全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題4

第一試一、選擇題：(每小題6分，共36分)S={nIn是整數(shù)，且22n+2整除2003n+2004},則S為()(A)空集0 (B)單元集 (C)二元集 (D)無窮集X2-X+1能除盡另一個多項式X3+X2+ax+b(a、b皆為常數(shù)).則a+b等于()(A)0 (B)－1 (C)1 (D)2a是整數(shù)，關(guān)于X的方程X2+(a-3)X+a2=0的兩個實根為X1>x2,且tan(arCtanXI+arctanx2)也是整數(shù).則這樣的a的個數(shù)是\o"CurrentDocument"(A)0 (B)1 (C)2 (D)4V1,且它的各條棱的中點構(gòu)成一個凸多面體，其體積為2.則NV為()1(A)1 (B)2 (C)常數(shù)，但不等于1和2\o"CurrentDocument"2 3 2 3(D)不確定，其值與四面體的具體形狀有關(guān)5.在十進制中,若一個至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外,其余各個數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時,則稱它為遞降正整數(shù)．所有這樣的遞降正整數(shù)的個數(shù)為( )(A)1001 (B)1010 (C)1011 (D)10136.在正方體的8個頂點中,能構(gòu)成一個直角三角形的3個頂點的直角三點組的個數(shù)是( )\o"CurrentDocument"(A)36 (B)37 (C)48 (D)49二、填空題：(每小題9分，共54分)Xcosθ+ysin9=cos2。一sin2。(0<9<兀)與圓X2+y2=4有公共點，則9的取值范圍是.XOy中，一個圓經(jīng)過(0,2)、(3,1),且與X軸相切.則此圓的半徑等于?a使得關(guān)于X的方程lg(X2+20X)-lg(8X-6a-3)=0有惟一解.則a的取值范圍是.X24.f(X)=?+XCoSX+cos(2X)(X∈R)的最小值是.k是一個正整數(shù)，且2k整除Co+C231+…+C213，?+…+C4006320034006 4006 4006 4006則k的最大值為.ABCD為凸四邊形，AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面積S的取值范圍是（a,b].則a+b=.三、（20分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l，點P在橢圓上.作PQ⊥l,Q為垂足.試問：對于什么樣的橢圓，才存在這樣的點P,使得PQF1F2為平行四邊形？說明理由（答案用關(guān)于離心率e的等式或不等式來表示）.四、（20分）設(shè)a0=1,a1=2,an+1=2an1+n,n=1,2,3,….試求出an的表達式（答案用有限個關(guān)于n的式子相加的形式表示，且項數(shù)與n無關(guān)）.n五、（20分）試求出所有的有序整數(shù)對（a,b）,使得關(guān)于X的方程X4+（2b—a2）x2—2ax+b2—1=0的各個根均是整數(shù).第二試一、（50分）點P在^ABC內(nèi)，且∠BAP=∠CAP,連結(jié)BP并延長交AC于點Q.設(shè)∠BAC111=60°,且一+一二一.求證：P是4ABC的內(nèi)心.BPPCPQ二、（50分）b設(shè)正數(shù)a、b滿足a>-L且使得關(guān)于x的不等式<2√x-1≥a、：X+1-b總有實數(shù)解.試求f（a,b）=a2—3ab+b2的取值范圍.三、（50分）試求出正整數(shù)k的最小可能值,使得下述命題成立：對于任意的k個整數(shù)a1,a2,???,4（允許相等）必定存在相應(yīng)的左的整數(shù)X1,x2,…,々（也允許相等），且Ixi≤2（i=1,2,…,k）,IX11+1X21+Hxk≠0，使得2003整除X1a1+X2a2++Xkak.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題4參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CCBADC二、填空題:兀兀II2兀5?！?—U——,——63 361、3、5、2004；2、15±6√5；4、一1；6、2√210.1M2)\三、e∈1,112J四、a2n=2n+2—2n~3；a2n+1=3×2"+1-2〃-4五、(a,b)=(21-1,12-1—1)(?l∈Z)第二試一、證略