.z.初中數(shù)學(xué)思想和解題方法專題一、學(xué)習(xí)指引1．知識要點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化化歸思想；方程思想2．方法指引：（1）數(shù)形結(jié)合法：數(shù)學(xué)家華羅庚說得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”．幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數(shù)方法的一般性，解題過程的機(jī)械化，可操作性強(qiáng)，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法．所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思考方法．每個(gè)幾何圖形中蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又通過圖形的直觀性作出反映和描述，數(shù)與形之間可以相互轉(zhuǎn)化，將問題化難為易，化抽象為具體.數(shù)形結(jié)合的思想方法通過借數(shù)解形、以形助數(shù)，能使*些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題迎刃而解．（2）分類討論法：在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以考查．這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略．分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對于加深基礎(chǔ)知識的理解．提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的．正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏．分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分討論應(yīng)逐級進(jìn)行．（3）轉(zhuǎn)化化歸思想：所謂化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易．如將分式方程化為整式方程，將代數(shù)問題化為幾何問題，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等．實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代人法以及化動(dòng)為靜、由抽象到具體等．（4）方程與函數(shù)思想：方程與函數(shù)是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具，在處理*些問題時(shí)，往往根據(jù)已知與未知之間的在聯(lián)系和相等關(guān)系建立方程（或方程組）或函數(shù)關(guān)系，這種通過方程（組）或函數(shù)來溝通已知與未知，從而使問題獲得解決的思想方法稱之為方程與函數(shù)思想．二、分類突破（一）數(shù)形結(jié)合1．最小的正整數(shù)是_____最大的負(fù)整數(shù)是______絕對值最小的數(shù)是______2、大于-2.5而不大于4的整數(shù)有________個(gè)，分別是__________3、絕對值小于3的非負(fù)整數(shù)是_________絕對值不大于4的整數(shù)是________4、設(shè)。點(diǎn)撥：借助數(shù)軸可以讓此類題形象直觀，簡便準(zhǔn)確5、化簡三個(gè)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖1，化簡變式1、化簡變式2、化簡點(diǎn)撥：從圖形中獲取有用信息是解決此類題的關(guān)鍵6、線段AB,延長AB到C，使BC=AB，D為AC的中點(diǎn)，若AB＝9cm，則DC的長為。7、已知，線段AB=6cm，在直線AB上截取線段BC=4cm，若M，N分別是AB，BC中點(diǎn)（1）求M，N兩點(diǎn)間的距離。（2）AB=acm，BC=bcm，其他條件不變，此時(shí)MN是多少？（3）由（1），（2），你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？8、平面，若，，則；點(diǎn)撥：正確畫出圖形是突破此類題的關(guān)鍵分類討論法1、解絕對值方程|*+5|+2=52、已知_______.3、已知變式、已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，*的平方是4，求的值。4、已知a為有理數(shù)且a0，則+QUOTE=________變式1、、已知、均為不等于的有理數(shù)，則代數(shù)式的值為；變式2、求代數(shù)式的值為___________變式3、若的所有可能值是__________點(diǎn)撥：合理分類是解決這類題的關(guān)鍵5、解關(guān)于*的方程．6、如果A、B、C在同一條直線上，線段AB=6cm，BC=2cm，則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、無法確定變式1：如果在同一條直線上順次截取A、B、C，線段AB=6cm，BC=2cm，則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）變式2、線段AB=6cm，BC=2cm，則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）A、8cmB、4cmC、8cm或4cmD、無法確定7、已知A、B、C三點(diǎn)共線，線段AB=60，M為其中點(diǎn)，線段BC=28，N為其中點(diǎn)，求MN的長。(2)如果設(shè)AB=a，BC=b，表示出MN的長（三）整體代入法1、(變式1、已知代數(shù)式*＋2y的值是3，則代數(shù)式2*＋4y＋1的值是（）變式2、．當(dāng)代數(shù)式的值為7時(shí)，代數(shù)式的值是_______．變式3、已知?jiǎng)t的值為（）變式4、已知代數(shù)式的值是3，代數(shù)式的值為（）.變式5、當(dāng)時(shí)，的值為9，則當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為（）變式6、已知代數(shù)式的值是3，代數(shù)式的值為（）.變式7、則（）思考：已知：求的值.2、【例6】如圖：是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。①、如果，，求EB②、如果,求AB5、如圖,已知,,平分,平分。（1）求的度數(shù)；（2）若（1）中,其他條件不變,求的度數(shù)；（3）若（2）中，其他條件不變,求的度數(shù)；（4）從前3問中可以看出什么規(guī)律.四、化歸思想所謂化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易．如將分式方程化為整式方程，將代數(shù)問題化為幾何問題，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等．實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代人法以及化動(dòng)為靜、由抽象到具體等．1、2、點(diǎn)撥：根據(jù)乘方的意義轉(zhuǎn)化為乘法解決3、點(diǎn)撥：由于負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)無法確定，所以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問題解決變式：（9-10）（10-11）…（101-102）（102-103）4、11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；變式、1995-1992+1989-1986+1983-……+15-12+9-6+3BBCDEFGA5、①下圖中共有條線段，個(gè)三角形。點(diǎn)撥：一條直線上的線段條數(shù)可以有序思考后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和。數(shù)三角形和角可以轉(zhuǎn)化為數(shù)線段問題。生活中很多問題也可以用此法解決。變式、一條汽車線路上共有7個(gè)站，用于這條線路上的車票最多________種。②時(shí)鐘在12點(diǎn)、1點(diǎn)、1點(diǎn)半、1點(diǎn)20分、1點(diǎn)57分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角分別是、、、、。點(diǎn)撥：鐘表夾角問題可以轉(zhuǎn)化為追及問題解決6、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的n（n＞1）臺機(jī)床在工作，我們要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問題，先退到比較簡單的情形：如圖①，如果直線上有2臺機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵易叩木嚯x之和等于A1到A2的距離.如圖②，如果直線上有3臺機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床A2處最合適，因?yàn)槿绻鸓放在A2處，甲乙和丙所走的距離之和恰好為A1到A3的距離，而如果把P放到別處，例如D處，則甲和丙所走的距離之和仍是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到D的這一段，在是多出來的，一次P放在A2處是最佳選擇.不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺的位置.問題⑴：有n臺機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)置在何處？問題⑵：根據(jù)問題⑴的結(jié)論,求︱*－1︱+︱*－2︱+︱*－3︱+…+︱*－617︱的最小值.五、方程的思想1、已知方程是關(guān)于的一元一次方程，試求字母的值；2、要使是方程的解，則；3、若與互為相反數(shù)，則的值為；4、若與是同類項(xiàng)，則；5、若，則關(guān)于的方程的解是（）6、1B、－1C、D、－27、要使多項(xiàng)式中，不含項(xiàng)，則應(yīng)取（）A、―1B、1C、―D、8、已知方程和方程的解相同。（1）求的值；（2）求代數(shù)式的值；8、如圖，線段AB被點(diǎn)C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中點(diǎn)M和DB的中點(diǎn)N之間的距離是40cm，求AB9、如圖，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB與∠AOD的度數(shù)比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度數(shù)．10、若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是2∶7，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角．六、特值法1、已知y=*-1,則*2-2*y+3y2-2的值是_________點(diǎn)撥：當(dāng)已知代數(shù)式中有兩個(gè)字母時(shí)可以用特值法更簡單。2、已知，比較的大?。ǎ┢?、排除法：1、下列說法錯(cuò)誤的是()。A、不相交的兩條直線叫做平行線B、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短C、平行于同一條直線的兩條直線互相平行D、平面,過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直2、下列判斷中，正確的是（）、正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)、正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零統(tǒng)稱為有理數(shù)3、已知一個(gè)有理數(shù)的絕對值是它本身，則這個(gè)數(shù)是（）、正有理數(shù)、正有理數(shù)和、負(fù)有理數(shù)、或4、若為有理數(shù)，下列判斷正確的是（）、是正數(shù)、是負(fù)數(shù)、不是正數(shù)、總比大八、從特殊——一般——特殊的方法解規(guī)律題1、觀察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，2=256……，則2的結(jié)果的個(gè)位數(shù)應(yīng)為（）。A、2B、4C、8D、62．(2009年市)如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24，第2次輸出的結(jié)果為12，……第2009次輸出的結(jié)果為___________．（第23題）輸入（第23題）輸入+3輸出為偶數(shù)為奇數(shù)3．（2009年）觀察下列圖形，