第七章剛體的平面運動

本章重點：1、平面圖形上點的速度計算；2、平面圖形上點的加速度計算第一節(jié)

平面運動的概念和運動的分解第二節(jié)平面圖形上各點的速度第三節(jié)平面圖形上各點加速度分析的基點法第四節(jié)運動學(xué)綜合問題舉例第七章剛體的平面運動本章重點：第一節(jié)平面運動1第一節(jié)

平面運動的概念和運動的分解1、引例

一、平面運動的定義與簡化2、平面運動的定義

剛體運動時，若其上各點到某一固定平面的距離始終保持不變，則稱剛體的這種運動為平面運動。平面運動剛體上各點的軌跡都是平面曲線（或直線）。動畫演示動畫演示動畫演示第一節(jié)平面運動的概念和運動的分解1、引例一、平面運23、平面運動的簡化

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。二.平面圖形的運動方程剛體平面運動的運動方程。3、平面運動的簡化剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身3三、平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動

任取一點A為基點，在基點上平面運動隨基點的平動繞基點的轉(zhuǎn)動=+建立平動坐標(biāo)系

xyxy牽連運動

相對運動與基點的選擇有關(guān)

與基點的選擇無關(guān)

繞基點轉(zhuǎn)動的角速度、角加速度稱為平面圖形的角速度、角加速度。

絕對運動

ψ三、平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動任取一點A為基點，在基點上平面4第二節(jié)平面圖形上各點的速度一、速度基點法和速度投影定理1．速度基點法已知圖形上某點O

的速度為vo

,圖形的角速度為

,求任意點M的速度。vMO

vo

x

y

xyoO

vo

vMMva=ve

+vrve=vo

vr=vMO

=OM

vM=vo

+vMO

平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨同圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和.取M為動點，O’x’y’為動系，第二節(jié)平面圖形上各點的速度一、速度基點法和速度投影定理5定理

同一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。2.速度投影定理投影到O’M連線上，vMO

vo

O

vo

vMM將vM=vo

+vMO

速度投影定理的作用：（1）反映了剛體不變形的特性（4）已知兩點速度的方向和一點速度的大小，求另一點的速度。（3）判斷未知速度的指向。（2）判斷運動狀態(tài)是否成立。定理同一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投63、建立矢量式（基點法），求解。求平面圖形上點的速度時解題步驟：1、運動分析；2、作速度圖；動畫演示平動定軸轉(zhuǎn)動平面運動

vA

vB

3、建立矢量式（基點法），求解。求平面圖形上點的速度時解題步7例7-1在圖示結(jié)構(gòu)中,已知曲柄O1A的角速度

,求滑塊C的速度。圖中O1A=r，O2B=BC=l。

O1O2ABC

vAvB

vC由速度投影定理得:vAcos

=vBcos(

+

)vBcos(90

-2

)=vCcos

聯(lián)立上述兩式得:vA=r

2、作速度圖解:

1、滑塊C平動，桿O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB和BC作平面運動。例7-1在圖示結(jié)構(gòu)中,已知曲柄O1A的角速度,求滑塊C8例7-2

四連桿機(jī)構(gòu)中，OA=r，AB=b，O1B=d，已知曲柄OA以勻角速度繞軸O轉(zhuǎn)動。求在圖示位置時，桿AB的角速度以及擺桿O1B的角速度。解

1、桿OA和O1B作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB作平面運動。OO１ＡＢω2、取A為基點，作B點速度合成圖vAvBvAvBAω１ωAB3、建立矢量式vB=vA+vBA30°vA=r

例7-2四連桿機(jī)構(gòu)中，OA=r，AB=b，O1B=d，9度ωAB，滾輪B的角速度ωB。解

桿OA和作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB和輪B作平面運動。取A為基點，作B點速度合成圖(一)求桿AB的角速度ωABvA=r

OvB=vA+vBA例7-3、曲柄OA長r，以作等角速度ω0轉(zhuǎn)動。連桿AB長，帶動滾輪B沿直線軌道作無滑動的滾動，滾輪半徑R=r/2。求當(dāng)時，桿AB的角速vAvBvBAvAyωAB度ωAB，滾輪B的角速度ωB。解桿OA和作定軸轉(zhuǎn)動，桿A10(二)求輪的角速度ωB度ωAB，滾輪B的角速度ωB。vAx滾輪上E點的速度為零，取E為基點例7-3曲柄OA長r，以作等角速度ω0轉(zhuǎn)動。連桿AB長，帶動滾輪B沿直線軌道作無滑動的滾動，滾輪半徑R=r/2。求當(dāng)時，桿AB的角速ωB(二)求輪的角速度ωB度ωAB，滾輪B的角速度ωB。vAx111、瞬心：平面圖形上（或延伸部分）瞬時速度為零的點。2、瞬心的確定二、速度瞬心法取點A為基點，根據(jù)速度基點法，上任一點M的速度均可按下式計算令

3.平面圖形上各點速度的分布取瞬心I為基點，

INMvMvN1、瞬心：平面圖形上（或延伸部分）瞬時速度為零的點。2、瞬124、速度瞬心位置的確定(1)純滾動的輪子

輪和不動物體的接觸點I是該瞬時圖形的速度瞬心

4、速度瞬心位置的確定(1)純滾動的輪子輪和不動物體的13COAB(2)已知某瞬時平面圖形上任意兩點的速度方向，且兩者不相平行速度瞬心在兩點速度垂線的交點上。vAvBCOAB(2)已知某瞬時平面圖形上任意兩點的速度方向，且兩14ABvAvBCvBvAABC(3)平面圖形上兩點的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點的連線

瞬心在兩點的連線與兩速度矢端的連線的交點處ABvAvBCvBvAABC(3)平面圖形上兩點的速度相互15OBA(4)某瞬時平面圖形上兩點的速度相同速度瞬心在無限遠(yuǎn)處。圖形的這種運動狀態(tài)稱為瞬時平動。

瞬時平動時，圖形角速度為零

。vAvBOBA(4)某瞬時平面圖形上兩點的速度相同速度瞬心在無限16

O1O2ABC

C1C2作出以上各例中平面運動剛體速度瞬心的位置O1O2ABCC1C2作出以上各例中平面運動剛體速度17OO１ＡＢω30°CC1C2OO１ＡＢω30°CC1C218xyABvAvBC例7-4橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸正向運動，AB=l。試求B端的速度以及桿AB的角速度。解：滑塊A、B平動，桿AB作平面運動。作速度圖，作出桿AB的速度瞬心C。xyABvAvBC例7-4橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸19例7-5

圖示行星輪系中，大齒輪Ⅰ固定不動，半徑為R，行星齒輪Ⅱ在輪Ⅰ上作無滑動的滾動，半徑為r,系桿OA的角速度為ωo。試求輪Ⅱ的角速度以及其上B、C二點的速度。ＡOωωoBC解

系桿OA作定軸轉(zhuǎn)動，行星齒輪Ⅱ作平面運動。輪Ⅱ與輪Ⅰ的接觸點I是輪Ⅱ的速度瞬心。輪Ⅱ上B、C點的速度大小分別為I輪Ⅱ的角速度為vA

vCvB例7-5圖示行星輪系中，大齒輪Ⅰ固定不動，半徑為R，行星20OAωoBCDEvAvCvDωDE例7-6曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在其連桿的中點和桿CD鉸接，桿CD又和可繞E點轉(zhuǎn)動的DE桿鉸接。已知曲柄OA以角速度ωo轉(zhuǎn)動，OA=AC=CB=r，DE=R，∠CDE=90°，∠BED=30°試求圖示瞬時桿ED的角速度。解：

桿OA、DE作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊B作平動，桿AB、DE作平面運動。作速度圖，B為桿AB的速度瞬心。由速度投影定理OAωoBCDEvAvCvDωDE例7-6曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在其21O

Mα

aO

SaMaMO

aO

aM

=ae

+arar=aMO′

平面圖形上任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度三者的矢量和。ae=aO′第三節(jié)平面圖形上各點加速度分析的基點法已知圖形上某點O

的加速度為ao

,圖形的角速度為

,角加速度為α，求任意點M的加速度。取M為動點，O’x’y’為動系，x

y

OMαaOSaMaMOaOaM=ae+ar22例7-7半徑為R的車輪沿直線軌道作無滑動的滾動,如圖所示。已知輪心A在圖示瞬時的速度為vA及加速度為aA

。求該瞬時車輪邊緣上瞬心C的加速度aC

.AvAaAC解:輪A作平面運動，C為其瞬心.ωAαAaAaC例7-7半徑為R的車輪沿直線軌道作無滑動的滾動,如圖所示23。O2O１ＡＢθθ例7-8在圖示的平面機(jī)構(gòu)中，O1A=AB=2l，O2B=l，搖桿O1A以勻角速度繞軸O1轉(zhuǎn)動。圖示瞬時，A、B兩點的連線水平，兩搖桿O1A、O2B方向平行，且。試求矩形板D的角加速度和搖桿O2B的角加速度。解：

桿O1A、O2B作定軸轉(zhuǎn)動，矩形板AB作平面運動。作速度圖，板AB為瞬時平動。vAvB

AB

=0vB=vA=2lω1。O2O１ＡＢθθ例7-8在圖示的平面機(jī)構(gòu)中，O1A=A24。O2O１ＡＢθθ取A為基點，計算B點的加速度xy將矢量式向x方向投影得:將矢量式向y方向投影得:α2αAB。O2O１ＡＢθθ取A為基點，計算B點的加速度xy將矢量式向25例7-9圖示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知連桿AB長1m，曲柄OA長0.2m，以勻角速度繞軸O轉(zhuǎn)動。求在圖示位置時滑塊B的加速度和連桿AB的角加速度。OＡＢ45°45°解

：

桿OA定軸轉(zhuǎn)動，滑塊B作平動，

作速度圖，作出桿AB的速度瞬心。vAvBI

AB桿AB作平面運動。例7-9圖示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知連桿AB長1m，曲柄OA26OＡＢ45°45°以點A為基點，點B的加速度的矢量合成式為y將矢量式向y方向投影得:將矢量式向x方向投影得:xαABOＡＢ45°45°以點A為基點，點B的加速度的矢量合成式為y27例題7-10圖示瞬時滑塊A以勻速度vA=12cm/s

沿水平直槽向左運動，并通過連桿AB帶動輪B沿圓弧軌道作無滑動的滾動。已知輪B的半徑為r=2cm，圓弧軌道的半徑為R=5cm，滑塊A離圓弧軌道中心O的距離為l=4cm

。求該瞬時連桿AB的以及輪B的角加速度。rROBlAvA解：滑塊A作平動，桿AB、輪B作平面運動。

作速度圖，輪B的速度瞬心為C

AB

=0vB=vA桿AB為瞬時平動。B點作圓周運動，角速度C

BO

BvB例題7-10圖示瞬時滑塊A以勻速度vA28rROBlAvAC

取A為基點，計算B點的加速度aA=0=0=(AB)αAB將矢量式向y方向投影得:αAB=12rad/s2αABxy將矢量式向x方向投影得:αBrROBlAvAC取A為基點，計算B點的加速度aA=029第四節(jié)運動學(xué)綜合問題舉例一、機(jī)構(gòu)運動分析1.機(jī)構(gòu):由以適當(dāng)?shù)姆绞竭B接而成構(gòu)件所組成的運動鏈，各構(gòu)件間的運動由連接點來傳遞。2.分析機(jī)構(gòu)運動的關(guān)鍵：（1）各構(gòu)件所作的運動分析（2）連接點運動分析第四節(jié)運動學(xué)綜合問題舉例一、機(jī)構(gòu)運動分析1.機(jī)構(gòu):由30用平面運動構(gòu)件和平動、繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的連接點求運動量。二、分析運動的方法1.直接法取坐標(biāo)建立運動方程，再求運動量。運動方程：點的運動方程（包括剛體平動），定軸轉(zhuǎn)動方程、平面運動方程。2.合成法（1）點的合成運動兩運動部件存在相對運動，取動點、動系，用合成運動的方法求運動量。動系可能的運動：平動；繞定軸轉(zhuǎn)動；平面運動。（2）剛體平面運動在基點上建立平動坐標(biāo)系，將平面運動分解為隨基點的平動加繞基點的轉(zhuǎn)動。平面運動問題的特點是，兩運動構(gòu)件的連接點具有共同的速度，應(yīng)充分利用平面運動構(gòu)件和平動、繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的連接點求運動量。二、分31長為a并以角速度

轉(zhuǎn)動，求機(jī)構(gòu)處于圖示位置時桿OD的角速度

OD。OABCO1O2

60

D例題11-9圖示為一平面連桿機(jī)構(gòu),等邊三角形構(gòu)件ABC的邊長為a，

三個頂點A、B和C分別與套筒A,桿O1B和O2C鉸接,套筒又可沿著桿OD滑動。設(shè)桿O1B解

：

桿OD、O1B、O2C定軸轉(zhuǎn)動，板ABC作

vBvCIvAvrve作平面運動。作速度圖，作出板的瞬心I。取A為動點，桿OD為動系

1

OD長為a并以角速度轉(zhuǎn)動，求機(jī)構(gòu)處于圖示位置時桿OD的角速度32ABODD例11-10圖示機(jī)構(gòu)中，AB=2l，滑塊A以勻速u向下運動。圖示瞬時，桿OD水平，AD=DB=OD=l，。試求該瞬時桿AB和桿OD的角速度、角加速度。vBuIvevr

AB解

:桿OD定軸轉(zhuǎn)動，滑塊A、B作平動，桿AB作平面運動，滑塊D相對于桿AB有相對運動。作速度圖，作出AB的瞬心I。取D為動點，桿AB為動系A(chǔ)BODD例11-10圖示機(jī)構(gòu)中，AB=2l，滑塊A以33ABDODαODαABar取點A為基點

以點A為基點，桿AB上點的加速度

以套筒D為動點，動系固結(jié)在桿AB上，

將矢量式向ξ軸投影：

取點A為基點