2022-2023學(xué)年浙江省紹興市縣豫才中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C詳解：由題意，在時(shí)，恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為3，∴，從而，∴所求概率為．

2.設(shè)m、n是兩條不同的直線，、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A．若m∥n，m∥，則n∥

B．若⊥β，m∥，則m⊥βC．若⊥β，m⊥β，則m∥

D．若m⊥n，m⊥，n⊥β，則⊥β參考答案：D3.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(7)等于()A．－2

B．2

C．－98

D．98

參考答案：A4.已知集合，集合，則（

）A．{1,π}

B．{0,1}

C．{0,π}

D．{1}參考答案：B5.我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”即是高，“冪”即是面積.意思是說如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖（1）所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足：“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（圖（1）中的網(wǎng)格紙中的小正方形的邊長為）（

）A．20

B．16

C.8

D．4參考答案：B由題意可得，不規(guī)則幾何體與三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體的體積相同，根據(jù)三視圖，可得該幾何體是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且該四棱柱的底面是長方形，長為BC=6，寬為AB=2，四棱錐的高為PH=4，其中，AH=2，如圖所示.故它的體積為.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．

6.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，則(

)

(A)0

(B)2011

(C)2012

(D)2013參考答案：C略7.設(shè)全集U＝R，，，則A．

B.

C.

D.參考答案：D略8.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足不等式的的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．

10.設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若點(diǎn)P（x1，f（x1））為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為（）A．3+ B．2+ C．2+ D．3+參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判斷出a＜0，b＞0，得到kmax=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若點(diǎn)P（x1，f（x1））為坐標(biāo)原點(diǎn)，則f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴kmax=﹣=，而表示⊙C上的點(diǎn)Q與原點(diǎn)連線的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴kmax=3+，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)x＝（1＋ai）（2＋i）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a＝參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4解析：，因?yàn)閷?shí)部與虛部相等，所以，解得，故答案為【思路點(diǎn)撥】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，把復(fù)數(shù)化為最簡形式，由實(shí)部和虛部相等，求出實(shí)數(shù)a．12.,,則的概率

.參考答案：13.（4分）（2015?上海模擬）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f﹣1（x），若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，則x=．參考答案：【考點(diǎn)】：反函數(shù)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由反函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則其反函數(shù)的性質(zhì)一定過點(diǎn)（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由題意函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則其反函數(shù)的性質(zhì)一定過點(diǎn)（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查反函數(shù)，求解本題關(guān)鍵是理解反函數(shù)的性質(zhì)，由此得出2x+1=2．14.給出以下四個(gè)命題：①已知命題

；命題則命題是真命題；②“，”的否定是“，”；③函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；④若直線和直線垂直，則角.其中正確命題的序號(hào)是_

___．參考答案：①③略15.若復(fù)數(shù)z滿足z＝i(2-z)（i是虛數(shù)單位），則z＝

.參考答案：【解析】由.答案：16.對(duì)于函數(shù)y=f（x），若其定義域內(nèi)存在不同實(shí)數(shù)x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，若函數(shù)f（x）=具有性質(zhì)P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由題意將條件轉(zhuǎn)化為：方程xex=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)g（x）=xex并求出g′（x），由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出g（x）在定義域上的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，結(jié)合g（x）的單調(diào)性、最值、函數(shù)值的范圍畫出大致的圖象，由圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意知：若f（x）具有性質(zhì)P，則在定義域內(nèi)xf（x）=1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∵，∴，即方程xex=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)g（x）=xex，則g′（x）=ex+xex=（1+x）ex，由g′（x）=0得，x=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞減，在（﹣1，+∞）上遞增，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，∴當(dāng)方程xex=a在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，即函數(shù)g（x）與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：．17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

．參考答案：由可知，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)且時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，過A，B分別作拋物線的切線且相交于點(diǎn)C，則△ABC的面積的最小值為

．參考答案：4點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，設(shè)直線，，則聯(lián)立進(jìn)而得：易得以為切點(diǎn)的方程為：，處的切線方程為：解得：當(dāng)時(shí).19.廣告公司為某游樂場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成，其中C，O，A在一條直線上，∠ACB=，記該設(shè)施平面圖的面積為S（x）m2，∠AOB=xrad，其中＜x＜π．（1）寫出S（x）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)∠AOB，使得S（x）有最大值？參考答案：【考點(diǎn)】弧度制的應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面積，然后，求和即可得到相應(yīng)的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)輔助角公式和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等知識(shí)求解其最大值即可．【解答】解：（1）∵扇形AOB的半徑為2m，∠AOB=xrad，∴S扇形=x?22=2x，過點(diǎn)B作邊AC的垂線，垂足為D，如圖所示：則∠BOD=π﹣x，∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx，∵∠ACB=，∴CD=BD=2sinx，∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x，∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，（2）根據(jù)（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2，令S′（x）=0，∴2sin（2x﹣）=﹣2，∴sin（2x﹣）=﹣，∴2x﹣=，∴x=，根據(jù)實(shí)際意義知，當(dāng)x=時(shí)，該函數(shù)取得最大值，故設(shè)計(jì)∠AOB=時(shí)，此時(shí)S（x）有最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形的面積公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．20.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是平行四邊形，A1A⊥平面ABCD，，，E為A1B1中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積.參考答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）根據(jù)余弦定理求，底面滿足勾股定理，所以，又可證明，所以平面，即證明面面垂直；（2）取的中點(diǎn)，分別連接，這樣多面體可分割為三棱柱和三棱錐，所以分別求體積.試題解析：（1）在中，，由余弦定理得.∴.∴.∵平面平面，∴.，∴平面.平面.∴平面平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴多面體為三棱柱.∵平面，∴為三棱柱的高.，三棱柱體積為.在四棱錐中，.

∴底面.，四棱錐的體積為，∴多面體的體積為.21.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，DA=DP，BA=BP．（1）求證：；（2）若，求二面角D—PC—B的正弦值．

參考答案：（1）設(shè)AB中點(diǎn)為O,連接因?yàn)镈A=DP，BA=BP，所以所以所以.┈┈┈┈┈┈5分(2)