1/12023年全國高考文科數(shù)學分類匯編解析幾何2023年全國高考文科數(shù)學分類匯編解析幾何

1.（2023北京文科）已知雙曲線2

221xya

-=（a＞0則a=

A.

B.4

C.2

D.

12

【答案】D【解析】【分析】

本題依據(jù)依據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于a的方程求解.

【詳解】∵雙曲線的離心率c

ea

=

=，c=，

=，

解得12

a=，故選D.

【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學思想等學問，意在考查同學的轉(zhuǎn)化力量和計算求解力量.

2.（2023北京文科）設(shè)拋物線y2

=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x-1)2+y2

=4.

【解析】【分析】

由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，進而求得結(jié)果.

【詳解】拋物線y2

=4x中，2p=4，p=2，

焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，

且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2

=4.

【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標，拋物線的準線方程，直線與圓相切的充分必要條件等學問，意在考查同學的轉(zhuǎn)化力量和計算求解力量.

3.（2023北京文科）已知橢圓22

22

:

1xyCab+=的右焦點為(1,0)，且經(jīng)過點(0,1)A.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線:(1)lykxtt=+≠±與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.

【答案】（Ⅰ）2

212

xy+=；

（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】

(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結(jié)合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.

【詳解】（Ⅰ）由于橢圓的右焦點為(1,0)，所以

12

25

；由于橢圓經(jīng)過點(0,1)A,所以1b=，所以2

2

2

2abc=+=，故橢圓的方程為2

212

xy+=.

（Ⅱ）設(shè)1122(,),(,)PxyQxy

聯(lián)立2

212(1)xyykxtt?+=???=+≠?

得222

(12k)4220xktxt+++-=，

2121222

422

0,,1212kttxxxxkk-?>+=-=++，121222212tyykxxtk+=++=+，22

2

2

1212122

212tkyykxxktxxtk

-=+++=+.直線111:1yAPyxx--=

，令0y=得111xxy-=-，即1

11

xOMy-=-；同理可得2

21

xONy-=

-.由于2OMON=,所以

1212

1212122111

xxxxyyyyyy--==++；

22

1

121

ttt-=-+，解之得0t=，所以直線方程為ykx=，所以直線l恒過定點(0,0).【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要留意：

(1)留意觀看應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算力量，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

4.（2023全國1卷文科）雙曲線C:22

221(0,0)xyabab

-=>>的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為

A.2sin40°

B.2cos40°

C.

1

sin50?

D.

1

cos50?

【答案】D【解析】分析】

由雙曲線漸近線定義可得tan130,tan50bbaa-=?∴=?

，再利用cea==【詳解】由已知可得tan130,tan50bb

aa

-

=?∴=?，

1cos50cea∴======?，故選D．【點睛】對于雙曲線：222210,0xyabab-=>>，

有cea==對于橢圓222210xyabab+=>>，

有cea==

5.（2023全國1卷文科）已知橢圓C的焦點為121,01,0FF-，，過F2的直線與C交于A，B兩點.若

222AFFB=││││，1ABBF=││││，則C的方程為

A.2

212

xy+=

B.22132xy+=

C.22

143

xy+=

D.22

154

xy+=【答案】B【解析】分析】

【

由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，

得12AFn=，在1AFB△中求得11

cos3

FAB∠=，再在12AFF△

中，由余弦定理得2

n=

，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，由橢圓的定義有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在1AFB△中，由余弦定理推論得22214991cos2233nnnFABnn+-∠==??．在12

AFF△中，由余弦定理得22

14422243nnnn+-???=，

解得2

n=．

2

2

2

24312,anabac∴==∴=∴=-=-=∴所求橢圓方程為22

132

xy+=，故選B．

法二：由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，由橢圓的定義有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得

222122

2144222cos4,

422cos9nnAFFnnnBFFn

?+-???∠=?+-???∠=?，又2121,AFFBFF∠∠互補，2121coscos0AFFBFF∴∠+∠=，兩式消去2121coscosAFFBFF∠∠,，得223611nn+=

，解得

2

n=

．222

24,,312,anabac∴==∴=∴=-=-=∴所求橢圓方程為22132xy+=，故選B．

【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡潔性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的力量，很好的落實了直觀想象、規(guī)律推理等數(shù)學素養(yǎng)．

6（2023全國1卷文科）.已知點A，B關(guān)于坐標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．

（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．

（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．

【答案】（1）2或6；（2）見解析.【解析】【分析】

（1）設(shè),Att-，,Btt-，依據(jù)4AB=，可知t=

M必在直線yx=上，

可設(shè)圓心,Maa；利用圓心到20x+=的距離為半徑和MAMBr==構(gòu)造方程，從而解出r；（2）當直線AB斜率存在時，設(shè)AB方程為：ykx=，由圓的性質(zhì)可知圓心M必在直線1

=-yxk

上；假設(shè)圓心

坐標，利用圓心到20x+=的距離為半徑和rMA==

構(gòu)造方程，解出M坐標，可知M

軌跡為拋物線；利用拋物線定義可知1,0P為拋物線焦點，且定值為1；當直線AB斜率不存在時，求解出M坐標，驗證此時1,0P依舊滿意定值，從而可得到結(jié)論.

【詳解】（1）

A在直線2

2gRr

上∴設(shè),Att-，則,Btt-

又4AB=2816t∴=，解得：t=

M過點A，B∴圓心M必在直線yx=上

設(shè),Maa，圓的半徑為r

M與20x+=相切2ra∴=+

又MAMBr==，即((2

2

2

aar++=

((

2

2

2

2aaa∴+=+，解得：0a=或4a=

當0a=時，2r=；當4a=時，6r=

M∴的半徑為：2或6

（2）存在定點1,0P，使得1MAMP-=說明如下：

A，

B關(guān)于原點對稱且4AB=

∴直線AB必為過原點O的直線，且2OA=

①當直線AB斜率存在時，設(shè)AB方程為：ykx=

則

M的圓心M必在直線1

=-yxk

上

設(shè),Mkmm-，

M的半徑為r

M與20x+=相切2rkm∴=-+

又rMA==

=

2km∴-+=，整理可得：24mkm=-

即M點軌跡方程為：2

4yx=，準線方程為：1x=-，焦點1,0F

MAr=，即拋物線上點到2x=-的距離∴1MAMF=+1MAMF∴-=

∴當P與F重合，即P點坐標為1,0時，1MAMP-=

②當直線AB斜率不存在時，則直線AB方程為：0x=

M\在x軸上，設(shè),0Mn

2n∴+=，解得：0n=，即0,0M

若1,0P，則211MAMP-=-=

綜上所述，存在定點1,0P，使得MAMP-為定值.

【點睛】本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題.解決本定點定值問題的關(guān)鍵是能夠依據(jù)圓的性質(zhì)得到動點所滿意的軌跡方程，進而依據(jù)拋物線的定義得到定值，進而驗證定值符合全部狀況，使得問題得解.

7.（2023全國2卷文科）若x1=4π，x2=34

π

是函數(shù)f(x)=sinxω(ω>0)兩個相鄰的極值點，則ω=A.2B.32

C.1

D.12

【答案】A【解析】【分析】

從極值點可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得ω.【詳解】由題意知，sinfxxω=的周期232(

)44

Tω

π

ππ

=

=-=π，得2ω=．故選A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、規(guī)律推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．實行公式法，利用方程思想解題．

8.（2023全國2卷文科）若拋物線y2

=2px（p>0）的焦點是橢圓2231xyp

p

+

=的一個焦點，則p=

A.2

B.3

C.4

D.8

【答案】D【解析】【分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于p的方程，即可解出p，或者利用檢驗排解的方法，如2p=時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排解A，同樣可排解B，C，故選D．

【詳解】由于拋物線2

2(0)ypxp=>的焦點(,0)2p是橢圓

2231xypp+=的一個焦點，所以232

p

pp-=，解得8p=，故選D．

【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透規(guī)律推理、運算力量素養(yǎng)．

9.（2023全國2卷文科）設(shè)F為雙曲線C：22

221xyab

-=（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為

直徑的圓與圓x2+y2=a2

交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為

A.

B.

C.2

D.

【答案】A【解析】【分析】

精確?????畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQx⊥軸，

又

||PQOFc==，||,2

c

PAPA∴=∴為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

A∴為圓心||2

c

OA=．

,22ccP??

∴???

，又P點在圓222xya+=上，

22244cca∴+=，即2222

2,22ccaea

=∴==．

e∴=A．

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時留意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避開代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，精確?????率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．

10.（2023全國2卷文科）已知12,FF是橢圓22

22:1(0)xyCabab

+=>>的兩個焦點，P為C上一點，O為

坐標原點．

（1）若2POFV為等邊三角形，求C的離心率；

（2)假如存在點P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

【答案】(1)1e=；（2）4b=，a的取值范圍為)+∞.【解析】【分析】

（1）先連結(jié)1PF，由2POFV為等邊三角形，得到1290FPF∠=，2PFc=，1

PF=；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；

（2）先由題意得到，滿意條件的點(,)Pxy存在，當且僅當12162yc?=，

1yyxcxc?=-+-，22221xyab

+=，依據(jù)三個式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）連結(jié)1PF，由2POFV為等邊三角形可知：在12FPF△中，1290FPF∠=，2PFc=，

1PF=，

于是122aPFPFc=+=，

故橢圓C的離心率為1

cea=

==；（2）由題意可知，滿意條件的點(,)Pxy存在，當且僅當12162yc?=，

1yyxcxc?=-+-，22

221xyab

+=，即16cy=①

222xyc+=②

22

221xyab

+=③由②③以及2

2

2

abc=+得42

2byc=，又由①知22

216yc

=，故4b=；

由②③得22

2

22axcbc

=-，所以22cb≥，從而2222232abcb=+≥=，故a≥；

當4b=，a≥P.

故4b=，a的取值范圍為)+∞.

【點睛】本題主要考查求橢圓的