本章整合本章整合高中數(shù)學(xué)第一章解三角形本章整合ppt課件新人教B版必修專題一專題二專題三專題四專題五判斷三角形的形狀特征,不僅要深入研究三角形邊與邊的大小關(guān)系,還要研究角與角的大小關(guān)系.解決這類問題的常用方法是:將已知式子都化為角的式子或邊的式子再判斷.通常利用正弦定理的變形如a=2R·sinA將邊化為角的正弦,利用余弦定理的推論如cos然后利用三角形的有關(guān)知識,三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡,從而得出結(jié)論.專題一專題二專題三專題四專題五判斷三角形的形狀特征,不僅要深專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1

在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,則該三角形是

三角形.

提示:考慮到已知條件是三個(gè)角正弦的比值,可用正弦定理得出三邊的關(guān)系,再利用余弦定理判斷最大角的大小即可.解析:因?yàn)閟in

A∶sin

B∶sin

C=2∶3∶4,根據(jù)正弦定理,得a∶b∶c

=2∶3∶4.設(shè)a=2m,b=3m,c=4m(m>0),

因?yàn)閏>b>a,所以∠C>∠B>∠A.所以∠C是鈍角.所以△ABC是鈍角三角形.答案:鈍角專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1在△ABC中,若si專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2

在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,試判斷△ABC的形狀.提示:已知條件中等式只有邊,故結(jié)合其特點(diǎn),可選擇利用正弦定理化邊為角,再結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系化簡求解;本題也可利用∠B=60°這一條件,用余弦定理找出邊之間的關(guān)系來判斷.解:方法一:由正弦定理,得2sin

B=sin

A+sin

C.因?yàn)椤螧=60°,所以∠A+∠C=120°.所以∠A=120°-∠C,代入上式,得2sin

60°=sin(120°-∠C)+sin

C,所以sin(∠C+30°)=1.所以∠C+30°=90°.所以∠C=60°.所以∠A=60°.故△ABC為等邊三角形.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2在△ABC中,若∠B=專題一專題二專題三專題四專題五方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos

B.整理,得(a-c)2=0,所以a=c.從而a=b=c.所以△ABC為等邊三角形.專題一專題二專題三專題四專題五方法二:由余弦定理,得b2=a專題一專題二專題三專題四專題五專題二

解三角形在解三角形時(shí),常常將正弦定理、余弦定理結(jié)合在一起用,要注意恰當(dāng)?shù)剡x取定理,簡化運(yùn)算過程,提高解題速度,同時(shí),要注意與平面幾何中的有關(guān)性質(zhì)、定理結(jié)合起來,挖掘題目中的隱含條件.解題時(shí),要綜合、靈活地運(yùn)用兩個(gè)定理,認(rèn)真分析已知條件,選擇需要先(后)解的三角形和相關(guān)定理,并結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì),如大邊對大角,內(nèi)角和定理等.注意數(shù)形結(jié)合,正確地求解三角形,防止出現(xiàn)漏解或增解的情況.專題一專題二專題三專題四專題五專題二解三角形專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用

在△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,∠B=45°,(1)求邊長a;(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D,求中線CD的長.提示:(1)由cos

C求sin

C,再利用兩角和的正弦公式求sin

A,然后利用正弦定理求出邊長a;(2)在△ABC中利用余弦定理求邊AB的長,然后在△BCD中求出邊CD的長.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用在△ABC中,a,b,c專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五(2)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos

C=b2+a2-2abcos

C=4.所以AB=2,BD=1.在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos

B專題一專題二專題三專題四專題五(2)在△ABC中,AB2=A專題一專題二專題三專題四專題五專題三

三角形的面積問題求三角形面積與正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)、函數(shù)的有關(guān)知識緊密地聯(lián)系在一起,是高考中的常見題型.常用三角形面積公式:專題一專題二專題三專題四專題五專題三三角形的面積問題專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用

在△ABC中,內(nèi)角∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求∠A;(2)設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時(shí)∠B的值.提示:(1)利用余弦定理求∠A;(2)利用正弦定理及面積公式將面積S表示出來,再用三角變換的知識求出最值.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用在△ABC中,內(nèi)角∠A,專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題四

正、余弦定理的綜合應(yīng)用以三角形為載體,以正、余弦定理為工具,以三角恒等變換為手段來考查解三角形問題是近幾年高考中一類熱點(diǎn)題型.在具體解題中,除了熟練使用正弦、余弦定理這個(gè)工具外,也要根據(jù)條件,合理選用三角函數(shù)公式,達(dá)到簡化解題的目的.專題一專題二專題三專題四專題五專題四正、余弦定理的綜合應(yīng)用專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1

在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且(1)求cosB的值;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面積.提示:(1)先利用正弦定理化簡,再用三角變換整理即得.(2)利用余弦定理及面積公式,再注意整體求ac的技巧.cos

C·sin

B=2sin

A·cos

B-cos

B·sin

C.∴2sin

A·cos

B=sin

B·cos

C+cos

B·sin

C=sin(B+C)=sin(π-A)=sin

A.∵sin

A≠0,∴cos

B=.(2)∵b2=a2+c2-2accos

B=a2+c2-ac=7,又a+c=4,∴(a+c)2-3ac=7.∴ac=3.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1在△ABC中,∠A,專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2

在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)若m⊥p,c=2,∠C=,求△ABC的面積.提示:先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將條件轉(zhuǎn)化為邊角關(guān)系,再由正弦定理或余弦定理求解.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2在△ABC中,∠A,∠專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明:∵m∥n,∴asin

A=bsin

B,∴a=b,∴△ABC為等腰三角形.(2)解:由題意m⊥p,得m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcos

C,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1不合題意,舍去),專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明:∵m∥n,∴asi專題一專題二專題三專題四專題五專題五

正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用解決有關(guān)三角形的應(yīng)用問題時(shí),首先要認(rèn)真分析題意,找出各量之間的關(guān)系,根據(jù)題意畫出示意圖,將要求的問題抽象為三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,最后將結(jié)果還原為實(shí)際問題,這一程序可用框圖表示為:專題一專題二專題三專題四專題五專題五正、余弦定理在實(shí)際問題專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1

如圖所示,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北25°的方向上,仰角為8°,求此山的高度CD.提示:要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長即可.根據(jù)已知條件,可以計(jì)算出BC的長.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1如圖所示,一輛汽車在一專題一專題二專題三專題四專題五解:在△ABC中,∠BAC=15°,∠ACB=25°-15°=10°.根據(jù)正弦定理,CD=BCtan∠DBC=BCtan

8°≈1.047(km).答:山的高度約為1.047

km.專題一專題二專題三專題四專題五解:在△ABC中,∠BAC=1專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2

如圖,某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船,正沿南偏東75°的方向以10海里/時(shí)的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以14海里/時(shí)的速度沿著直線方向追去,問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追?需要多少時(shí)間才能追趕上該走私船?提示:在求解三角形中,可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解,但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題,必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問題的解.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2如圖,某巡邏艇在A處發(fā)專題一專題二專題三專題四專題五解:設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時(shí)后在B處追上走私船,則CB=10x海里,AB=14x海里,AC=9海里,∠ACB=75°+45°=120°,所以(14x)2=

92+

(10x)2

-2×9×10xcos

120°,化簡,得32x2-30x-27=0.所以BC

=15,AB

=21.所以∠BAC

=38°13'或∠BAC

=141°47'(鈍角不合題意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13'方向去追,經(jīng)過1.5小時(shí)才能追趕上該走私船.專題一專題二專題三專題四專題五解:設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x1234567891(江西高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若3a=2b,則

的值為(

)答案:D1234567891(江西高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C1234567892(課標(biāo)全國Ⅱ高考)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=(

)A.5 B.C.2 D.1答案:B1234567892(課標(biāo)全國Ⅱ高考)鈍角三角形ABC的面積1234567893(課標(biāo)全國Ⅰ高考)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為

.

解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.1234567893(課標(biāo)全國Ⅰ高考)已知a,b,c分別為△1234567894(天津高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=

a,2sinB=3sinC,則cosA的值為

.

1234567894(天津高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C1234567895(廣東高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則

=

.

解析:因?yàn)閎cos

C+ccos

B=2b,所以由正弦定理,可得sin

Bcos

C+sin

Ccos

B=2sin

B,即sin(B+C)=2sin

B,所以sin(π-A)=2sin

B,即sin

A=2sin

B.于是a=2b,即

=2.答案:21234567895(廣東高考)在△ABC中,角A,B,C所1234567896(四川高考)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時(shí)氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于

m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,

≈1.73)

1234567896(四川高考)如圖,從氣球A上測得正前方的12345