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§5數(shù)學探究活動(一):正方體截面探究第三章合作探究釋疑解惑探究一正方體的截面問題【例1】

用一個平面去截正方體,(1)當截面為三角形時,可以截出幾類不同的三角形?(2)當截面為四邊形時,可以截出幾類不同的四邊形?解:(1)可能出現(xiàn)銳角三角形、等邊三角形、等腰三角形,不可能出現(xiàn)直角三角形和鈍角三角形.(2)可能出現(xiàn)正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形,不可能出現(xiàn)直角梯形.用一個平面去截正方體(1)可能出現(xiàn):銳角三角形、等邊三角形、等腰三角形、正方形、矩形、菱形、非矩形的平行四邊形、梯形、等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形.(2)不可能出現(xiàn):鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形.探究二歐拉公式【例2】

已知凸多面體的各面都是四邊形,求證:該凸多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F有關系式F=V-2.證明:因為這個凸多面體的每個面都是四邊形,所以每個面都是四條邊.又因為多面體相鄰兩面的兩條邊合為一條棱,所以棱數(shù)是E==2F代入歐拉公式,得F+V-2F=2,即F=V-2.1.五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱數(shù):正多面體頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220302.歐拉公式:簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E有關系式V+F-E=2.計算棱數(shù)E的常見方法:(1)E=V+F-2;(2)E=各面多邊形邊數(shù)和的一半;(3)E=頂點數(shù)與共頂點棱數(shù)積的一半.表3-5-1探究三球的切接問題【例3】

如圖3-5-1,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球

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