2022-2023學年寧夏六盤山高一下學期期末測試數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)(是虛數(shù)單位)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的概念確定虛部即可.【詳解】由復數(shù)虛部定義及知：其虛部為.故選：C2．如圖，向量，，，則向量（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.【詳解】依題意，得，故選：C．3．設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】舉出的反例可判斷A；舉出異面的反例可判斷B；根據(jù)兩條平行線其中一條垂直平面，那么另外一條也垂直平面可判斷C；舉出平行的反例可判斷D.【詳解】對于A，如圖，此時，A錯誤；對于B，如圖，此時異面，B錯誤；對于C，由性質(zhì)定理：“如果在兩條平行線中，有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于這個平面.”可知，C正確；對于D，此時，D錯誤.故選：C.4．從一批羽毛球中任取一個,如果其質(zhì)量小于的概率是0.3,質(zhì)量不小于的概率是0.32,那么質(zhì)量在范圍內(nèi)的概率是A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68【答案】B【分析】根據(jù)所給質(zhì)量小于的概率是0.3，質(zhì)量不小于的概率是0.32，寫出質(zhì)量在范圍內(nèi)的概率，用1去減已知的概率，得到結(jié)果．【詳解】記“取到質(zhì)量小于的羽毛球”為事件E，“取到質(zhì)量不小于的羽毛球”為事件F，“取到質(zhì)量在范圍內(nèi)的羽毛球”為事件G.易知事件E，F(xiàn)，G互斥，且為必然事件，所以，即，故選：B.【點睛】本題是一個頻率分布問題，主要應用在一個分布列中，所有的概率之和是1，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個統(tǒng)計問題，常以選擇和填空形式出現(xiàn)．5．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學家、物理學家和天文學家.他推導出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球（如圖所示），該球與圓柱的兩個底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)球的體積公式求出半徑，根據(jù)圓柱的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設球的半徑為，則，所以，所以圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故選：C6．“韋神”數(shù)學興趣小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學參加數(shù)學公式推導比賽，下列各對事件中互斥而不對立的是（

）A．至少有1名男生與全是男生；B．至少有1名男生與全是女生；C．恰有1名男生與恰有2名男生；D．至少有1名男生與至少有1名女生．【答案】C【分析】寫出各個事件包含的情況，根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念，即可得出答案.【詳解】對于A項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，故A項錯誤；對于B項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，與事件全是女生是互斥對立事件，故B項錯誤；對于C項，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，與事件恰有2名男生是互斥事件，但不是對立事件，故C項正確；對于D項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生兩種情況，兩個事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D項錯誤.故選：C.7．定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量數(shù)量積定義可構(gòu)造方程求得，由此可得，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故選：D.8．五月初，受疫情影響線下課暫停，某校組織學生居家通過三種方式自主學習，每種學習方式人數(shù)分布如圖1所示，解封后為了解學生對這三種學習方式的滿意程度，利用分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意率調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．則下列說法中不正確的是（

）A．樣本容量為240B．若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C．總體中對方式二滿意的學生約為300人D．樣本中對方式一滿意的學生為24人【答案】B【分析】對A，根據(jù)總?cè)藬?shù)抽取4%的同學進行計算判斷即可；對B，根據(jù)統(tǒng)計圖計算樣本總體滿意度進行判斷即可；對C，根據(jù)方式二中總?cè)藬?shù)和樣本滿意度計算判斷即可；對D，根據(jù)滿意率計算即可【詳解】對A，由餅圖可得總?cè)藬?shù)為，故樣本容量為，故A正確；對B，當時，滿意的人數(shù)為，故滿意度為，故B錯誤；對C，總體中對方式二滿意的學生約為人，故C正確；對D，樣本中對方式一滿意的學生為人，故D正確；故選：B9．如圖，正三棱柱的棱長都相等，則二面角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得二面角的平面角為，運算求解即可.【詳解】取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，又因為平面，平面，則，可知，可得，則，所以二面角的平面角為，設，則，所以.故選：B.

10．2022年4月16號，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成功著陸，為增強愛國主義教育、普及航天知識、傳承中國航天精神，某校特舉行“致敬航天人，筑我中國夢”演講比賽．在演講比賽中，由9名專業(yè)人士和9名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，根據(jù)兩個評委小組（記為小組A，小組B）對同一名選手打分的分值繪制成折線圖，如圖．

①小組A打分的分值的眾數(shù)為47；②小組B打分的分值第80百分位數(shù)為69；③小組B打分的分值的均值小于小組A打分的分值的均值；④小組A打分的分值的方差是8．以上4個結(jié)論中正確的命題個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)眾數(shù)以及百分位數(shù)，方差平均數(shù)的計算即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】小組A打分從小到大依次為：；小組B打分從小到大依次為：.對于①，小組A打分的分值的眾數(shù)為47；故①正確，對于②，由于，所以小組B打分的分值第80百分位數(shù)為第八個數(shù)70，故②錯誤，對于③，小組A打分的分值的平均數(shù)為，小組B打分的分值的平均數(shù)為，因為，所以小組B打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故③錯誤；對于④，小組A打分的分值的方差是，故④錯誤，故選：D.二、解答題11．已知向量，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求向量在向量上的投影向量．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再利用向量模的公式求解即可；（2）直接利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求解即可；（3）直接利用投影向量的公式求解即可.【詳解】（1）∵，，∴，∴；（2），，∴；（3）向量在向量上的投影向量為12．在甲、乙兩個盒子中分別裝有編號為1，2，3，4的4個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出一個球，每個球被取出的可能性相等.(1)請列出所有可能的結(jié)果；(2)求取出的兩個球的編號恰為相鄰整數(shù)的概率；(3)求取出的兩個球的編號之和與編號之積都不小于4的概率.【答案】(1)答案見解析；(2)；(3).【分析】（1）列舉法寫出所有基本事件即可；（2）求出滿足條件的基本事件的個數(shù)，利用古典概型求解；（3）求出滿足兩個球的編號之和與編號之積都不小于4的事件的個數(shù)，利用古典概型求解.【詳解】（1）從甲、乙兩個盒子中各取出一個球，所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，共16種情況.（2）設“取出的兩個球的編號恰為相鄰整數(shù)”為事件，事件的所有可能的結(jié)果為：，，，，，，共6種情況，∴.（3）設“取出的兩個球的編號之和與編號之積都不小于4”為事件，事件的所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，，共11種情況，∴.13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再使用余弦定理求出A；（2）由面積公式求出，再使用余弦定理求出，進而求出周長.【詳解】（1）因為，所以，化簡得，所以.因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得.因為，，所以，整理得，解得.故的周長為.14．甲、乙二人獨立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為，乙破譯密碼的概率為.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率；（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下：解：“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯密碼”，所以隨機事件“密碼被破譯”可以表示為，所以.請指出小明同學錯誤的原因？并給出正確解答過程．【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94.【分析】（1）由相互獨立事件概率乘法公式即可求解；（2）恰有一人破譯密碼有兩種情況：甲破譯且乙沒有破譯和甲沒有破譯且乙破譯，由互斥事件概率加法公式及相互獨立事件概率乘法公式即可求解；（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，，由此能求出密碼被破譯的概率．【詳解】解：（1）由題意可知，，且事件A，B相互獨立，事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥所以（3）小明同學解答“求密碼被破譯的概率”的過程中，和不是互斥事件，，小明求解時沒有減掉甲、乙同時破譯的概率，正確解法為：．15．如圖平面，平面，與不相等，，F(xiàn)為的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取中點M，連接，根據(jù)條件得出四邊形為平行四邊形，從而得到，再根據(jù)線線平行得出線面平行；（2）通過條件得出，，從而得出平面，再利用（1）結(jié)果，得出平面，再由面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，，取中點M，連接，如圖：因F為的中點，則，且，于是得四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面．

（2）因平面，平面，則，又，且F為的中點，則，又，且平面BCE，所以，平面，由（1）知，則平面，又平面，所以平面平面BCE．三、填空題16．設，向量，，，且，，則.【答案】0【解析】根據(jù)向量垂直的坐標表示和向量平行的坐標表示列式可解得結(jié)果.【詳解】因為向量，，，且，，所以，得，，解得，所以.故答案為：0【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)向量垂直的坐標表示和向量平行的坐標表示求解是解題關鍵.17．已知事件，，兩兩互斥，若，，，則．【答案】【分析】先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】因為事件，，兩兩互斥，所以，因為，所以，又因為，所以，故答案為：.18．已知某運動員每次投籃命中的概率是40%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù)：907，966，191，925，271，431，932，458，569，683．該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為．【答案】/【分析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由已知條件得，表示運動員三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，共三組，則由古典概型的概率公式可知，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為可知,故答案為：.19．某電池廠有A，B兩條生產(chǎn)線，現(xiàn)從A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件，測得它們的可充電次數(shù)的平均值為210，方差為4；從B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件，測得它們的可充電次數(shù)的平均值為200，方差為4．則20件產(chǎn)品組成的總樣本的方差為．（參考公式：已知總體分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，．記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則；）【答案】28【分析】先求出總體的平均數(shù)，再結(jié)合方差公式，即可求解．【詳解】總體的平均數(shù)，則其方差．故答案為：28．20．已知四面體的所有棱長均為2，，分別為棱，的中點，為棱AB上異于，的動點．有下列結(jié)論：①若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線；②線段MN的長度為；③異面直線MN和CD所成的角為；④的最小值為2．其中正確的結(jié)論為．（填序號）【答案】②③④【分析】對于①，取的中點為，的中點為，說明四邊形為平行四邊形，直線與直線相交于，即可判斷；對于②，解三角形求得線段的長度即可判斷；對于③，取的中點為，找到則即為異面直線和所成的角或其補角，求得其大小，即可判斷；對于④，將面，面展開為一個平面，即可求得的最小值，進行判斷，由此可得答案．【詳解】對于①，取的中點為，的中點為，連接，，，，

則，，，所以，，故四邊形為平行四邊形．則與交于點，故此時直線與直線相交于，因此此時直線與直線不是異面直線，故①錯誤；對于②，連接，，四面體的所有棱長均為2，

故，因為為中點，故．所以，故②正確；對于③，取的中點為，連接，，因為，分別為棱，的中點，

故，，．則即為異面直線和所成的角或其補角，因為，故為等腰直角三角形，則，故③正確；對于④，將面，面展開為一個平面，如圖示：

當，，三點共線時，最小，因為，分別為棱，的中點，所以此時四邊形為平行四邊形，故，即的最小值為2，故④正確，故答案為：②③④．四、解答題21．如圖，在四棱錐中，平面，且，，，M為PC中點．

(1)求證：∥平面；(2)求證：平面．(3)求直線與平面成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）利用線面垂直的判定定理即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論平面即可得到直線與平面成角為，在直角三角形求解即可.【詳解】（1）在四棱錐中，取中點，連接，，如圖所示，因為為的中點，則，，又因為，，所以，，則四邊形是平行四邊形，所以，，而平面，平面，所以平面．（2）因為平面，平面，則，而，因此，又因為，，平面，所以平面.（3）由（2）知平面，所以是在平面上的射影，所以是與平面所成的角因為平面，且所以△為等腰直角三角形，得，由題知平面，平面，所以，則，可得，所