拱橋問題和運動中的拋物線實際問題與二次函數

學習目標會用二次函數知識解決實物中的拋物線形問題；建立恰當的直角坐標系將實際問題轉化為數學問題.12自主學習任務：閱讀課本

51頁，掌握下列知識要點。自主學習1、用二次函數知識解決實物中的拋物線形問題2、建立恰當的直角坐標系將實際問題轉化為數學問題自主學習反饋1.如圖，小明在校運動會上擲鉛球時，鉛球的運動路線是拋物線

鉛球落在A點處，則OA長=

米72.一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖，當水面寬AB=1.6

米時，涵洞頂點與水面的距離為2.4m．涵洞所在拋物線的解析式是

.

例1如果要使運動員坐著船從圣火的拱形橋下面穿過入場，現(xiàn)已知拱形底座頂部離水面2m,水面寬4m,為了船能順利通過，需要把水面下降1m,問此時水面寬度增加多少?xyO-3(-2,-2)●

●(2,-2)4米典例精析當時，所以，水面下降1m，水面的寬度為

m.所以水面的寬度增加了m.解：建立如圖所示坐標系,由拋物線經過點（2，-2），可得所以，這條拋物線的解析式為當水面下降1m時，水面的縱坐標為-3xyO(-2,-2)●

●

(2,-2)設二次函數解析式為典例精析xyxy4m4m請同學們分別求出對應的函數解析式.OO解：設y=-ax2+2將（-2,0）代入得a=∴y=+2；設y=-a（x-2）2+2將（0,0）代入得a=∴y=+2；典例精析解決拋物線型實際問題的一般步驟(1)根據題意建立適當的直角坐標系；(2)把已知條件轉化為點的坐標；(3)合理設出函數解析式；(4)利用待定系數法求出函數解析式；(5)根據求得的解析式進一步分析、判斷并進行有關的計算.

知識小結

例2

在籃球賽中，姚小鳴跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，他能把球投中嗎？3米4米4米xyO典例精析3米4米4米xyABC解：如圖建立直角坐標系.則點A的坐標是（0，），B點坐標是（4，4），C點坐標是（8，3）.因此可設拋物線的解析式是y=a(x-4)2+4①.把點A(0,)代入①得解得所以拋物線的解析式是.當x=8時，則所以此球不能投中.判斷此球能否準確投中的問題就是判斷代表籃圈的點是否在拋物線上；O典例精析若假設出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球命中?（1）跳得高一點兒；（2）向前平移一點兒.3米8米4米4米xyO典例精析yx（8，3）（4，4）O12345678910642（1）跳得高一點兒；典例精析y（8，3）（4，4）O12345678910642（７，３）

●（2）向前平移一點兒.x典例精析

典例精析典例精析例4有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時AB寬20米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬度為10米；

（1）在如圖的坐標系中，求拋物線的表達式．

（2）若洪水到來時，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？（水位以每小時0.2米的速度上升）典例精析解：（1）設所求拋物線的解析式為：y=ax2．

設D（5，b），則B（10，b-3），

把D、B的坐標分別代入y=ax2得（2）∵b=-1，

∴拱橋頂O到CD的距離為1，

小時．

所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂．典例精析1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經過的時間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度y(米）關于水平距離x(米）的函數解析式為，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為

米.xyO2隨堂檢測隨堂檢測3.密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物，是美國最高的獨自挺立的紀念碑，如圖．拱門的地面寬度為200米，兩側距地面高150米處各有一個觀光窗，兩窗的水平距離為100米，求拱門的最大高度.解：如圖所示建立平面直角坐標系，

此時，拋物線與x軸的交點為C（-100，0），D（100，0），

設這條拋物線的解析式為y=a（x-100）（x+100），

∵拋物線經過點B（50，150），

可得

150=a（50-100）（50+100）．解得即

拋物線的解析式為頂點坐標是（0，200）∴拱門的最大高度為200米隨堂檢測

公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O點恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下.為使水流較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1米處達到距水面最大高度2.25米.如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？OA1.25米學以致用OBCA解：如圖建立坐標系，設拋物線頂點為B，水流落水與x軸交于C點.由題意可知A（0，1.25）、

B（1，2.25）、C（x0，0）.

xy設拋物線為y=a(x－1)2+2.25(a≠0),點A坐標代入，得a=－1；當y=0時，x１=－0.5（舍去），

x２=2.5∴水池的半徑至少要2.5米.∴拋物線為y=-(x-1)2+2.25.1.25學以致用實際問題數學模型轉化回歸（二次函數的圖象和性質）拱橋問題運動中的拋物線問題（實物中的拋物線形問題）轉化的關鍵建立恰當的直角坐標系能夠將實際距離準確的轉化為點的坐標；選擇運算簡便的方法.課堂小結商品利潤最大問題實際問題與二次函數

學習目標

能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題；弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.12自主學習任務：閱讀課本

50頁，掌握下列知識要點。自主學習1、商品銷售過程中的最大利潤問題2、商品銷售問題中的數量關系自主學習反饋1、某服裝店銷售童裝平均每天售出20件，每件贏利50元，根據銷售經驗：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可以多售出4件．則每件童裝應降價

元時，每天能獲得最大利潤.2、某果園有100棵蘋果樹，平均每棵樹可結660個蘋果，根據經驗估計，在這個果園里每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結6個蘋果，則果園里增

棵蘋果樹，所結蘋果的總數最多.3、將進貨單價為80元的某種商品按零售價100元每個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷售量就增加2個，為了獲得最大利潤，應降價

元．1555

某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進價為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤

元.180006000數量關系（1）銷售額=售價×銷售量;（2）利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;（3）單件利潤=售價-進價.課堂探究

例

某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？漲價銷售①每件漲價x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函數關系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000典型例題②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+100x+6000，當

時,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價65元時，最大利潤是6250元.典型例題降價銷售①每件降價x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售降價銷售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函數關系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.

例

某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？6000典型例題綜合可知，應定價65元時，才能使利潤最大。②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價多少元時，利潤最大，是多少？當

時,

即定價57.5元時，最大利潤是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，典型例題求解最大利潤問題的一般步驟（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.知識小結做一做下面的題目，看誰做得又快又準確。分層教學A組B組某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件，當每件的定價為_____元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．某商店銷售一種進價為50元/件的商品，當售價為60元/件時，一天可賣出200件；經調查發(fā)現(xiàn)，如果商品的單價每上漲1元，一天就會少賣出10件．設商品的售價上漲了x元/件（x是正整數），銷售該商品一天的利潤為y元，那么y與x的函數關系的表達式為

．（不寫出x的取值范圍）做一做下面的題目，看誰做得又快又準確。某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件，當每件的定價為22元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．某商店銷售一種進價為50元/件的商品，當售價為60元/件時，一天可賣出200件；經調查發(fā)現(xiàn)，如果商品的單價每上漲1元，一天就會少賣出10件．設商品的售價上漲了x元/件（x是正整數），銷售該商品一天的利潤為y元，那么y與x的函數關系的表達式為y=-10x2+100x+2000．（不寫出x的取值范圍）解析一覽A組B組1.某種商品每件的進價為20元，調查表明：在某段時間內若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出（300－20x）件，使利潤最大，則每件售價應定為

元.252.進價為80元的某件定價100元時，每月可賣出2000件，價格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數y(件）與襯衣售價x（元）之間的函數關系式為

.每月利潤w（元）與襯衣售價x（元）之間的函數關系式為

.(以上關系式只列式不化簡）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)隨堂檢測3.某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x(元）之間滿足關系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.（1）銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（2）銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元？xy516O7解：(1)由題中條件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,對稱軸x=10,∴當x=10時，y值最大，最大值為25.即銷售單價定為10元時，銷售利潤最大，25元；(2)由對稱性知y=16時，x=7和13.故銷售單價在7≤x≤13時，利潤不低于16元.隨堂檢測38學以致用某企業(yè)生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元）、銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系．（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；（2）求線段AB所表示的y1與x之間的函數表達式；（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元；（