專題12心中有數(shù)例題與求解【例l】 在對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析中，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)，滿分100分）.請(qǐng)觀察圖形，并回答下列問(wèn)題：（1）該班有 名學(xué)生.（2）69.5~79.5這一組的頻數(shù)是 ，頻率是 .（3）請(qǐng)估算該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī).解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關(guān)信息.【例2】某學(xué)生通過(guò)先求X與y的平均值，再求得數(shù)與Z的平均值來(lái)計(jì)算X,y,Z三個(gè)數(shù)的平均數(shù).當(dāng)X<y<Z時(shí)，這個(gè)學(xué)生的最后得數(shù)是（ ）A.正確的 B.總小于A C.總大于AD.有時(shí)小于A，有時(shí)等于A E.有時(shí)大于A，有時(shí)等于A解題思路：按不同方法計(jì)算平均值,作差比較它們的大小.【例3】某校九年級(jí)學(xué)生共有900人，為了解這個(gè)年級(jí)學(xué)生的體能，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行Imin的跳繩測(cè)試,并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)這次測(cè)試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理,下圖是這四名同學(xué)提供的部分信息：甲：將全體測(cè)試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖（如圖）；乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%；丙：第①、②兩組頻率之和為0.12,且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12；丁：第②、③、④組的頻數(shù)之比為4：17：15.根據(jù)這四名同學(xué)提供的材料,請(qǐng)解答如下問(wèn)題：（1）這次跳繩測(cè)試共抽取多少名學(xué)生？各組有多少人？（2）如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀,根據(jù)這次抽查的結(jié)果,估計(jì)全年級(jí)達(dá)到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為多少.（3）以每組的組中值（每組的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)）作為這組跳繩次數(shù)的代表，估計(jì)這批學(xué)生1min跳繩次數(shù)的平均值.解題思路：本題考查了頻率、頻數(shù)的概念和對(duì)頻數(shù)直方圖的認(rèn)識(shí)，要理解各組頻率之和為1，各組頻數(shù)之和等于總數(shù)，掌握好這些知識(shí)點(diǎn)，自然可以解決問(wèn)題.人數(shù)JVJ①I②I③I④I⑤I⑥I-O95105115125135145155跳繩次數(shù)（每組數(shù)據(jù)含左端點(diǎn)值不含右端點(diǎn)值）【例4】編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，15號(hào)彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈珠從籃子A移至籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加1，籃子B中彈珠號(hào)41碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加二.問(wèn)原來(lái)在籃子A中有多少個(gè)彈珠？4解題思路：用字母分別表示籃子A,B中的彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運(yùn)用方程（組）來(lái)求解.【例5】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15道題，下表是對(duì)于做對(duì)n（n=0，1,2，?，15）道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì),如果又知其中做對(duì)4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6道題,做對(duì)10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4道題,問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？n0123…12131415做對(duì)n道題的人數(shù)781021…15631解題思路：從統(tǒng)計(jì)表中可知做對(duì)0~3道題、12~15道題的相應(yīng)總?cè)藬?shù)和總題數(shù)，結(jié)合已知條件，運(yùn)用方程（組）、不等式（組）等知識(shí)方法求解.【例6】一次中考模擬考試中，兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下： 分?jǐn)?shù) 5060708090100人數(shù)三（3）251013146三（4）441621212請(qǐng)你根據(jù)學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，判斷這兩個(gè)班在這次模擬考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)次？并說(shuō)明理由.解題思路：這是一道開(kāi)放性試題，看考慮問(wèn)題是從哪一個(gè)側(cè)面入手.本題因未說(shuō)明從何種角度來(lái)考慮，故我們應(yīng)多想幾套方案.能力訓(xùn)練A級(jí)1.大連是一個(gè)嚴(yán)重缺水的城市，為鼓勵(lì)市民珍惜每一滴水，某居委會(huì)表彰了100個(gè)節(jié)約用水模范戶，5月份這100戶節(jié)約用水的情況如下表：每戶節(jié)水量（單位：噸）11.21.5節(jié)水戶數(shù) 一523018那么，5月份這100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01噸） 噸.2.某班全體學(xué)生進(jìn)行了一次籃球投籃練習(xí)，每人投球10個(gè)，每投進(jìn)一球得1分．得分的部分情況如下表所示：得分012…8910人數(shù)754…341已知該班學(xué)生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班學(xué)生有 人．.甲、乙兩名學(xué)生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7 8 686 5 9 1074乙：9 5 787 6 8 6 77所以應(yīng)確定 去參加射擊比賽..在綜合實(shí)踐課上，六名同學(xué)做的作品的數(shù)量（單位：件）分別是：5,7,3,X,6,4,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 件..如果一組數(shù)據(jù)X,X,X,X,X的平均數(shù)是X,則另一組數(shù)據(jù)X,X+1,X+2,X+3,X+412345 12 3 4 5的平均數(shù)是（）A.X B.X+2 C.X+5 D.X+1026.10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)是45,50,75,50,20,30,50,80,20,30．設(shè)這些零件數(shù)的平均數(shù)為〃，眾數(shù)為b，中位數(shù)為C，那么（ ）A.a<b<c B.b<C<a C,a<C<b D,b<a<c.為了了解某區(qū)九年級(jí)7000名學(xué)生,從中抽查了500名學(xué)生的體重.就這個(gè)問(wèn)題而言,下列說(shuō)法正確的是（）A.7000名學(xué)生是總體 B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C500名學(xué)生是樣本 D.樣本容量為500.已知1~99中有49個(gè)偶數(shù)，從這49個(gè)偶數(shù)中取出48個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為49-5,則未取的數(shù)字是（ ）A.20 B.28 C.72 D.78.甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示：（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).得分1016151413第五次第四次第三次第二次第 A.次10.某校要從九年級(jí)（1）班和（2）班中各選取10名女同學(xué)組成禮儀隊(duì)，選取的女生身高如下：（單位：厘米）（1）班：168 167 170165168 166 171 168 167 170（2）班：165 167 169170165 168 170 171 168 167（1）補(bǔ)充完成下面的統(tǒng)計(jì)分析表班級(jí)平均數(shù)方差中位數(shù)極差（1）班1681686（2）班1683.8（2）請(qǐng)選一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明哪一個(gè)班能被選取.B級(jí)1.為制定本市初中七、八、九年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門(mén)準(zhǔn)備對(duì)180名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種調(diào)查方案：A、測(cè)量少體校中180名男子籃球、排球隊(duì)員的身高；B、查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料；C、在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級(jí)中學(xué)，在這六所學(xué)校有關(guān)年級(jí)的（1）班中，用抽簽的方法分別選出10名男生，然后測(cè)量他們的身高．問(wèn)：（1）為了達(dá)到估計(jì)本市初中這三個(gè)年級(jí)男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合理，為什么？答：選 ；理由： （2）下表中的數(shù)據(jù)是使用了某種調(diào)查方法獲得的：初中男生身高情況抽樣調(diào)查表T數(shù)）\年級(jí)身高cmp^^^??fc七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)總計(jì)（頻數(shù)）143~1531230153~1631896163~173243339173193003（注：每組可含最低值，不含最高值）①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)表中的空格；②根據(jù)填寫(xiě)的數(shù)據(jù)繪制頻數(shù)分布直方圖．?dāng)?shù)據(jù)a1a2a3a4a5a6a7a8個(gè)數(shù)51015202015105其中”,α,a，…，a是從小到大排列的兩位數(shù)，且每個(gè)兩位數(shù)與它的反序數(shù)（12的反序數(shù)是21）123 8之和都為完全平方數(shù),樣本的方差是 .3.五名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為a+bcc+d…b米，前兩名的平均身高為c，后三名的平均身高為d，則-?與-?比較（ ）a+b c+dA.-?大 B.-?大 C.兩者相等 D.無(wú)法確定4.已知數(shù)據(jù)）'2，X3的平均數(shù)為a，YJY，Y3的平均數(shù)為b，則數(shù)據(jù)25+3Y1，2X2+3Y2，22X+3Y的平均數(shù)為（）332A.2a+3b B.—a+b C.6a+9b d.2a+b3.小林?jǐn)M將1,2,…，n這n個(gè)數(shù)輸入電腦，求平均數(shù).當(dāng)他認(rèn)為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入（n-1）個(gè)數(shù)，平均數(shù)為355,假設(shè)這（n-1）個(gè)數(shù)輸入無(wú)誤，則漏輸入的一個(gè)數(shù)是（ ）A.10 B.53 C.56 D.67（江蘇省競(jìng)賽試題）.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上.設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=Ymm,寬MN=Xmm.3（1）求證：Y=120--X；(2)當(dāng)矩形PQMN的面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)和寬是關(guān)于t的一元二次方程12-10Pt+200q=0的兩個(gè)根，而P、q的值又恰好分別是a，10，12,13，b這5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a與b的值.(廣西壯族自治區(qū)中考試題).某班參加一次智力競(jìng)賽，共a,b,C三道題，每題或者得滿分或者得0分.其中題a滿分20分，b、C題滿分都為25分，競(jìng)賽結(jié)果：每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的有15人，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為29；答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題C的人數(shù)之和為25；答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20,問(wèn)這個(gè)班的平均成績(jī)是多少..元旦聯(lián)