第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西南寧市東盟中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設(shè)復(fù)數(shù)z=(1+i)A.4 B.4i C.?4 2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)ABA.a+2b

B.2a+33.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的5A.133 B.143 C.1634.若向量a=(1,5)，b=(A.?π4 B.π6 C.π5.一艘海盜船從C處以30km/h的速度沿著南偏東40°的方向前進(jìn)，在C點北偏東20°距離為30kmA.30km/h B.40km6.如圖，E，F(xiàn)分別為邊長是4的正方形ABCD的邊BC，CD的中點，沿圖中虛線折起，使B，C，DA.43

B.4

C.8

D.7.P是△ABC內(nèi)的一點，AP=13(A.2 B.3 C.32 D.8.如圖所示，已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，A.① B.①② C.② D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則(

)A.平均數(shù)為3 B.標(biāo)準(zhǔn)差為85

C.眾數(shù)為2和3 D.第85百分位數(shù)為10.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(A.z的虛部為3i B.|z?|=5

C.11.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是(

)A.若m//n，m⊥α，則n⊥α

B.若α⊥β，m⊥α，則m//β

C.若m12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，A.直線AM與BN是平行直線

B.直線BN與MB1是異面直線

C.直線MN與AC所成的角為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.一圓錐高為2，底面半徑為1，則它的側(cè)面積為______．14.已知a、b為單位向量，且|2a?b|=3，則15.某校組織了一次關(guān)于“生活小常識”的知識競賽.在參加的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100位學(xué)生的回答情況進(jìn)行統(tǒng)計，具體如下：答對5題的有10人；答對6題的有30人；答對7題的有30人；答對8題的有15人；答對9題的有10人；答對10題的有5人.則在這次知識競賽中這所學(xué)校的每位學(xué)生答對的題數(shù)大約為______．16.在平行四邊形ABCD中，M，N分別為BC，CD邊上的點，MC=2BM，NC=3四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知向量a，b的夾角為π3，且|a|=2，|b|=3，c=λa?2b18.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，F(xiàn)為AC和BD的交點．

(119.(本小題12.0分)

某企業(yè)招聘，一共有200名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在[40,100]內(nèi)，按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分組，得到如圖頻率分布直方圖：

(Ⅰ)求圖中a的值；

(20.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足ca+b+c=sinA+sinC?si21.(本小題12.0分)

計算機(jī)能力考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為45，34，23，在實際操作考試中“合格”的概率依次為12，23，56，所有考試是否合格相互之間沒有影響．

(22.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，側(cè)棱PA⊥底面ABC，且PA=AC，AC⊥BC，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接AE，A

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】

解：復(fù)數(shù)z=(1+i)(3+i)2.【答案】C

【解析】解：在正六邊形ABCDEF中，F(xiàn)C//AB，F(xiàn)C=2AB，

則A3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法，考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的54倍，求出x=6【解答】

解：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，x，7，8(其中x≠7)，

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的54倍，

∴4+x2=4×54，解得x=4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)向量a+2b與b?a的夾角為θ，

向量a=(1,5)，b=(1,?1)，

則向量a+2b=(3,3)，a?b=(0,6)，

則|5.【答案】D

【解析】解：如圖，

設(shè)在點B處兩船相遇，則∠ACB=120°，∠A=30°，

∴∠B=30°，即△ABC為等腰三角形，

∴|BC|=|AC|=30km，|AB|=6.【答案】D

【解析】解：以AE，EF，AF為折痕，折疊這個正方形，使點B，C，D重合于一點P，得到一個四面體，如圖所示．

∵在折疊過程中，

始終有AB⊥BE，AD⊥DF，

即AP⊥PE，AP⊥PF，

所以AP⊥平面EFP．

四面體的底面積為：S△EFP=127.【答案】B

【解析】【分析】考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)乘的幾何意義，三角形的面積公式．

可取BC的中點為D，并連接AD，從而可得出AP=23AD，這樣便可畫出圖形，進(jìn)而得出【解答】

解：取BC中點D，連接AD，則AB+AC=2AD；

∴AP=23AD，如圖所示：

8.【答案】C

【解析】【分析】

平移直線A1F，判斷平移后的直線：在平面BD1E上則A1F//平面BD1E，與平面BD1E交于一點則不平行，即可得解．

本題主要考查了線面平行的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理論證能力，屬于中檔題．

【解答】

解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個交點D1，則A1F與平面BD1E不平行；

②中，由于AF//DE9.【答案】AC【解析】【分析】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意計算公式的合理運用．

運用標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的公式求解即可．【解答】

解：平均數(shù)：5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3

眾數(shù)為：出現(xiàn)次數(shù)最多的2和3

標(biāo)準(zhǔn)差：(5?3)2+(5?3)2+…+(1?3)10.【答案】BC【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算問題，也考查了命題真假的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運算法則，求出復(fù)數(shù)z，再對選項中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【解答】

解：因為z=(1+2i)(2?i)=4+3i，

所以z的虛部為3，選項A錯誤；

由|z?|=11.【答案】AD【解析】解：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故選項A正確；

若α⊥β，m⊥α，則m?β或m//β，故選項B錯誤；

若m//α，n?α，則m與n可能平行也可能異面，故選項C錯誤；

若m⊥α，n⊥β，將12.【答案】BC【解析】【分析】本題考查空間兩直線的位置關(guān)系的判斷，以及異面直線所成角的求法，空間幾何體的截面面積問題，屬于中檔題．

由異面直線的定義可判斷AB；由異面直線所成角的定義可判斷C；連接A1B，A1M，易知A【解答】

解：對于A，由異面直線定義可得直線AM與BN是異面直線，故A錯誤；

對于B，由異面直線定義可得直線BN與MB1是異面直線，故B正確；

對于C，連接CD1，AD1，可得MN//CD1，∠ACD1為直線MN與AC所成的角，

而∠ACD1=60°，可得直線MN與AC所成的角為60°.故C正確．

對于D，連接A1B，A113.【答案】5【解析】解：因為圓錐的高為2，底面半徑為1，且圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，

所以扇形的弧長即為圓錐底面圓的周長：l=2πR=2π，

扇形半徑為：r=22+114.【答案】π3【解析】解：由|2a?b|=3兩邊平方得4a2?4a?b+b2=3，

又|a|=15.【答案】7

【解析】解：∵答對5題的有10人；答對6題的有30人；答對7題的有30人；

答對8題的有15人；答對9題的有10人；答對10題的有5人．

∴在這次知識競賽中這所學(xué)校的每位學(xué)生答對的題數(shù)大約為：

110+30+30+15+1016.【答案】1711【解析】解：因為MC=2BM，NC=3DN，

所以AM=a=AB+BM=AB+13BC=AB+13AD，①

AN=b=AD+DN=17.【答案】解：(1)|3a?b|=(3a?b)2【解析】(1)對模長平方，進(jìn)而求解即可；

(2)根據(jù)18.【答案】解：(1)證明：連接EF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴F是BD的中點，又E是PD的中點，

∴PB//EF，又EF?平面AEC，PB?平面AEC，

∴PB//平面AEC；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，【解析】本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．

(1)連接EF，利用中位線定理得出EF//PB，故而PB//平面AEC；

(2)由P19.【答案】解：(Ⅰ)由題意(0.005+0.010+a+0.030+a+0.015)×10=1，

解得a=0.020．

(Ⅱ)這些應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)為：

45×0.05+55×0.1+65×【解析】(Ⅰ)由頻率分布直方圖列方程能求出a．

(Ⅱ)由頻率分布直方圖能求出這些應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)．

(Ⅲ)根據(jù)題意，錄取的比例為0.75，設(shè)分?jǐn)?shù)線定為x，根據(jù)頻率分布直方圖可知x∈[6020.【答案】解：(1)因為ca+b+c=sinA+sinC?sinBsinA，

所以由正弦定理可得ca+b+c=a+c?ba，整理可得a2+c2?b2=?ac，

所以cosB=a2+c2?b22a【解析】(1)由正弦定理化簡已知等式可得a2+c2?b2=?ac，由余弦定理可求cosB=?12，結(jié)合B21.【答案】解：(1)記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B，

“丙獲得‘合格證書’”為事件C，

則P(A)=45×12=25,P(B)=34×2【解析】(1)記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B，“丙獲得‘合格證書’”為事件C，利用相互獨立事件概率乘法公式分別求出甲、乙、丙三人獲得合格證書的概率，由此得到丙獲得“合格證書”的可能性大．

(2)記“甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得‘合格證書’”為事件22.【答