10/10/1山東大學數學院第1頁第一章復數與復變函數1.1復數及其運算1.2復平面上曲線和區(qū)域1.3復變函數1.4復變函數極限和連續(xù)性第2頁§1.1復數及其運算一、復數概念1、產生背景數稱為復數，其中稱為虛單位，2、定義：形如為任意實數,且記分別稱為實部與虛部。第3頁二、復數表示法1、(復平面上)點表示------用坐標平面上點rθ此時坐標面（稱為復平面）與直角坐標平面區(qū)分與聯(lián)絡。第4頁2、(復平面上)向量表示-----（1）?！L度，記為，則（2）輻角()——與軸正向夾角(周期性)第5頁輻角主值:注其中主值確定方法見教材P3（1.1.6）式或借助復數向量表示.第6頁3、三角（或極坐標）表示---由得歐拉公式5、代數表示------第7頁復數各種表示可相互轉換在不一樣運算中可選擇不一樣表示式進行運算。NSPyzZx6*、復球面表示------

將擴充復平面中全部復數唯一表示為一個點，則全部復數與復球面上點建立一一對應關系。第8頁三、復數運算1、相等——兩個復數，當且僅當實部與虛部分別相等時才相等。2、和、差、積、商（分母不為0）——代數式、三角式、指數式3、共軛復數及運算性質zzyxo第9頁四、復數n次方根n個值恰為以原點為中心，內接正邊形頂點，當時，為半徑圓周稱為主值。第10頁答疑解惑

答：不能，實數能比較大小，是因為實數是有序；而復數是無序，所以不能比較大小。假設復數有大小，其大小關系應與實數中大小關系保持一致，（因為實數是復數特例），不妨取0和i加以討論：1、復數能否比較大小，為何？注：復數模、實部和虛部都是實數，輻角也是實數，可比較大小。第11頁2、復數能夠用向量表示，則復數運算與向量運算是否相同？答：有相同之處，但也有不一樣之處。

加減和數乘運算相同，乘積運算不一樣，向量運算有數量積、向量積和混合積，復數則沒有；復數運算有乘除及乘冪、方根，但向量沒有；乘積運算幾何意義不一樣。第12頁經典例題例1、判斷以下命題是否正確？（1）（2）（3）（

×

）（

∨

）（

×）第13頁例2、求以下復數模與輻角（1）（2）（3）（4）第14頁解（1）（2）第15頁（3）(4)第16頁例3、求滿足以下條件復數z：（1）（3）（2）且第17頁第18頁第19頁例4求方程根。并將分解因式。解∵，則其余三個根即為所求得由第20頁第21頁§1.2復平面上曲線和區(qū)域一、復平面上曲線方程平面曲線有直角坐標方程和參數方程兩種形式。第22頁由代入知曲線C方程可改寫成復數形式若令，而，則曲線C參數方程等價于復數形式。第23頁二、簡單曲線與光滑曲線第24頁三、區(qū)域

1、去心鄰域3、區(qū)域及分類2、內點與開集區(qū)域——連通開集。第25頁屬于D內任一條簡單閉曲線，在D內能夠經過連續(xù)變形而收縮成一點。注：①閉區(qū)域，它不是區(qū)域。②任意一條簡單閉曲線C把復平面分為三個不相交點集：有界區(qū)域稱為C內部；無界區(qū)域，稱為C外部；C，稱為內部與外部邊界。（經典例題見教材例1.2.1

，例1.2.2）第26頁§1.3復變函數一、復變函數概念1、定義——對于集合G中給定

，總有一個（或幾個）確定復數與之對應，并稱G為定義集合，而稱為函數值集合(值域).分類——第27頁2、復變函數與實函數關系討論一個復變函數研究兩個實二元函數

3、復變函數單值性討論第28頁教材P12（例1.3.2)是否為單值函數

令則均為單值實二元函數是單值函數。故第29頁教材(例1.3.3）是單值函數嗎？，均為多值實二元函數方法二、見教材第30頁二、映射復變函數幾何圖形表示第31頁

函數在幾何上能夠看著是把z平面上一個點集G（定義域）變到w平面上一個點集G*（值域）一個映射（或映照）。與G中點為一一對應映射為雙射第32頁典型例題例1、求z平面上以下圖形在映射下象。第33頁解(1)乘法模與輻角定理Howcomplextheexpressionare!第34頁uv4i圖a虛軸上從點0到4i一段（見圖a）。(1)記，則即w平面內4圖b（3）見教材例1.3.4（3）第35頁映為（4）將直線建立所滿足象曲線方程，消，是以原點為焦點，開口向左拋物線（見圖c1)vu圖c12其是以原點為焦點，開口向右拋物線（見圖c2）。將線映為，消x得第36頁例2、求以下曲線在映射下象解法一（1）消x,y建立u,v所滿足象曲線方程或由兩個實二元函數反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲線方程即得象曲線方程第37頁（2）代入原象曲線方程，得w平面內一條直線。第38頁解法二代入原象方程得化為實方程形式（2）留作練習。第39頁第40頁第41頁§1.4復變函數極限和連續(xù)性第42頁第43頁第44頁第45頁本章難點與重點第46