）若在上，，則；（3）若奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，定積分計(jì)算可化簡(jiǎn)，則有（a）（b）例2利用上述結(jié)論計(jì)算．例3用定積分表示陰影部分的面積．

例4利用定積分的幾何意義求下列定積分的值：（1）； （2）．例5一輛汽車(chē)以速度(m/s)做直線運(yùn)動(dòng)，試用定積分表示汽車(chē)在到期間所經(jīng)過(guò)的路程，并利用定積分的幾何意義求出的值．5.2不定積分的概念和性質(zhì)一、原函數(shù)和不定積分的概念引例若已知物體的運(yùn)動(dòng)速度為，怎樣確定它的位置函數(shù)呢？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，要找的函數(shù)應(yīng)滿足．不難看出就滿足上述要求．抽去該問(wèn)題的物理背景，從數(shù)學(xué)角度看，就是尋找一個(gè)函數(shù)，使它的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)．此時(shí)我們稱位置函數(shù)為速度函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．定義1設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的已知函數(shù)，若存在函數(shù)，使對(duì)于區(qū)間上任意一點(diǎn)都有或，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．定理如果函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，且（是任意常數(shù)）是的全體原函數(shù)．定義2函數(shù)的全體原函數(shù)（是任意常數(shù)）稱為的不定積分，記作，即．其中，“”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分常數(shù)．由以上定義可知，若，則有．例1求．例2求．例3求．不定積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）之間有如下運(yùn)算關(guān)系：（1）或；（2）或．此關(guān)系概括為“先積后微形不變，先微后積多一常數(shù)”．由此可見(jiàn)，求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算）與求導(dǎo)（微分）運(yùn)算是互逆的．例如，，．二、不定積分的幾何意義當(dāng)積分常數(shù)取不同值時(shí)，不定積分表示的不是一個(gè)函數(shù)，而是一族函數(shù)．從幾何上看，它們代表一族曲線，稱為函數(shù)的積分曲線族．積分曲線族具有以下兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：（1）積分曲線族中所有的曲線都可以由其中任意一條曲線沿著軸的方向上下平移得到；（2）對(duì)應(yīng)同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)，其所有切線互相平行．三、基本積分公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）．不定積分的性質(zhì)如下：（1）被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即()．（2）兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即．性質(zhì)（2）可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形．例4求．例5求．例6求．例7求．例8求．例9求．例10已知物體以速度沿軸做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的路程為3m，求物體的運(yùn)動(dòng)方程．例11若某池塘結(jié)冰的速度為，其中（單位：厘米）表示冰的厚度，（單位：小時(shí)）表示時(shí)間，為正常數(shù)．當(dāng)時(shí)池塘開(kāi)始結(jié)冰，求結(jié)冰厚度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．5.3微積分基本公式與定積分性質(zhì)一、引例設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為，根據(jù)定積分概念，那么，在時(shí)間間隔內(nèi)走過(guò)的路程可表示為．若已知該運(yùn)動(dòng)方程（位置函數(shù)）為，那么，在時(shí)間間隔內(nèi)走過(guò)的路程也可表示為，所以有．上式表明，速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的原函數(shù)在區(qū)間上的增量．例1列車(chē)進(jìn)站后必須減速，若列車(chē)減速后的速度函數(shù)為（單位：km/min），問(wèn)列車(chē)應(yīng)該在離站臺(tái)多遠(yuǎn)的地方減速？二、微積分基本公式定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，則有．此公式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓—萊布尼茨公式．公式表明計(jì)算定積分分兩步：（1）先求的一個(gè)原函數(shù)，這就是求不定積分的問(wèn)題；（2）求這個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量．例2求下列定積分：（1）； （2）．三、定積分的性質(zhì)假定涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的．被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即(為常數(shù))．兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即．性質(zhì)2可以推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形，性質(zhì)1和2是定積分的基本運(yùn)算性質(zhì)．函數(shù)在上的定積分等于在和上的定積分的和，即．不論點(diǎn)在內(nèi)還是在外，上式都成立．若在區(qū)間上有，則．若在區(qū)間上有，則．．．性質(zhì)6（積分中值定理）若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得下式成立．變形得．積分中值定理的幾何意義：由曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間為底，以為高的矩形的面積．稱為函數(shù)在區(qū)間上平均值．例3比較下列各對(duì)定積分的大?。豪?估計(jì)定積分的值．例5計(jì)算．例6設(shè)求．例7某地區(qū)的人均年收入正在逐年提高，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)2015年的人均收入為25

836.45元人民幣，若這一地區(qū)人均年收入的增長(zhǎng)速度為（單位：元/年），是從2015年底開(kāi)始計(jì)算的年數(shù)，估算2020年該地區(qū)的人均年收入是多少？5.4不定積分的積分方法一、不定積分的換元積分法1、第一換元積分法定理1（第一換元積分法）設(shè)函數(shù)具有原函數(shù)，且可導(dǎo)，則函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)，即有換元公式．這個(gè)公式稱為第一換元積分法，也稱為湊微分法．利用第一換元積分法求積分的具體步驟如下：．例1求．例2求．例3求．例4求．（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）．例5求．例6求．例7求．例8求．=例9求．2、第二換元積分法定理2（第二換元積分法）設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且．又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式，其中，為的反函數(shù)．利用第二換元積分法求積分的具體步驟如下：．1）簡(jiǎn)單根式換元例10求．例11求．2）三角換元例12求．例13求．一般被積函數(shù)含有因子時(shí)，宜采用三角換元法．（1）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè)；（2）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè)；（3）當(dāng)被積函數(shù)中含時(shí)，設(shè)．3、補(bǔ)充的積分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）．二、不定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為，即．對(duì)上式的兩邊求不定積分，有，即．上式簡(jiǎn)記為．例14求．若設(shè)，則．積分比積分要復(fù)雜，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期目的．由此可見(jiàn)，選擇與非常關(guān)鍵，一般要考慮下列兩點(diǎn)：（1）v要易求；（2）積分要比積分易計(jì)算．例15求．例16求．例17求．例18求．例19求．例20求．例21求．分部積分公式中，u與dv的選擇是以積分運(yùn)算簡(jiǎn)便易求為原則．總結(jié)上面的例子可知，遇到下列被積表達(dá)式時(shí)，就可以考慮用分部積分法，具體湊微分如下：（1）（為多項(xiàng)式）；（2）或湊為或；（）5.5定積分的積分方法一、定積分的換元積分法定理1若在上連續(xù)，設(shè)函數(shù)滿足下列條件：（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（2）則有：．上式稱為定積分的換元積分公式．例1求．例2求．例3求．例4求下列定積分：（1）； （2）．二、定積分的分部積分法定理2若與在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有．上式稱為定積分的分部積分公式．例5科學(xué)預(yù)測(cè)一個(gè)新開(kāi)發(fā)的天然氣新井在開(kāi)采后第年的產(chǎn)量為（單位：），試求該天然氣新井前4年開(kāi)采的總產(chǎn)量是多少？例6求．例7求．5.6廣義積分一、無(wú)限區(qū)間的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分，記作，即．稱為廣義積分收斂；如果極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散.可定義在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分為．若上式等號(hào)右端的極限存在，則稱之收斂，否則稱之發(fā)散．函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分定義為．其中，c為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)上式右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，稱之為收斂，否則稱之為發(fā)散．若是的一個(gè)原函數(shù)，記（如果極限存在），則無(wú)限區(qū)間的廣義積分可表示為； ；．例1計(jì)算廣義積分．例2判斷的收斂性．例3求曲線與直線所圍成的圖形的面積．二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）定義2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，即為的無(wú)窮間斷點(diǎn)（又稱瑕點(diǎn)）．取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作，即．當(dāng)為的無(wú)窮間斷點(diǎn)時(shí)，即，取，則在上的廣義積分定義為：．當(dāng)無(wú)窮間斷點(diǎn)位于區(qū)間的內(nèi)部時(shí)，則其廣義積分定義為．上式右端兩個(gè)積分均為廣義積分，只有當(dāng)這兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，才稱收斂，否則稱發(fā)散．例4計(jì)算廣義積分．例5討論廣義積分的斂散性．5.7定積分的應(yīng)用一、定積分的微元法我們將稱為面積S的微元，記作dS，即．以面積S的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分，得．面積S就是面積微元在上的積分．計(jì)算在區(qū)間上的某個(gè)量U的定積分的方法：第一步：將量U依賴的區(qū)間進(jìn)行任意分割，代表性小區(qū)間記為，求出量U對(duì)應(yīng)于代表性小區(qū)間上的微元（的近似值）．第二步：將微元在區(qū)間上積分（無(wú)限累加），即得．二、定積分在幾何上的應(yīng)用1、平面圖形的面積設(shè)平面圖形是由區(qū)間上的連續(xù)曲線

及直線圍成的，如圖5-15所示，取為積分變量，在變化區(qū)間上任取一小區(qū)間，其所對(duì)應(yīng)的面積微元為．由微元法可知，該平面圖形的面積為．若平面圖形是由區(qū)間上的連續(xù)曲線及直線圍成的，如圖5-16所示，那么該平面圖形的面積為．例1計(jì)算由兩條拋物線所圍成圖形的面積．例2求拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積．例3求橢圓所圍成圖形的面積（簡(jiǎn)稱橢圓的面積）．2、空間立體的體積1）旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸．球體、圓柱體、圓臺(tái)、圓錐、橢球體等都是旋轉(zhuǎn)體．類型1若一旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，求它的體積．類型2若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的．同理可求得其體積為．2）平行截面面積為已知的立體體積設(shè)一立體位于平面與之間，用任一個(gè)垂直于軸的平面截此物體所得的截面面積是上的連續(xù)函數(shù)，在上取一小區(qū)間，其相應(yīng)薄片體積的近似值是底面積為、高為的柱體體積．于是該立體的體積微元為．將其在上積分，即得該立體的體積為．3、平面曲線的弧長(zhǎng)計(jì)算曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長(zhǎng)度．取橫坐標(biāo)為積分變量，其變化區(qū)間為．如果函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線上任一小區(qū)間上一段弧的長(zhǎng)度微元可用該曲線在點(diǎn)處切線上相應(yīng)的長(zhǎng)度近似代替，而切線上這一小段的長(zhǎng)度為．從而曲線的弧長(zhǎng)為．如果曲線的方程為參數(shù)方程，取參數(shù)為積分變量，其變化區(qū)間為，則任一小區(qū)間上一段弧的長(zhǎng)度近似為．于是，所求曲線長(zhǎng)為．三、定積分在物理上的應(yīng)用1、變力做功如果一個(gè)物體在恒力的作用下，沿力的方向移動(dòng)距離，則力對(duì)物體所做的功是．如果一個(gè)物體在變力的作用下，做直線運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)其沿軸運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)物體由軸上的點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，變力對(duì)物體所做的功是多少呢？采用微元法，所求功對(duì)區(qū)間具有可加性．設(shè)變力是連續(xù)變化的，分割區(qū)間，任取一個(gè)小區(qū)間，由的連續(xù)性可知，物體在這一小段路徑上移動(dòng)時(shí)，的變化很小，于是可以得到功的微元．將微元從到b積分，得到整個(gè)區(qū)間上力所做的功為．2、液體壓力現(xiàn)有一面積為的平板，水平置于比重為，深度為的液體中，則平板一側(cè)所受的壓力值為．若將平板垂直放于該液體中，對(duì)應(yīng)不同的液體深度，其所受的壓強(qiáng)值也不同，求解平板所受壓力。設(shè)平板邊緣的曲線方程為，則所求壓力F對(duì)區(qū)間具有可加性．在上任取一個(gè)小區(qū)間，其對(duì)應(yīng)的小橫條上每個(gè)點(diǎn)的液面深度近似看成，且液體對(duì)它的壓力近似看成長(zhǎng)為、寬為的小矩形所受的壓力，根據(jù)微元法，可以知道壓力的微元為．于是所求壓力為．四、定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用（利潤(rùn)問(wèn)題）某公司每個(gè)月生產(chǎn)x臺(tái)電視機(jī)，邊際利潤(rùn)（元）由下式給出：．目前公司每月生產(chǎn)1500臺(tái)電視機(jī)，并計(jì)劃提高產(chǎn)量，試求出每月生產(chǎn)1600臺(tái)電視機(jī)時(shí)，利潤(rùn)增加多少？解．故當(dāng)電視機(jī)的產(chǎn)量每月從1500臺(tái)增加到1600臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)增加1000元．（收益問(wèn)題）已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位時(shí)，邊際收益為（萬(wàn)元/單位），試求生產(chǎn)x單位產(chǎn)品時(shí)的總收益函數(shù)及平均單位收益函數(shù)，并求生產(chǎn)這種產(chǎn)品120單位時(shí)的總收益與平均收益．解因?yàn)榭偸找媸沁呺H收益函數(shù)在上的定積分，所以生產(chǎn)x單位產(chǎn)品時(shí)的總收益函數(shù)為．平均收益函數(shù)為．當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品120單位時(shí)，總收益為．平均收益為．（有效時(shí)段）某娛樂(lè)公司把一種娛樂(lè)用品安裝在一個(gè)公眾活動(dòng)的地點(diǎn)，分別用和表示該娛樂(lè)用品的成本函數(shù)與收益函數(shù)，其中表示已安裝使用的時(shí)間（年）．已知．使成立的值稱為該娛樂(lè)用品有效時(shí)段，其幾何意義如圖5-31所示．本例中有效時(shí)段的計(jì)算如下：，，，，．這樣，該娛樂(lè)用品的有效時(shí)段約為3年．超過(guò)這個(gè)使用時(shí)段，該娛樂(lè)公司所安裝的娛樂(lè)用品是虧本的．試求出在有效時(shí)段內(nèi)，該娛樂(lè)公司所取得的全部利潤(rùn)．解有效時(shí)段為，因此該公司所取得的全部利潤(rùn)為．歸納總結(jié)通過(guò)總結(jié)回顧所學(xué)知識(shí)作業(yè)布置通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用MATLAB求定積分《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案課程名稱：高職應(yīng)用數(shù)學(xué)總學(xué)時(shí)：64課程章節(jié)第6章多元函數(shù)的微積分初步課時(shí)分配10教學(xué)目標(biāo)1．正確理解多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性；2．正確理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念；3.掌握多元函數(shù)的求導(dǎo)法則及計(jì)算公式4.正確理解二重積分的概念與性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算以及在幾何上的應(yīng)用；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)多元函數(shù)的極限與連續(xù)性；偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；二重積分的性質(zhì)、計(jì)算與應(yīng)用；授課方式課堂講授，板書(shū)教學(xué)內(nèi)容6.1空間解析幾何簡(jiǎn)介6.2多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性6.3偏導(dǎo)數(shù)6.4全微分6.5多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與隱函數(shù)的求導(dǎo)公式6.6二元函數(shù)的極值和最值6.7二重積分的概念與性質(zhì)6.8二重積分的計(jì)算6.9二重積分在幾何上的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程6.1空間解析幾何簡(jiǎn)介一、空間直角坐標(biāo)系1、概念過(guò)空間一定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸Ox軸（橫軸）、Oy軸（縱軸）、Oz軸（豎軸），其中三條數(shù)軸符合右手規(guī)則，這就構(gòu)成了一個(gè)．我們把點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，數(shù)軸Ox，Oy，Oz稱為坐標(biāo)軸，平面xOy，yOz，zOx稱為三個(gè)坐標(biāo)面．2、空間點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)M為空間中一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于三條坐標(biāo)軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P，Q，R，如圖6-3所示，設(shè)P，Q，R三點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)依次為x，y，z．由此，空間一點(diǎn)M就唯一地確定了一個(gè)有序三維數(shù)組，稱為點(diǎn)M的直角坐標(biāo)，x，y，z分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記作．八個(gè)卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)為：第一卦限：，，； 第二卦限：，，；第三卦限：，，； 第四卦限：，，；第五卦限：，，； 第六卦限：，，；第七卦限：，，； 第八卦限：，，．3、兩點(diǎn)間的距離設(shè)，為空間兩點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為．特別地，點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為．例1求點(diǎn)到三條坐標(biāo)軸的距離．點(diǎn)M在x軸的距離．點(diǎn)M到y(tǒng)軸和z軸的距離分別為，，其中，P，Q，R分別是點(diǎn)M在x、y軸和z軸上的投影點(diǎn)．二、曲面及其方程1、曲面方程的概念如果曲面∑上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，不在曲面∑上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程，則稱方程為曲面∑的方程，而曲面∑稱為方程的圖形．2、幾種常見(jiàn)曲面及其方程1）球面建立球心在點(diǎn)，半徑為的球面的方程．設(shè)點(diǎn)為球面上任意一點(diǎn)，．于是有，即，將上式展開(kāi)并整理，可得，即有．球心在原點(diǎn)，半徑為R的球面方程為．2）柱面動(dòng)直線L沿定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面．定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱為柱面的母線.設(shè)一個(gè)圓柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線C是xOy平面上以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓．在平面直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)線C的方程為，現(xiàn)在我們來(lái)求這個(gè)圓柱面的方程．設(shè)點(diǎn)為圓柱面上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的母線與xOy平面的交點(diǎn)一定在準(zhǔn)線C上．因此，不論點(diǎn)M坐標(biāo)中的z取什么值，它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y必定滿足方程．反之，不在圓柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足該方程，因此所求圓柱面的方程為．3）旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸．例如，在yOz坐標(biāo)面上的拋物線，把這條曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面．在曲線方程中，將y換成，便得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程，即．單葉雙曲面(，，)雙葉雙曲面(，，)橢圓拋物面(，)三、空間曲線空間曲線可以視為兩個(gè)曲面的交線．設(shè)兩個(gè)曲面方程分別為；．它們的交線為C．因曲線C上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都同時(shí)滿足這兩個(gè)方程，不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不能同時(shí)滿足這兩個(gè)方程，所以方程組就是曲線C的方程．6.2多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念1、實(shí)例實(shí)例1具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積V，壓強(qiáng)P，熱力學(xué)溫度T之間具有下面的依賴關(guān)系（是常數(shù)）．實(shí)例2設(shè)長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為，則長(zhǎng)方形的體積為．2、二元函數(shù)的定義定義1設(shè)有三個(gè)變量，如果變量x，y在某一范圍內(nèi)任取一對(duì)值，按照一定的法則，變量z總有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，則稱變量是變量的二元函數(shù)，記作．其中，稱為自變量，稱為因變量．自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．一元函數(shù)的定義域一般來(lái)說(shuō)是一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間，而二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區(qū)域．圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開(kāi)區(qū)域．例1求二元函數(shù)的定義域．例2求二元函數(shù)的定義域．二、二元函數(shù)的極限定義2對(duì)于二元函數(shù)，如果點(diǎn)以任意方式趨向點(diǎn)時(shí)，總趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，那么就稱是二元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或．例3求極限．例4求．例5求．三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果，則稱二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及求法定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)固定在，而在處有改變量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有改變量，稱其為函數(shù)對(duì)的偏增量，記為．如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，，，．例1設(shè)，求，，和．例2設(shè)()，求，．例3設(shè)二元函數(shù)，求，．例4設(shè)，求．例5求的偏導(dǎo)數(shù)．二、高階偏導(dǎo)數(shù)定義2設(shè)函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，都存在，若，對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)仍存在，則這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)變量求導(dǎo)的先后次序記為下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：；；；．其中，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)．類似地，有三階、四階和更高階的偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．定理如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)有．例6求的二階偏導(dǎo)數(shù)．6.4全微分一、概念定義若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可以表示為，其中，與無(wú)關(guān)，是的高階無(wú)窮小，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分，記作，即．這時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微．如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微．如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必不可微．定理（可微的必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有．定理2（可微的充分條件）若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定可微．例1求的全微分．例2求在點(diǎn)處的全微分．二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則當(dāng)和都較小時(shí)，其全微分，且其全增量與全微分之差是一個(gè)比高階的無(wú)窮?。虼?，當(dāng)和都較小時(shí)，全增量可以近似地用全微分代替，于是有或