人教版八年級數(shù)學(xué)上冊12.3.1角的平分線的性質(zhì)1.探究并證明角的平分線的判定.2.會用角的平分線的判定解決實際問題.3.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運用.學(xué)習(xí)目標其身正，不令而行；其身不正，雖令不從角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.幾何表示：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，點P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐知識回顧思考：如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處？課堂導(dǎo)入其身正，不令而行；其身不正，雖令不從作出公路和鐵路相交的角的平分線，按照比例尺的比例在該平分線上選取離交叉口處500m的位置即可建集貿(mào)市場.

到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上？

課堂導(dǎo)入其身正，不令而行；其身不正，雖令不從┐角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

注意:使用該判定定理的前提是這個點必須在角的內(nèi)部.OABCPDE┐知識點1角的平分線的判定新知探究其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究一：角的平分線的作法請同學(xué)們拿出準備好的角，用你自己的方法畫出它的角平分線，然后與大家交流分享.其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究一：角的平分線的作法如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎?ADBCADBCEE(1)角平分儀由什么構(gòu)成？(2)角平分儀如何使用？(3)∠DAC和∠BAC相等

的依據(jù)是什么？思考：其身正，不令而行；其身不正，雖令不從

理由如下：如圖構(gòu)成了△ADC和△ABC，∵在△ADC和△ABC中，AD=AB，

AC=AC，

DC=BC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC.

∵點C在射線AE上，

∴AE是這個角的平分線.

ADBCE如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎?原理：兩個三角形全等，則對應(yīng)角相等。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從AＢＯＭＮＣ作法：

用尺規(guī)作角的平分線

其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究一：角的平分線的作法思考：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

的長”這個條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠MAN的內(nèi)部嗎？總結(jié)：1．去掉“大于

的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線．2．若分別以B、D為圓心，大于

的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠MAN的內(nèi)部，也可能在∠MAN的外部，而我們要找的是∠MAN內(nèi)部的交點，否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠MAN的平分線了．其身正，不令而行；其身不正，雖令不從講

授

新

知一

用尺規(guī)作角的平分線你能說明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎?ABONMC在△OMC和△ONC中，OM=ON,MC=NC,∴△OMC≌△ONC(SSS)OC=OC,∴∠MOC≌∠NOC射線OC是∠AOB的平分線其身正，不令而行；其身不正，雖令不從講

授

新

知思考:如圖所示.任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在上任取一點P，過點P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為點D.E,測量PD、PE并作比較,你得到什么結(jié)論?在OC上再取幾個點試一試，通過以上測量,你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)?二

發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì).ABOCEPDPD=PE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.其身正，不令而行；其身不正，雖令不從講

授

新

知你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎?二

發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì).（1）你能把“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”.寫成“如果……那么……”的形式嗎？（2）題目中是否有隱含的條件？（3）能否畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證？（1）如果一個點在角的平分線上，那么這個點到角的兩邊的距離相等。（2）垂直。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從講

授

新

知已知:∠AOC=∠BOC,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥證:PD=PE.二

發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì).ABOCEPD在△OPD和△OPE中，OP=OP,∠AOC=∠BOC,∴△OPD≌△OPE(AAS)∠ODP=∠OEP,∴PD=PE.其身正，不令而行；其身不正，雖令不從例題：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB。變式一：上述已知條件不變，若DC=3,AB=10,求△ADB的面積.變式二:上述已知條件不變,若S△ABC=36,AB=10,AC=8,求DC的長.其身正，不令而行；其身不正，雖令不從例題：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB。證明：∵∠C＝90°

∴DC⊥AC∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC＝DE(角的平分線上的點

到角的兩邊的距離相等)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,DC=DEDF=DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形對應(yīng)邊相等）變式一：上述已知條件不變，若DC=3,AB=10,求△ADB的面積.變式二:上述已知條件不變,若S△ABC=36,AB=10,AC=8,求DC的長.其身正，不令而行；其身不正，雖令不從鞏固練習(xí)1.如圖，在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC，DE⊥AB

于E,有下列結(jié)論：①CD=ED;②DA平分∠CDE;③∠BDE=∠BAC;④AC+BE=AB;其中結(jié)論正確的有

。EDCBA藍玉解答紅玉補充2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AB=10cm,則△DEB的周長為

cm。EDCBA鞏固練習(xí)紫玉解答其身正，不令而行；其身不正，雖令不從3.如圖，∠ACB=∠DEB=90，BD平分∠ABC，ED的延長線交BC的延長線與F。求證：AE=CFEDCBAF鞏固練習(xí)藍玉解答紅玉補充其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究二：角的平分線的性質(zhì)下面四個圖中,點P都在∠AOB的平分線上,則圖形()中PD＝PE.ABCD【思路點撥】利用角平分線的性質(zhì)時，非常重要的條件是PD和PE是到角兩邊的距離.D【解答過程】選項A中如果增加一個條件OD＝OE，就能得出PD＝PE；選項B和C中PD不是到OA的距離；選項D中P到OA和OB的距離為PD和PE.練一練：其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究三：用角的平分線的性質(zhì)解決簡單問題【思路點撥】證CF和EA所在的兩個三角形全等.證明：例：如圖,ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F(xiàn)在BC上，AD=DF.求證：CF=EA∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴

DCF≌

DEA（HL）∴CF=EA其身正，不令而行；其身不正，雖令不從探究三：用角的平分線的性質(zhì)解決簡單問題練習(xí)：如圖，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE，CD交于點O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．【思路點撥】利用角平分線的性質(zhì)可得OD=OE，證明

BOD≌

COE可得OB=OC.證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴BOD≌

COE．（AAS）∴OB=OC．其身正，不令而行