1第7章非線性回歸模型的線性化

§7.1變量間的非線性關系Y=β0+β1X1+β2X2+…+βkXk+u上述線性回歸模型具有兩個特點：1、被解釋變量Y是解釋變量X1,X2,…,Xk的線性函數(shù)；2、被解釋變量也是相應的參數(shù)β0,β1,β2,…,βk的線性函數(shù)。這種模型我們稱之為標準的線性回歸模型。2一般的非線性回歸模型形式如下：Y=f(X1,X2,…,Xk;β0,β1,β2,…,βp)+u其中f是關于解釋變量X1,X2,…,Xk和未知參數(shù)β0,β1,β2,…,βp的一個非線性函數(shù)。3對于非線性回歸模型，按其形式和估計方法的不同，又可分為三種類型：一、被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,Xk之間不存在線性關系，但與未知參數(shù)β0,β1,β2,…,βp之間存在著線性關系。稱之為非標準線性回歸模型。其一般形式如下：Y=β0+β1f1(X1,X2,…,Xk)+β2f2(X1,X2,…,Xk)+…+βpfp(X1,X2,…,Xk)+u其中f是非線性函數(shù)，β是未知參數(shù)。4例如：根據(jù)平均成本與產(chǎn)量為U型曲線的理論，總成本C可以用產(chǎn)量X的三次多項式來近似表示，總成本函數(shù)模型：C=β0+β1X+β2X2+β3X3+u5二、被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,Xk和未知參數(shù)β0,β1,β2,…,βp之間都不存在線性關系，但可通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型。例如：C-D生產(chǎn)函數(shù)模型Y=AKαLβeu其中Y產(chǎn)出，K資金投入，L勞動投入，A效率系數(shù)，αα和β產(chǎn)出彈性，A、α和β待估計參數(shù)。在模型兩邊取對數(shù)lnY=lnA+αlnK+βlnL+u即可轉(zhuǎn)化為標準線性回歸模型。6三、被解釋變量Y與解釋變量X1,X2,…,Xk和未知參數(shù)β0,β1,β2,…,βp之間都不存在線性關系，而且也不能通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型。稱之為不可線性化的非線性回歸模型。例如：7§7.2線性化方法1、非標準性回歸模型的線性化方法變量替換法Y=β0+β1f1(X1,X2,…,Xk)+β2f2(X1,X2,…,Xk)+…+βpfp(X1,X2,…,Xk)+u即令Z1=f1(X1,X2,…,Xk),Z2=f2(X1,X2,…,Xk),…,Zp=fp(X1,X2,…,Xk)可得Y=β0+β1Z1+β2Z2+…+βpZp+u其中Z1,Z2,…,Zp是新的解釋變量。8(1)多項式函數(shù)模型Yi=β0+β1Xi+β2Xi2+…+βkXik+ui令Z1i=Xi,Z2i=Xi2,…,Zki=Xik則可將原模型化為標準