凸優(yōu)化理論與應(yīng)用第二章凸函數(shù)1信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@凸函數(shù)的定義1.定義域?yàn)橥辜?.，有凸函數(shù)的定義：函數(shù)，滿足凸函數(shù)的擴(kuò)展定義：若為凸函數(shù)，則可定義其擴(kuò)展函數(shù)為凸函數(shù)的擴(kuò)展函數(shù)也是凸函數(shù)！2信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@凸函數(shù)的一階微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_集，且函數(shù)一階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對3信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@凸函數(shù)的二階微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_集，且函數(shù)二階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對，其Hessian矩陣4信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@凸函數(shù)的例冪函數(shù)負(fù)對數(shù)函數(shù)負(fù)熵函數(shù)范數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)5信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@凸函數(shù)的例6信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@下水平集(sublevelset)定理：凸函數(shù)的任一下水平集均為凸集。任一下水平集均為凸集的函數(shù)不一定為凸函數(shù)。 稱為的下水平集。定義：集合7信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@函數(shù)上半圖(epigraph)定理：函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)纳习雸D為凸集。 稱為函數(shù)的上半圖。定義：集合8信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@Jensen不等式為凸函數(shù)，則有：Jensen不等式的另外形式：9信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@保持函數(shù)凸性的算子凸函數(shù)的逐點(diǎn)最大值凸函數(shù)與仿射變換的復(fù)合凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)和10信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@保持函數(shù)凸性的算子復(fù)合運(yùn)算最小值算子凸函數(shù)的透視算子11信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@共軛函數(shù)(conjugatefunction)定義：設(shè)函數(shù)，其共軛函數(shù)，定義為共軛函數(shù)的例共軛函數(shù)具有凸性！12信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@共軛函數(shù)的性質(zhì)Fenchel’sinequality性質(zhì)：若為凸函數(shù)，且的上半圖是閉集，則有性質(zhì)：設(shè)為凸函數(shù)，且可微，對于，若 則13信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@準(zhǔn)凸函數(shù)(quasiconvexfunction)準(zhǔn)凸函數(shù)的例定義：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的定義域和任意下水平集

則稱函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)。14信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@準(zhǔn)凸函數(shù)的判定定理定理：函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對，有定理：若函數(shù)一階可微，則為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對，有 ，有定理：若函數(shù)二階可微，且滿足對 則函數(shù)準(zhǔn)凸函數(shù)。15信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@最小值函數(shù)非負(fù)權(quán)值函數(shù)的最大值函數(shù)保持準(zhǔn)凸性的算子復(fù)合函數(shù)16信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@準(zhǔn)凸函數(shù)的凸函數(shù)族表示若為準(zhǔn)凸函數(shù)，根據(jù)的任意下水平集，我們可以構(gòu)造一個凸函數(shù)族，使得性質(zhì)：若為準(zhǔn)凸函數(shù)的凸函數(shù)族表示，對每一個，若，則有17信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@對數(shù)凸函數(shù) 為凸集 為凸函數(shù)。定義：函數(shù)稱為對數(shù)凸函數(shù)，若函數(shù)滿足：定理：函數(shù)的定義域?yàn)橥辜?，且，則為對數(shù)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對有對數(shù)凸函數(shù)的例18信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@對數(shù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)：對數(shù)凸性與凹性對函數(shù)乘積和正數(shù)數(shù)乘運(yùn)算均保持封閉。定理：函數(shù)二階可微，則為對數(shù)凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)：對數(shù)凸性對函數(shù)加運(yùn)算保持封閉。但對數(shù)凹性對函數(shù)加運(yùn)算不封閉。推論：函數(shù)對每一個在上對數(shù)凸，則函數(shù)也是對數(shù)凸函數(shù)。19信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@對數(shù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的性質(zhì)定理：函數(shù)為對數(shù)凹函數(shù)，則函數(shù)是對數(shù)凹函數(shù)。20信息與通信工程學(xué)院莊伯金bjzhuang@廣義不等式下的凸性廣義單調(diào)性的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱為單調(diào)增，若函數(shù)滿足：廣義凸函數(shù)的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱為凸，若函數(shù)滿足對 均有定理(對偶等價(jià))：函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對所有，為凸函數(shù)。21信息