填空題〔每題2分，共20分〕A1、記三事件為A，B，C.則用A，B，C及其運(yùn)算關(guān)系可將事件，“A，B，C中只有一個(gè)發(fā)生〞表示為.A3、P(A)=0.3，P〔B〕＝0.5，當(dāng)A，B相互獨(dú)立時(shí)，。A4、一袋中有9個(gè)紅球1個(gè)白球，現(xiàn)有10名同學(xué)依次從袋中摸出一球〔不放回〕，則第6位同學(xué)摸出白球的概率為1/10。A5、假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，則對(duì)以及任意的正數(shù)，必有概率A6、設(shè)服從正態(tài)分布，則N(3-2μ,4σ2).A7、設(shè)A8、袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3只，以表示取出3只球中的最大。則的數(shù)學(xué)期望4.5。A9、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為*Y12310.120.100.2820.1800.12300.150.05則條件概率2/5.A10、設(shè)來(lái)自正態(tài)總體,,當(dāng)常數(shù)=1/4時(shí)，服從分布。A二、計(jì)算題〔每題10分，共70分〕A1、三臺(tái)機(jī)器因故障要人看管的概率分別為0.1，0.2，0.15，求：〔1〕沒有一臺(tái)機(jī)器要看管的概率〔2〕至少有一臺(tái)機(jī)器不要看管的概率〔3〕至多一臺(tái)機(jī)器要看管的概率解：以Aj表示“第j臺(tái)機(jī)器需要人看管〞，j=1，2，3，則:P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.15,由各臺(tái)機(jī)器間的相互獨(dú)立性可得A2、甲袋中有n只白球、m只紅球；乙袋中有N只白球、M只紅球。今從甲袋任取一球放入乙袋后，再?gòu)囊掖稳∫磺?。問此球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？解：以W甲表示“第一次從甲袋取出的為白球〞，R甲表示“第一次從甲袋取出的為紅球〞，W乙表示“第二次從乙袋取出的為白球〞，則所求概率為A3、設(shè)隨機(jī)變量*的概率密度為,試求〔1〕常數(shù)A;(2)分布函數(shù);(3)概率。解：〔1〕由歸一性可得：，從而A4、〔1〕*的分布律為-10123計(jì)算?！?分〕解：〔2〕、設(shè)，求的概率密度.〔5分〕解：Y的密度函數(shù)為：A5、設(shè)的概率密度為.(1)試求分布函數(shù)；(2)求概率其中區(qū)域由軸,軸以及直線所圍成.解:A6、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,求常數(shù)及邊緣概率密度.并討論隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性。解：由歸一性知：顯然，故*與Y不相互獨(dú)立。A7、設(shè)總體的概率密度為,其中為未知參數(shù).假設(shè)是來(lái)自母體的簡(jiǎn)單子樣，試求的矩估計(jì)與極大似然估計(jì).解：〔1〕令解得的矩估計(jì)為〔2〕似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)令解得的極大似然估計(jì)為A三、證明題〔每題5分，共10分〕A1、為來(lái)自總體*的樣本，證明當(dāng)時(shí)，為總體均值的無(wú)偏估計(jì)。證明：設(shè)總體均值=μ，由于為來(lái)自總體*的樣本，因此而為總體均值的無(wú)偏估計(jì)，故應(yīng)該有從而A2、設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布。證明：由題知，即令，且由的相互獨(dú)立性可得：即服從參數(shù)為的泊松分布B一、填空〔每題2分，共10分〕B1.假設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，，則__________。B2.設(shè)隨機(jī)變量，且，則__________。B3.設(shè)隨機(jī)變量,則__________。B4.設(shè)隨機(jī)變量，則__________。B5.假設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為則__________。B二、單項(xiàng)選擇(每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)。每題2分，共20分)B1.設(shè)與分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使是*一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在以下給定的各組數(shù)值中應(yīng)取〔〕。(A)(B)(C)(D)B2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則〔〕。(A)(B)(C)(D)B3.以下函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B4.以下函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B5.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，，則的概率密度為〔〕。(A)(B)(C)(D)B6.設(shè)服從二項(xiàng)分布，則〔〕。(A)(B)(C)(D)B7.設(shè)，則〔〕。(A)(B)(C)(D)B8．設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,則〔〕。(A)2 (B)1(C)1/2 (D)4B9．對(duì)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，如果，則可斷定不服從〔〕。(A)二項(xiàng)分布 (B)指數(shù)分布(C)正態(tài)分布 (D)泊松分布B10．設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則()。(A)9(B)6(C)4(D)-3B三、計(jì)算與應(yīng)用題〔每題8分，共64分〕B1.盒有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新球，3個(gè)是舊球。采取不放回抽取，每次取一個(gè)，直到取到新球?yàn)橹?。求抽取次?shù)的概率分布。B2.車間中有6名工人在各自獨(dú)立的工作，每個(gè)人在1小時(shí)有12分鐘需用小吊車。求〔1〕在同一時(shí)刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？〔2〕假設(shè)車間中僅有2臺(tái)小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？B3.*種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，其概率密度為求〔1〕常數(shù)；〔2〕假設(shè)將3個(gè)這種元件串聯(lián)在一條線路上，試計(jì)算該線路使用150小時(shí)后仍能正常工作的概率。B4.*種電池的壽命〔單位：小時(shí)〕是一個(gè)隨機(jī)變量，且。求〔1〕這樣的電池壽命在250小時(shí)以上的概率；〔2〕，使電池壽命在的概率不小于0.9。B5.設(shè)隨機(jī)變量。求概率密度。B6.假設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，即，且知。求。B7.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求和。B8.一汽車沿一街道行使，需要通過(guò)三個(gè)均沒有紅綠燈信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，求紅或綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過(guò)的路口數(shù)。求〔1〕的概率分布；〔2〕。B四、證明題〔共6分〕設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。證明：在區(qū)間上，服從均勻分布。試卷二參考答案一、填空1.6由概率分布的性質(zhì)有即，得。2.，則3.0.54.5.0.25由題設(shè)，可設(shè)即010.50.5則二、單項(xiàng)選擇1.()由分布函數(shù)的性質(zhì)，知?jiǎng)t，經(jīng)歷證只有滿足，選2.()由概率密度的性質(zhì)，有3.()由概率密度的性質(zhì)，有4.()由密度函數(shù)的性質(zhì)，有5.()是單減函數(shù)，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得由公式，的密度為6.()由服從二項(xiàng)分布，則又由方差的性質(zhì)知,7.()于是8.(A)由正態(tài)分布密度的定義,有9.(D)∴如果時(shí),只能選擇泊松分布.10.(D)∵*為服從正態(tài)分布N(-1,2),E*=-1∴E(2*-1)=-3三、計(jì)算與應(yīng)用題1.解：設(shè)為抽取的次數(shù)只有個(gè)舊球,所以的可能取值為：由古典概型，有則12342.解：設(shè)表示同一時(shí)刻需用小吊車的人數(shù)，則是一隨機(jī)變量，由題意有，，于是〔1〕的最可能值為，即概率到達(dá)最大的〔2〕3.解：〔1〕由可得〔2〕串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個(gè)元件都能正常工作，而這里三個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的，因此，假設(shè)用表示“線路正常工作〞，則而故4.解：〔1〕〔查正態(tài)分布表〕〔2〕由題意即查表得。5.解:對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知故由公式知：6.解:，則而由題設(shè)知即可得故查泊松分布表得，7.解:由數(shù)學(xué)期望的定義知,而故8.解:〔1〕的可能取值為且由題意,可得即0123〔2〕由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有四、證明題證明：由則又由得連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù)且當(dāng)時(shí)，則故即試卷三C一、填空〔請(qǐng)將正確答案直接填在橫線上。每題2分，共10分〕C1.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，則__________，__________.C2.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其概率分布分別為，則__________.C3.假設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，，則服從__________分布.C4.與相互獨(dú)立同分布，且則__________.C5.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有__________.C二、單項(xiàng)選擇(在每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)。每題2分，共20分)C1.假設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則系數(shù)〔〕.(A)(B)(C)(D)C2.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕.(A)(B)(C)(D)C3.設(shè)隨機(jī)向量(*,Y)的聯(lián)合分布密度為,則〔〕.(A)(*,Y)服從指數(shù)分布(B)*與Y不獨(dú)立(C)*與Y相互獨(dú)立 (D)cov(*,Y)≠0C4.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，則以下隨機(jī)變量中服從均勻分布的有〔〕.(A)(B)(C)(D)C5.設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布,且,則以下各式中成立的是〔〕.(A)(B)(C)(D)C6．設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在,則以下各式中成立的是〔〕.(A)(B)(C)(D)C7.假設(shè)隨機(jī)變量是的線性函數(shù)，且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)〔〕.(A)(B)(C)(D)C8.設(shè)是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是〔〕.(A)(B)(C)(D)C9.設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，，則對(duì)于，有〔〕.(A)(B)(C)(D)C10.設(shè),為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且*i(i=1,2,…)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)為,則〔〕.C三、計(jì)算與應(yīng)用題〔每題8分，共64分〕C1.將2個(gè)球隨機(jī)地放入3個(gè)盒子，設(shè)表示第一個(gè)盒子放入的球數(shù)，表示有球的盒子個(gè)數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.C2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為〔1〕確定的值；〔2〕求.C3.設(shè)的聯(lián)合密度為〔1〕求邊緣密度和；〔2〕判斷與是否相互獨(dú)立.C4.設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.C5.設(shè)，，且與相互獨(dú)立.求〔1〕的聯(lián)合概率密度；〔2〕；〔3〕.C6.設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.C7.對(duì)敵人陣地進(jìn)展100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.C8.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能承受.問應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被承受的概率達(dá)0.9.C四、證明題〔共6分〕C設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.試卷三參考解答一、填空1.由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得2.3.相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，，∴4.5.二、單項(xiàng)選擇1.(B)由即∴選擇(B).2.(B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得∴選擇(B).3.(C)∴選擇(C).4.(C)∵隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布,則∴選擇(C).5.(A)∴選擇(A).6.(A)∵由期望的性質(zhì)知∴選擇(A).7.(D)∴選擇(D).8.(B)與不相關(guān)的充要條件是即則∴選擇(B).9.(C)∴選擇(C).10.(A)*i(i=1,2,…)服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則故∴選擇(A).三、計(jì)算與應(yīng)用題1