2022年全國卷I高考數(shù)學(xué)理科模擬試題卷

評卷人得分

一、選擇題(共12題，每題5分，共60分)

1.已知集合人=僅|0<1。8,/1},8=僅限忘2},則八。8=.

A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]

2.已知復(fù)數(shù)z=(w3i)(3+2i)(aGR)的實(shí)部與虛部的和為7,則a的值為

A.1B.0C.2D.-2

3.設(shè)a=2*,ZF13=,c=log213,則a,b,c的大小關(guān)系為

A.t>>a>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>>a

4.已知向量a,6的夾角為60°,|a|=2,|a-2引=2,則|6|=

A.4B.2C.y/2D.1

5.函數(shù)f(x)=*+8_在區(qū)間(-n,0)U(0,n)內(nèi)的大致圖象是

2

6.已知a=log0,5,&=log32,c=2°-,d=(；)-=,從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)m使函數(shù)

/-(x)=^x3+mxz+x+2有極值點(diǎn)的概率為

A.lB.iC.BD.1

7.如圖，a_L6,a(1B=1,ACa,BeB,A,B到1的距離分別是a和b,AB與a,B所成的

角分別是。和小，AB在a,B內(nèi)的射影分別是m和n,若a>b,則

A.0>(|),m>nB.0><|),m<nC.0<<1>,m<nD.。<小，m〉n

8.如圖是一個(gè)算法的程序框圖，如果輸入i=0,5=0.那么輸出的結(jié)果為

A.三B.iC.士D.兮

9AKA

9.設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝滿足a2=7,a4=3,S是數(shù)列｛a,｝的前n項(xiàng)和,則使得S,>0成立的最大的自然

數(shù)〃是

A.9B.10C.11D.12

10.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，/?(■)是偶函數(shù)，且當(dāng)0〈后1時(shí)，f(x)=。則

A.f(辿)>f(2)?B.f(①)>F(2)?

72a77a

c->f(3>-D—>—>—

a22a22

11.函數(shù)產(chǎn)sin(2xQ的圖象經(jīng)過怎樣的平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(-三,0)中心對稱

A.向右平移三個(gè)單位長度B.向右平移四個(gè)單位長度

12￡

C.向左平移三個(gè)單位長度D.向左平移三個(gè)單位長度

12.如圖，設(shè)aCB=EF,ABVa,CDV。，垂足分別為B,D,且如果增加一個(gè)條件就能

推出以小硒給出四個(gè)條件:①他L￡;②Id優(yōu)③/C與劭在￡內(nèi)的正投影在同一條直線

上;④4C與切在￡內(nèi)的正投影所在的直線交于一點(diǎn).那么這個(gè)條件不可能是

A.①②B.②③C.③1).@

第H卷(非選擇題)

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評卷人得分

二、填空題(共4題，每題5分，共20分)

13.已知函數(shù)/1(*)=21111旄-取(6=2.718283是自然對數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

力的取值范圍是.

14.如圖所示是函數(shù)尸/sin(3x+0)(4>0,。>0,-n<it)的圖象，由圖中條件求得該函數(shù)

的解析式為.

15.己知首項(xiàng)為p的數(shù)列｛%｝滿足a/-a”—2—%心j-a?_,a”、，=0(n>2),且a,=q,

數(shù)列1%｝中任意相鄰兩項(xiàng)的和不為0,若除為數(shù)列8”｝的前n項(xiàng)和,則Sc。,，=.

16.已知尸是圓C:x+y+4^-2V5J^8=0上一動點(diǎn)，戶關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為也關(guān)于直線片x的

對稱點(diǎn)為N,貝I」|網(wǎng)』的取值范圍是.

評卷人得分

三、解答題(共7題，共70分)

17.△ABC的內(nèi)角4B.C的對邊分別為a,b,c,且sinC=sinB+sin(4-B).

(1)求角4的大小；

(2)若a=V7,△ABC的面積S=乎,求△ABC的周長.

18.如圖1,在四邊形ABCD中,E是邊AP的中點(diǎn),4>2陷449=4,NA=/?NDCE=60°.將

△G定沿龍折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)戶的位置(如圖2).若四棱錐尸4以方的體積最大.

圖2

⑴求證：利_LAC;

(2)求三棱錐?以萬的表面積.

19.為了加強(qiáng)食品安全監(jiān)管,某縣市場監(jiān)管局計(jì)劃添購一批食品檢測儀器,符合這次采購要求

的檢測儀器只有甲、乙兩種型號，下表是該縣市場監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號檢測儀器

的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計(jì)表.

使用年限1年2年3年4年合計(jì)

甲型號檢測儀器數(shù)量/臺287320

乙型號檢測儀器數(shù)量/臺396220

以頻率估計(jì)概率.

(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測儀器中各隨機(jī)抽取一臺，求甲型號檢測儀器的使用年限

比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年的概率；

(2)若該縣市場監(jiān)管局購買甲、乙兩種型號檢測儀器各2臺，記2年后仍可使用的檢測儀器的

臺數(shù)為f,求f的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.已知橢圓。:5+91(a核0)過點(diǎn)做巡，3,且分別以橢圓的長軸和短軸為直徑的圓的面

積的比值為4."、“

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線尸kx(k>0與橢圓C交于A,6兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線43的垂線,交橢圓C于點(diǎn)D,連接

BD,與x,y軸分別交于點(diǎn)P,Q,過原點(diǎn)。作直線劭的垂線,垂足為其求|勿?|?|PQ\的最大值.

21.已知函數(shù)f5)=4+lf(G0,H>0,aWl,6#1).

⑴設(shè)5=2,b=\

?*

①求方程f(x)=2的根；

②若對于任意xWR,不等式公-6恒成立,求實(shí)數(shù)〃的最大值；

(2)若0〈a〈l,楊1,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求a6的值.

請考生在第22、23三題中任選二道做答，注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按

所做的第一個(gè)題目計(jì)分。

22.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線A的參數(shù)方程為『MM"為參數(shù))，直線A的參數(shù)方程為

［X=、勺;^(應(yīng)為參數(shù)).設(shè)直線人與心的交點(diǎn)為巴當(dāng)々變化時(shí)點(diǎn)尸的軌跡為曲線G.

I曠=獲

(1)求出曲線G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線G的極坐標(biāo)方程為

Psin(夕+J)=3，2,點(diǎn)0為曲線G上的動點(diǎn),求點(diǎn)O到直線猿的距離的最大值.

23.［選修：-5:不等式選講］

已知函數(shù)F(x)=|尸2|.

(1)求不等式2f(x)W8-f(『2)的解集；

(2)設(shè)a,&c均為正實(shí)數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x+2)的最小值為尹乙+士求證:“4從c>18.

hnn

參考答案

1.D

【解析】本題考查集合的運(yùn)算，同時(shí)考查對數(shù)不等式的解法.求解對數(shù)不等式時(shí)注意將常數(shù)轉(zhuǎn)

化為對應(yīng)的對數(shù),而后準(zhǔn)確應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.0<log4x<l,即

log41<log4X<log,|4,l<x<4,集合A={x|l<x<4},.'.ADB={x|l〈xW2}.

【備注】無

2.C

【解析】【必備知識】本題考查的知識是“理解復(fù)數(shù)的基本概念”，“能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形

式的四則運(yùn)算”.

【關(guān)鍵能力】本題考查運(yùn)算求解能力.

z=(w3i)(3+2i)=3濟(jì)2ai-9i-6i?=3濟(jì)6+(2a-9)i,所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別為3濟(jì)6,2a~9,

于是3a+6+2a-9=7,得爐2,故選C.

【備注】無

3.C

【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，并借此考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

考查數(shù)形結(jié)合思想.

易知所2士2:2,而ZF132>42=2,c=log213>log24=2,所以a<bya<c.在同一平面直角坐標(biāo)系

內(nèi)作出函數(shù)尸段和尸log2X的圖象,它們有兩個(gè)交點(diǎn)(4,2)與(16,4),在(4,16)上產(chǎn)log2X的

圖象在尸小的圖象的上方,如圖，由圖可知log213>13=即c>b,所以c>b>a.故選C.

第5頁

【備注】【素養(yǎng)落地】試題選取基本初等函數(shù)為載體，引導(dǎo)考生靈活應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)

分析問題，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

4.D

【解析】13-2引2=|a|2-4a?加4|6|2=4-4X2X|b|cos60°+4|引2=4,解得㈤=1或㈤=0（舍

去），故選D.

【備注】無

5.A

【解析】由于f(-X)=阻旦+"=9+￡=-(任+上)=-f(X),所以f(X)是奇函數(shù),

-Xsm(-x)-x-sinxxsiar

其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除D;f(x)=0吧起=也紀(jì),當(dāng)士水n時(shí),7>1,所以為in

xsinxxsinx22

2；f+J>]+；sin2x>0,又xsinx>0,所以f{x}>0,排除B,C.故選A.

【備注】無

6.B

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、古典概型.

對f(x)=；婷+mx2+%+2求導(dǎo)得廣(x)=x:+mx+L若函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)，

則尸(動有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故4=4m2-4>0,解得m>1或m<-1,

第6頁

0,2

而a=log。：5<-2,0<b=log32<Lc=2>1,0<d=（；）<1,

滿足條件的有2個(gè),分別是a,c,

故滿足條件的概率p=j==.

故選：B.

【備注】無

7.D

【解析】由勾股定理,得a2+n2=AB2,b2+m2=AB2,于是

a2+n2=b2+m2,注意到a>b,a2-b2=m2-n2>0,所以m>n.

由于sin0,sin。二2，而a>b,所以sin?！磗in。，得0<力.

ABAB

【備注】無

8.C

【解析】本題考查流程圖.起初：1=0,S=0;循環(huán)1次：i=0+1=1,5=0-I----—=

1X（1+1）2

循環(huán)2次：i=l+l=2,S=-H----—=循環(huán)3次：i=2+l=3,5=二H---=—=

22X（2+1）333X（3+1）4

循環(huán)4次：i=3+l=4,S=-H----—=不滿足條件，結(jié)束循環(huán)，輸出士.選C.

44X（4+1）55

【備注】?？疾檠h(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖，一般循環(huán)5次左右求出結(jié)果.

9.A

【解析】由題意可得E｝的公差占廿二-2,切=9,所以&故｛4｝是遞減數(shù)列,且

詼〉0>為,劣+a=0,于是國二r注?9>0,510=c^^-10=0,S1二c出?1K0,故選A.

【備注】無

第7頁

10.c

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，考查分析問題、解決問題

的能力.根據(jù)已知條件判斷出2是函數(shù)/1(*)的周期，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

因?yàn)?X+3是偶函數(shù),所以f(x+3=f(-x+3,得/1(-x)=f(x+D.又f(x)是奇函數(shù)，所以

『(戶1)=-F(x),所以/"(戶2)=-7■(戶l)=F(x),所以2是f(x)的周期.當(dāng)0〈xWl

時(shí)，/Xx)=三,6(X)=之20,所以函數(shù)/l(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，又/Xx)是奇函數(shù),A0)=0,所

exex

以函數(shù)/tr)在［-1,1］上單調(diào)遞增,而

=i

f(①c)=cF(lf504X2)=「仕c)，/'c(^)c=/(—+505X2)=/'(-c^,/'(—c)<c<AD.,所以

”(守)/?管).

【備注】【素養(yǎng)落地】試題注重導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，借助函數(shù)圖象來探

索解決問題的思路，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

11.A

【解析】設(shè)函數(shù)尸sin(2x+與的圖象經(jīng)過平移后所得圖象的解析式為

3

產(chǎn)sin［2(x+0)+巧二sin(2x+2。把),

33

因?yàn)楹瘮?shù)片sin(2x+2。百的圖象關(guān)于點(diǎn)(一三,o)中心對稱,所以sin［2X(*)+2。乃］=0,

312123

即20隹二kn,keZ,得0="n-i,kGZ.

6212

故尸sin［2(x+0)產(chǎn)］

3

=sin［2(x』)+kK乃］

123

第8頁

_sin[2(x*)+》(〃為偶數(shù))，

--sin[2(x*)+)昉奇數(shù)).

故將函數(shù)尸sin(2x灼的圖象向右平移三個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)中心對稱，

31212

故選A.

【備注】無

12.D

【解析】①②都能說明甌1平面ACDB,即都能說明勿垂直于平面力〃力內(nèi)的兩條相交直線;③

由三垂線定理可知EFVAC,EFVAB,則加工平面｛夕長④說明AC,故都不垂直于EF,否則兩條

直線重合.故選D.

【備注】無

13.(e,*°°)

【解析】本題考查函數(shù)的圖象及零點(diǎn)等知識,考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運(yùn)算求解能力.求解

的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.因?yàn)閒(x)=2eln近所以

f(x)=e,-kx.令f(x)=0,得e-kx,則函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x)=e'的圖象和

直線片有兩個(gè)不同的交點(diǎn).易知當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)g(x)=e'的圖象和直線片在x沒有交點(diǎn)，當(dāng)

A<0時(shí)，函數(shù)g(x)=e"的圖象和直線片履只有一個(gè)交點(diǎn)，故k>0.現(xiàn)考慮函數(shù)g(x)=e'的圖象和

直線片而相切時(shí)k的值,設(shè)切點(diǎn)為(即,e*。)，因?yàn)槲?x)=e，,所以切線的斜率k=e*。,又k=—,

*0

所以鏟。=之,解得須=1,所以斤e.故要使函數(shù)g(x)=e'的圖象和直線尸履有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，則需k>e.

【備注】無

14.y=2sin(三產(chǎn)工)

33

第9頁

【解析】方法一(單調(diào)性法)由圖象可知，函數(shù)的最小正周期六至-(T)=3"=生，則。=三，

2233

因?yàn)辄c(diǎn)(n,0)在下降的那段函數(shù)圖象上,所以生+。eg+2An,](%6Z),由

322

sin(—+0)=0,得@+0=(24+l)兀(AGZ),因?yàn)?叮<O〈兀，所以6=工

333

易知力=2,故所求的函數(shù)解析式為尸2sinUx+9.

33

方法二(最值點(diǎn)法)由圖象可得左2,函數(shù)的最小正周期r3H，所以3二三，將(三2)代入

34

尸2sin(三x+0),得2sin(2+6)=2,所以工+<P=2k^+-(AeZ),所以6=2k濱+U(A￡Z),又

36623

-JI<^><JT,所以0=工，

3

故所求的函數(shù)解析式為尸2sin(4+H).

33

方法三(起始點(diǎn)法)函數(shù)片/sin(口/0)的圖象一般由五點(diǎn)作圖法作此而起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)

司正是由3蜀+0=0解得的，

由圖象可得4=2,3二三,即二-三。二-3加二-三X(上)二工.此時(shí)0=上滿足一n<0<n,故所求的函數(shù)

323233

解析式為尸2sin(%+2).

33

方法四(圖象平移法)由圖象知,將函數(shù)片2sin：的圖象沿x軸向左平移二個(gè)單位長度,就得

32

到本題的圖象，故所求函數(shù)解析式為尸2sin[三(*+2)],即尸2sin(U+2).

3233

【備注】由三角函數(shù)圖象求片/sin(。戶。)儲>0,。>0)的解析式，通常由最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確

定4由周期定3,由特殊點(diǎn)定。.一般來說3的值是唯一的，但。的值是不確定的,它有無

第10頁

窮多個(gè),因而往往會給定0的取值范圍，如本題中,給定0的取值范圍-n<,通過運(yùn)算,

確定0的值為

3

15.p

【解析】本題主要考查數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查了邏輯推理能力.

—On-i*?n?n+i—?n-i^n+i-(^n+^n-i)(?n-—冊+1)=0,/+=0，

所以冊—an-l-%+1，即=an-l+an+r

窮舉數(shù)列:p,q,q-p,-p,-q,p-q,p,q.―,

所以數(shù)列｛aj是6個(gè)一循環(huán)的循環(huán)數(shù)列,一組的和為0,

則2017=6x136+1,

所以S：:017=P-

【備注】無

16.[2V2,4V2]

【解析】本題考查圓的方程,動點(diǎn)問題,考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力.

先設(shè)出點(diǎn)〃的坐標(biāo),進(jìn)而得出也"的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間距離公式及圓的相關(guān)知識即可得解.

由題可得，圓C(92)2+(廣6)2=1,圓心為r(-2,")，半徑L1.設(shè)P(x,y),則

M-x,y),N(y,x).\MN\=J(x+y尸+(x-y尸=y/2?Jx-+y-=代1/，易知

I0C\|例W|0C\+r,|0C\=3,所以2W|加W4,2在(MN\所以I惻的取值范圍

是[2中4?

【備注】無

17.(1)因?yàn)?+B+C=m所以C=n—(A+B),

所以sinC=sin(A+B)=sinB4-sin(4-B),

第11頁

所以sinRcosB+cosAsinB=sinB+sinAcosB-cosAsinB,

所以2cosAsinB=sinB,

所以cosA=g

所以A=2.

3

i,..a/i

-bcsio4=—

(2)依題意得22

a2=&2+c2-2bccosA

所唯筌3

所以(b+c)2=&2+c2+2bc=25,

所以b+c=5,

所以Q+b+c=5+0,

△ABC的周長為5+々,

【解析】本題主要是考查正余弦定理,和角公式,三角形面積公式.

(1)由sinC=sinB+sin(24-B),根據(jù)TT-(A+B),結(jié)合和角公式得到28sAsinB=sinB,即

1,..3V*?

-6csin>l=-，求出"c,即可.

(a2=b2+c2-2bccosA

【備注】無

18.(1)由題意得AE=2f

在△物￡中，由余弦定理得應(yīng)%4￡2+/#-2/8X45bos60°=3,

所以4+力於癥.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知BELAB.

易知ZPEONEAB,從而AB//CE,

故BE工CE.

因?yàn)樗睦忮FFA%方的體積最大，

第12頁

所以平面尸公1平面極石

所以易知班」平面PCE,

又夕后平面座所以BELPC.

（2）易得區(qū),"Wx2X2Xsin60°=p,

由⑴知4BCE,△聯(lián)均為直角三角形,且

S△賬=逐座XC^V3.以才逐緲XP好事,

B^y/BE'+CE-=V7,PB=^PE-+BE-=/,

故5AX2X.7-1-y/6t

所以三棱錐尸旌的表面積5=5A?+5A?+5A?+5A?=3V3+V6.

【解析】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查考生的空

間想象能力、邏輯推理能力.

⑴由題意易知平面尸血平面ABCE,所以要證明BELPC,只需要證明防L平面磔;（2）根據(jù)

垂直關(guān)系及長度關(guān)系,分別求出各個(gè)面的面積,即可得表面積.

【備注】【素養(yǎng)落地】立體幾何研究的是空間圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，在高考命題

中主要承載了對直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查,在研究過程中,利用特殊兒何體分

析研究對象是直觀想象的具體體現(xiàn)，以此為基礎(chǔ),還要借助邏輯推理來實(shí)現(xiàn)對位置關(guān)系的判

定.

19.解：（1）記事件4為“從以往使用的甲型號檢測儀器中隨機(jī)抽取一臺，使用年限為，年”，

事件6為“從以往使用的乙型號檢測儀器中隨機(jī)抽取一臺，使用年限為，年”，產(chǎn)1,2,3,4;

事件。為“從以往使用的甲、乙兩種型號檢測儀器中各隨機(jī)抽取一臺，甲型號檢測儀器的使

用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年”，則

P9=P（施+P5的+R4⑻竦x5+三x合+￡x奈0.2625.

（2）由題意知甲型號檢測儀器2年后仍可使用的概率為3乙型號檢測儀器2年后仍可使用的

概率為二.

第13頁

設(shè)2年后仍可使用的甲型號檢測儀器有才臺，乙型號檢測儀器有y臺，易知

F/2,三).

25

由題意知f的所有可能取值為0,1,2,3,4,

且P[f=0)=P(省0,片0)=C9d)°⑶2?C°(-)°(-)—,

-22-55100

P<f=l)=—六0)+尸(后0,片l)=cw⑶'⑶二C?(3°e)2+C9⑶飛)2?Ci(-)1(-)*=-,

-22-55-22-5510

P(f=3)=尸(廬2,及1)+PC曰,六2)=3時(shí)(與°?C*三)'值)'+C0'⑶二C?(2)2(-)°~,

-22-55-22-555

P(f=4)=。后2,及2)=%(4)2時(shí)?C5(-)2(-)°=-,

-22-5525

Af=2)=1-必f=0)-P(f=D-P(f=3)-p(f=4)=工,

所以f的分布列為

g01234

P933711

10010100525

所以￡,f=0X—+1X—+2X—+3xi+4X—=-.

100101005255

【解析】本題考查數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力.

（1）對甲、乙兩種型號檢測儀器的使用年限的情況進(jìn)行分類,利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求

解即可；（2）先根據(jù)題意分別求出甲、乙兩種型號檢測儀器2年后仍可使用的概率,再設(shè)2年

后仍可使用的甲型號檢測儀器有才臺，乙型號檢測儀器有y臺,可得％y均服從二項(xiàng)分布,然

后根據(jù)二項(xiàng)分布的知識求得f的所有可能取值及其對應(yīng)的概率,從而可得分布列與期望.

【備注】無

20.解：（1）因?yàn)榉謩e以橢圓的長軸和短軸為直徑的圓的面積的比值為4,

所以嗎4,即@2=4彼①.

第14頁

將（/3代入橢圓方程，得專+親=1②.

由①②解得一=4,片=1,

所以橢圓，的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+y=1.

4

⑵因?yàn)楸亍棺鏊浴慌?1%呷陽?0Q\,

所以IM-\PQ\=\OP\?\0Q\,

故求|。?|?|國|的最大值，即求\0P\?|的最大值.

設(shè)A（xi,yi）,〃（盟,72）,則8（-%,-力），所以A=A

*1

由題意知陽1四所以直線相的斜率人二

yi

設(shè)直線49的方程為尸卜田鞏由題意知h<0,rWO,

（y=k1x+m.99

由IX2e4消去y得（l+4k；）x+8為加X+4〃L4=0,

（-+y-=l,

所以Xi+&=-網(wǎng)絡(luò)?，力+鹿=氏（用+&）+2爐r,

所以心3=-工=工,

Xt+X24kl

所以直線劃的方程為廣力二江（x+小）.

令尸0,得尸3用，即2（3擊，0）;令尸0,得尸一91,即0（0,一：乃）.

所以|。尸|?IWl=3|^i|X-|yi|=-|jrJ|yi|.

4>4

又1=^-+yf^2J~yf=II>當(dāng)且僅當(dāng)粵二加I時(shí)等號成立,

第15頁

所以I?100的最大值為2,

故IM?|圖的最大值為2.

【解析】本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

【備注】無

21.(1)因?yàn)樾?,吟所以f(x)=2'+2

①方程f(x)=2,即2,+2'=2,亦即⑵)2-2X231=0,

所以(2T)~0,于是2三1,解得產(chǎn)0.

②由條件知f(2x)=2?,旬其⑵+2,)2-2=(f(x))2-2.

因?yàn)?'(2x)-6對于xGR恒成立，且Ax)>0,

所以后蛆⑺)*對于xGR恒成立.

/(*)

而加土=f(x)伍瓦三4,且皿土=4,

fWfWQ八J/(x)/(o)

所以勿W4,故實(shí)數(shù)m的最大值為4.

⑵因?yàn)楹瘮?shù)g(x)"(x)-2只有1個(gè)零點(diǎn)，而g(O)=f(O)-2=a°%°-2=0,

所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn).

因?yàn)間'(x)=*lna+Z/lnb,又由0<a<l,Z?>1知In水0,Inb〉0,

所以g'(x)=0有唯一解xo=log￡-㈣).

a"R

令方(x)=g'(A),則方'(A)=(alna+b,ln6)'=4(Ina)2+b'(ln6)；

從而對任意升￡兄方'(入)>0,所以/(才)=方(入)是(—，+8)上的單調(diào)遞增函數(shù).

于是當(dāng)xG(-°°,加時(shí),g'(x)〈g'(xo)=O;當(dāng)xG(司,+°°)時(shí),g'(x)>g'(xo)=O.

因而函數(shù)g(x)在(y,X。)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(%，q)上是單調(diào)遞增函數(shù).

第16頁

下證Ao=O.

lo2lo2

若刖<0,則刖號<0,于是g守)<g(0)=0.X1Og?12)=aSa^loga--2>aSa-2=0,且函數(shù)g(x)

在以義*?和log,,2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷,所r以在迎和log,2之間存在g(x)的零點(diǎn)，記

為x\.因?yàn)?<a<l,所以log2<0.

又§〈0,所以%1<0,與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)”矛盾.

若刖>0,同理可得,在字和log/2之間存在g(x)的非0的零點(diǎn)，矛盾.

因此蜀=0.

于是-小二1,故Ina<L