33/43專題02空間向量及其運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1.理解空間向量的基本概念和性質(zhì)；2.掌握向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則及運(yùn)算律；3.培養(yǎng)類比、分析和計(jì)算的能力教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握空間向量加減、數(shù)乘及數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則及運(yùn)算；2.教學(xué)難點(diǎn)：理解空間向量的基本概念與性質(zhì).知識點(diǎn)01空間向量的概念1、空間向量的有關(guān)概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點(diǎn)，叫向量的終點(diǎn)；（2）字母表示法：用表示．向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.【即學(xué)即練】1.【多選】給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，則或B．若向量是向量的相反向量，則C．在正方體中，D．若空間向量，，滿足，，則【答案】BCD【詳解】依據(jù)向量相等的概念，選項(xiàng)A判斷錯誤；若向量是向量的相反向量，則.選項(xiàng)B判斷正確；依據(jù)向量相等的概念，在正方體中，.選項(xiàng)C判斷正確；依據(jù)向量相等的概念，若空間向量，，滿足，，則.選項(xiàng)D判斷正確.故選：BCD.2.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】D【詳解】對于A，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A錯誤；對于B，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B錯誤；對于C，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C錯誤；對于D，eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正確．故選D知識點(diǎn)02空間向量的加法、減法運(yùn)算1、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即2、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即3、空間向量的加法運(yùn)算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：【知識拓展】空間向量加法的多邊形法則1．當(dāng)兩個以上的空間向量相加時，可將三角形法則推廣到多邊形法則:n個向量順次首尾相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和,即2.由上述法則可推導(dǎo)出：圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量.如：.【即學(xué)即練】1已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【答案】D【詳解】選項(xiàng)A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；選項(xiàng)D中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC1,\s\up7(→))≠eq\o(AC1,\s\up7(→)).故選D.2．（24-25高二上·河南南陽期中）在長方體中，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.知識點(diǎn)03空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反注意：當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則．3．?dāng)?shù)乘向量的運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即學(xué)即練】1.計(jì)算:⑴；⑵【詳解】⑴原式===.⑵原式====.知識點(diǎn)04共線向量與共面向量1．共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.拓展：對于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中2.共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使拓展：對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【即學(xué)即練】1.已知空間四邊形ABCD，點(diǎn)E?F分別是AB與AD邊上的點(diǎn)，M?N分別是BC與CD邊上的點(diǎn)，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，得，所以共線，同理，由，，得，所以共線，所以共線，即.故選：B.2.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.3.在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.⑤若與是平面上互不平行的向量，點(diǎn)，點(diǎn)，則與、一定不共面．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】此題考查向量的知識點(diǎn)；對于①：根據(jù)兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向量所在的直線重合，所以此命題錯誤；對于②：兩個向量可以平移到一個平面內(nèi)，所以此命題錯誤；對于③：若三個向量兩兩共面，這三個向量有可能不共面，所以此命題錯誤；對于④：根據(jù)空間向量的基本定理知道，這三個向量要不共面才可以，所以此命題錯誤，對于⑤,若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點(diǎn)，點(diǎn)，但是直線可以平行平面，則與、共面，故⑤錯誤．所以選A知識點(diǎn)05空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2.常用公式：(a，b為非零向量)①垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0.②模長公式：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③夾角公式：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).3、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·浙江金華·階段練習(xí)）在空間四邊形中，已知，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，則，，因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?故選：C2．（2016高二·全國·課后作業(yè)）已知空間向量與滿足，且，若與的夾角為，則．【答案】【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，所以由，故答案為：3.如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)求與的夾角的大小余弦值；(3)判斷與是否垂直．【詳解】(1)正方體中，,故;(2)由題意知,,,，故，故，故與的夾角的大小余弦值為；(3)由題意，,,故與垂直.題型01空間向量的有關(guān)概念【典例1】下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個向量共面 D．若a→∥b→【答案】C【詳解】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根據(jù)共面向量基本定理可知：空間任意兩個向量共面，正確；D．若a→∥b→，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使使綜上可知：只有C正確．故選：C．【典例1-2】（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．零向量是任意直線的方向向量B．方向相同的兩個向量是相等向量C．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)直線的方向向量的定義得到A錯誤；B選項(xiàng)，根據(jù)相等向量定義得到B錯誤；C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量基底的定義得到C錯誤；D選項(xiàng)，由空間向量和平面向量的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，A錯誤；B選項(xiàng)，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤；C選項(xiàng)，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，C錯誤；D選項(xiàng)，任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，D正確.故選：D在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.【變式1-1】（24-25高二上·河南商丘·階段練習(xí)）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓；②在正方體中，必有；③若空間向量滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于②，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以，故②為真命題；對于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故④為假命題.故選：B【變式1-2】已知正方體的中心為O，則下列各結(jié)論中正確的是（）A．與是一對相反向量B．與是一對相反向量C．與是一對相反向量D．與是一對相反向量【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則和相反向量的概念判斷即可【詳解】所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C【變式1-3】下列說法正確的是（

）A．向量與向量是相等向量B．與實(shí)數(shù)類似，對于兩個向量，，有，，三種大小關(guān)系C．向量的模是一個正實(shí)數(shù)D．若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷A；根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根據(jù)共線向量的定義判斷D.【詳解】對于A，向量與向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對于B，與實(shí)數(shù)不一樣，兩個實(shí)數(shù)可以比較大小，而兩個向量不能比較大小，因此B不正確；對于C，向量的模是一個非負(fù)實(shí)數(shù)，因此C不正確；對于D，若兩個非零向量是共線向量，則這兩個向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.題型02空間向量的線性運(yùn)算【典例2-1】（24-25高一下·天津?yàn)I海新·期中）如圖所示，在平行六面體中，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CA?上的點(diǎn)，且用表示向量的結(jié)果是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，將用空間的基底表示即可.【詳解】由圖可得：.故選：C.【典例2-2】（24-25高二下·云南·期末）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.【詳解】是的中點(diǎn)，，又，由，.故選：.在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.【變式2-1】平行六面體中，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【詳解】，所以，故選：C.

【變式2-2】（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，利用空間向量運(yùn)算即可求得正確答案.【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，

因?yàn)榈酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵?，所以四邊形為長方形，又因M，N分別是的中點(diǎn)，所以，則，又因，所以可得，解得，所以.故選：A.題型03共線向量定理的應(yīng)用【典例3-1】（25-26高二上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知為空間內(nèi)三個不共面的向量，平面和平面的法向量分別為和，若，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，設(shè)，結(jié)合向量不共面及基本定理有，求出參數(shù)值，即可得.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，即，由于為空間內(nèi)三個不共面的向量，所以，可得，則.故選：B【典例3-2】（22-23高二下·福建龍巖·期中）設(shè)向量不共面，已知，若三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則存在實(shí)數(shù)，使得，由已知得故由于不共面，故解得另解:因?yàn)橄蛄坎还裁?，所以，由已知得故向量表達(dá)式中的系數(shù)對應(yīng)成比例，即，解得．故選：C.利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線．證平行時，先從直線上取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題時，通常不用圖形。直接利用向量的線性運(yùn)算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn)．【變式3-1】已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則①；②存在三個不為0的實(shí)數(shù)，m，n，使，那么使①②成立的與的值分別為（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的推理即可求得，.【詳解】，B，C三點(diǎn)共線，，，解得，又由，得，由A，B，C三點(diǎn)共線知，，則.故選：B【變式3-2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】利用空間向量平行證明三點(diǎn)共線即可.【詳解】因?yàn)椋?，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故A錯誤.因?yàn)?，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故B錯誤.因?yàn)?、、，所以，即，所以、、三點(diǎn)共線，故選C正確.因?yàn)?、、，所以，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故D錯誤.故選：C.故D成立，故選：D.題型04共面向量及應(yīng)用【典例4-1】對于空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，有，則是，，，四點(diǎn)共面的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【詳解】解：若，則，即，由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點(diǎn)共面；反之，若，，，四點(diǎn)共面，當(dāng)與四個點(diǎn)中的一個比如點(diǎn)重合時，，可取任意值，不一定有，所以是，，，四點(diǎn)共面的充分不必要條件．故選：B．【典例4-2】在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，再由空間共面定理的推論得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，所以，解得.故選：B 1．解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．2．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．【變式4-1】（多選）已知空間中有5個點(diǎn)、、、、，若滿足，且、、、四點(diǎn)共面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求的值.【詳解】由得，即，由空間向量共面定理的推論可知，，解得.故選：B.【變式4-2】如圖，三棱柱中，為的中點(diǎn)，滿足，過作三棱柱的截面交于，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四點(diǎn)共面，，由，求出的值.【詳解】因?yàn)椋珽為中點(diǎn)，.又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)，即所以，所以.故選：A．題型05空間向量的數(shù)量積【典例5-1】在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運(yùn)算可求得，可判斷AB；，可判斷C；由，可得，進(jìn)而計(jì)算可得，可判斷D.【詳解】，故AB錯誤；因?yàn)椋?，所以不一定等于，故C錯誤；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：D.向量的數(shù)量積運(yùn)算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本相同。求空間向量數(shù)量積的運(yùn)算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：即可順利計(jì)算．【變式5-1】已知四面體，所有棱長均為2，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，且四面體所有棱長均為2，則，所以.故選：D【變式5-2】已知為正方體，下列說法正確的是（

）A．B．C．向量與向量的夾角是D．正方體的體積為【答案】AB【詳解】對于A，由向量的加法運(yùn)算得到，，，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，是等邊三角形，，又，異面直線與所成的角為，但是向量與向量的夾角是，故C錯誤；對于D，，，則，故D錯誤．故選：AB．題型06求兩向量的夾角【典例6-1】（25-26高二上·浙江舟山·階段練習(xí)）空間四邊形中，，則的值是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律列式計(jì)算，再利用空間向量夾角的定義求解.【詳解】在空間四邊形中，，則，所以.故選：D1、求兩個向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟注：求兩向量夾角，必須特別關(guān)注兩向量方向，應(yīng)用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角．【變式6-1】（25-26高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，是一個單位的正交基底，且向量，，則與夾角的余弦值為．【答案】【分析】求出，，，利用空間向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】由題意得，所以，，，所以.【變式6-2】（25-26高二上·海南三亞·階段練習(xí)）如圖所示，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為．設(shè)，，．則的值（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，兩邊平方得到，求出的長；，進(jìn)而求出，，利用空間向量夾角公式得到.【詳解】，，，，，，，，，，，，，．故選：A.題型07求線段的長度或向量的模長【典例7-1】（25-26高二上·廣東·期中）在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.設(shè)在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助投影向量定義、數(shù)量積公式及模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】，，則，，故.故選：A.【典例7-2】（25-26高二上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖，二面角的棱上有兩個點(diǎn)，，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱.若二面角的平面角為，且，，，則（

）.

A． B． C． D．【答案】B【分析】借助空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得、、，又，則，則.故選：B.空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解?！咀兪?-1】、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則．【答案】【詳解】因?yàn)?，與、的夾角都是，且，，，則，，，則，所以.【變式7-2】在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為1，且它們兩兩所成夾角都是，則線段的長度為.【答案】【分析】將用表示，再求出，得到.【詳解】因?yàn)?，所以，則，

題型08證明線線垂直【典例8】如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直【答案】B【詳解】在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，，所以四點(diǎn)不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；對于C，設(shè)，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因?yàn)椋圆淮嬖邳c(diǎn)使得直線與直線CP垂直，故C錯誤；對于D，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以?dāng)點(diǎn)在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.故選：B.利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積并判斷是否為0.【變式8】如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【答案】(1)(2)垂直【詳解】（1）正方體中，，故.（2）由題意，，，故與垂直.題型9利用空間向量求異面直線所成的角【典例9】（25-26高二上·河南漯河·階段練習(xí)）在正三棱錐中，，D，E分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線PD與BE所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可說明，，，利用向量法即可求得答案.【詳解】依題意得，故，則，則，同理，.

而D，E分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，則，故，則，即異面直線PD與BE所成角的余弦值是，故選：B利用空間向量求異面直線所成角的方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角，再利用向量夾角公式求解，但要注意的是異面直線所成的角不能為鈍角，故當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，異面直線所成的角為其補(bǔ)角.【變式9-1】（25-26高二上·河北·階段練習(xí)）如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底法求解即可.【詳解】由于平面平面，平面平面，平面，，則平面，由于平面，則，由于四邊形為菱形，，則為正三角形，設(shè)，則，由于，則，所以，則直線所成角的余弦值為，故選：D.【變式9-2】（25-26高二上·福建廈門·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，二面角的大小為，點(diǎn)B到平面的距離為，點(diǎn)C到平面的距離為，則直線與直線所成角的正切值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)已知條件得到，從而可得，利用向量法可求得，進(jìn)而計(jì)算可求得結(jié)論.【詳解】直三棱柱中，底面，又底面，則，，則二面角的平面角即為，且為，到面的距離等于，由于側(cè)面和底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理可得到的距離為，同樣到平面的距離等于，即為到的距離為，在三角形中，可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以直線與直線所成角的正切值為.故選：D.一、單選題1.（24-25高二下·福建寧德·期中）下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．任意兩個空間向量不一定共面 B．模相等的兩個向量是相等向量C．平行于同一個平面的向量叫做共面向量 D．空間中任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底【答案】C【詳解】任意兩個空間向量一定共面，A錯誤.方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，B錯誤．平行于同一個平面的向量叫做共面向量，C正確.空間中任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，D錯誤.故選：C.2．若空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)有關(guān)系式，則（

）A．四點(diǎn)共面 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算可得，可得四點(diǎn)共面．【詳解】由，得，，即，四點(diǎn)共面．故選：B.3.（24-25高二下·云南·期末）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加減法則，將逐步轉(zhuǎn)化為已知向量、、的線性組合.【詳解】是的中點(diǎn)，，又，由，.故選：.4．已知兩非零向量，，且與不共線，設(shè)（、，且、），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．與，共面 D．以上三種情況均有可能【答案】C【分析】先假設(shè)與共線即，從而得，進(jìn)而推出矛盾，與同理，從而可判斷選項(xiàng)ABD，再由向量共面的充要條件結(jié)合已知條件、和即可判斷C.【詳解】假設(shè)與共線，則，所以即，又、，所以與共線，這和與不共線相矛盾，故假設(shè)不成立，則A不正確，同理B不正確，則D不正確；因?yàn)?、，，所以與，共面，故C正確.故選：C.5．（25-26高二上·浙江金華·階段練習(xí)）在空間四邊形中，已知，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在空間四面體中，用向量加法法則表示，再結(jié)合投影向量的計(jì)算方法求解.【詳解】由題意，則，，因?yàn)?，所以在上的投影向量?故選：C6．在棱長均為1的平行六面體中，，，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】直接由公式即可建立方程求解.【詳解】設(shè)，注意到，所以，所以.故選：D.7．（25-26高二上·四川成都·階段練習(xí)）在平行六面體中，底面正方形邊長為3，側(cè)棱的長為2，且，則的長為（

）A． B．10 C． D．34【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合向量的模公式即可求解.【詳解】在平行六面體中，由，，得，，由圖知，，則.故選：A.8．（25-26高二上·遼寧朝陽·期中）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方體外接球的球面上一點(diǎn)，為正方體內(nèi)切球的球面上的兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】正方體的中心為，由正方體的棱長求出外接球和內(nèi)切球的半徑，由得到是正方體內(nèi)切球的直徑，從而得到，利用向量的三角形加法法則得到和，求解即可.【詳解】設(shè)正方體外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，正方體的中心為，則，所以，所以，即，因?yàn)?，所以是正方體內(nèi)切球的直徑，所以，所以.故選：B.二、多選題9．下列命題是假命題的是（

）A．若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．的充要條件是A與C重合，B與D重合C．若向量，滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則與共線【答案】ABC【分析】對于A，根據(jù)空間向量的性質(zhì)分析判斷，對于B，根據(jù)相等向量的定義分析判斷，對于C，根據(jù)向量的性質(zhì)分析判斷，對于D，根據(jù)共線向量的定義分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)榭臻g中任意兩向量平移之后都可以共面，所以空間中任意兩向量均共面，所以A是假命題；對于B，由知，，且與同向，但A與C，B與D不一定重合，所以B是假命題；對于C，空間向量不能比較大小，只能對向量的長度進(jìn)行比較，所以C是假命題；對于D，因?yàn)?，所以，故與共線，所以D是真命題．故選：ABC10.（多選）（25-26高二上·陜西·階段練習(xí)）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）

A．B．C．向量與的夾角是D．與所成角的余弦值為【答案】AB【分析】利用向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積公式以及模長公式可判斷A，證明可判斷B，利用夾角公式可判斷CD.【詳解】對于A，由題意可知，則，所以，故A錯誤；對于B，，所以，故B正確；，則，向量與的夾角是，故C錯誤；對于D，設(shè)與所成的角為，，.所以，故D錯誤.故選AB11．如圖（1），在長方形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接AF，CE，分別交BD于點(diǎn)M，N，將沿直線BD折起到的位置，如圖（2），則下列說法正確的是（

）

A．在翻折的過程中，恒有平面PENB．若G為直線PN上一點(diǎn)，則點(diǎn)G到直線AM的最短距離為C．當(dāng)二面角的大小為時，D．當(dāng)平面平面ABD時，三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【詳解】在長方形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，計(jì)算可得，，易知，又，所以，則，，所以，所以，同理可得．對于A，由上述過程可知在翻折的過程中，，而，因?yàn)?，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正確；對于B，與A同理可得平面AMF，因?yàn)槠矫鍭MF，所以，由平面PEN，平面PEN，可得，所以MN為AM，PN的公垂線段，所以點(diǎn)G到直線AM的最短距離為MN，而，故B正確；對于C，因?yàn)?，二面角的大小為，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，因?yàn)楹?/p>