青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/61§4-0引言求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計算法；(3)實(shí)驗(yàn)法2三種方法的基本求解過程

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/61§4-0引

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/62實(shí)驗(yàn)法就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3三種方法的特點(diǎn)(1)分析法

能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/62實(shí)驗(yàn)法就

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/63(2)數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學(xué)模擬（MD）(3)實(shí)驗(yàn)法:是傳熱學(xué)的基本研究方法，a適應(yīng)性不好；b費(fèi)用昂貴青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/63(2)數(shù)值

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/64§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想

及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立1物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場是否青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/64§4-1導(dǎo)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/65二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題2例題條件青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/65二維矩形域內(nèi)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/66xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/66xynm(m

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/674建立離散方程的常用方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；多項(xiàng)式擬合法；控制容積積分法；控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/674建立離散

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/68(1)泰勒級數(shù)展開法以節(jié)點(diǎn)（m，n）處的二階偏導(dǎo)數(shù)為例：①②青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/68(1)泰勒

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/69若取上面式右邊的前三項(xiàng)，并將式①和式②相加移項(xiàng)整理即得二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數(shù)余項(xiàng)中的ΔX的最低階數(shù)為2青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/69若取上面式右

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/610

對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：其節(jié)點(diǎn)方程為：時：青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/610

對于二

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/611(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量即：單位：青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/611(2)控

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/612

即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/612即：從所

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/613穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)

x

xyy

(m,n+1)青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/613穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/614以二維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題為例此時：可見：當(dāng)溫度場還沒有求出來之前，我們并不知道所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線性分布，如圖所示青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/614以二維、穩(wěn)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/615(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節(jié)點(diǎn)越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實(shí)的溫度布。此時：內(nèi)熱源：青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/615(m,n)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/616時：青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/616時：

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/617無內(nèi)熱源時：變?yōu)椋褐匾f明：所求節(jié)點(diǎn)的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/617無內(nèi)熱源時

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/618§4-2邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解（1）對于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。（2）而對于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，邊界節(jié)點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用Φ表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/618§4-2

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/6191.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/6191.邊界節(jié)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/620(2)外部角點(diǎn)xyqw青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/620(2)外

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/621(3)內(nèi)部角點(diǎn)xyqw青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/621(3)內(nèi)

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/622qw的情況：(1)第二類邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？第三類邊界條件：將，帶入上面各式即可

？(3)輻射邊界條件：或其他青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/622qw的情況

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/6232.節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/6232.節(jié)點(diǎn)方

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/624直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/624直接解法：

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/625在計算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/625在計算后面

青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/626判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時，第三個較好青島科技大學(xué)熱能與動力工程2023/10/626判斷迭