第三章3.1.1基本計數(shù)原理基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.正確地理解“完成一件事情”的含義,能準確應用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.基礎落實·必備知識全過關知識點一

分類加法計數(shù)原理原理內(nèi)容完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.理解“辦法”與“方法”的區(qū)別

名師點睛利用分類加法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法.(2)完成這件事有n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而且不需要用到其他的方法.(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?準確地對“完成這件事的辦法”進行分類,要求每一種方法必須屬于某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復也不遺漏.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則A∩B=?,A∪B=I(I表示全集).過關自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同辦法中的方法可以相同.(

)(2)用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號,總共能編出26+10=36種不同的號碼.(

)(3)在分類加法計數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事.(

)×在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同辦法中的方法是不同的,若相同它只能在同一類辦法中且只能算是一種方法.√因為大寫的英文字母共有26個,阿拉伯數(shù)字共有10個,所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.√在分類加法計數(shù)原理中的每一種方法都是獨立的,可單獨完成這件事.2.[北師大版教材習題改編]一件工作可以用兩種方法完成,有5人只會用第一種方法完成,另有4人只會用第二種方法完成,從中選出1人來完成這件工作,則不同的選法種數(shù)為(

)

A.9 B.10

C.20

D.40A解析

利用第一種方法去完成有5種選法,利用第二種方法去完成有4種選法.故不同的選法種數(shù)為5+4=9.故選A.知識點二

分步乘法計數(shù)原理原理內(nèi)容

完成一件事,如果需要分成n個步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.名師點睛利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事需要幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,無論缺少哪一步,這件事都不可能完成.

n個步驟缺一不可

過關自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,一件事是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(

)2.[人教A版教材習題改編]從5名同學中選出正、副組長各一名,不同的選法種數(shù)是

.

√×20解析

要完成的一件事是“從5名同學中選出正、副組長各1名”,分兩步完成:第1步,選正組長,有5種方法;第2步,選副組長,有4種方法,所以共有5×4=20種選法.知識點三

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別

區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關鍵是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復名師點睛1.兩個原理的區(qū)別在于“分類”與“分步”:若完成一件事需分類思考,且這n類辦法是相互獨立的,無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事,則用分類加法計數(shù)原理.若完成這件事需分為n個步驟,且這n個步驟相互依存,具有連續(xù)性,當且僅當這n個步驟依次完成后,這件事才完成,則用分步乘法計數(shù)原理.2.處理具體問題時要注意兩點:一是合理分類,準確分步.分類時,要不重不漏;分步時,要合理設計步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,應優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.過關自診1.從甲地到乙地,一天中有5個班次的火車,12個班次的客車,3個班次的飛機,還有6個班次的輪船.某人某天要從甲地到乙地,則他不同出行方式選擇的種數(shù)是(

)

A.26 B.60

C.18

D.1080A解析

由分類加法計數(shù)原理知有5+12+3+6=26種不同選擇.故選A.2.[北師大版教材習題改編]在平面直角坐標系中,確定若干個點,點的橫坐標取自集合P={1,2,3},點的縱坐標取自集合Q={1,4,5,6},這樣的點共有

個.

12解析

平面直角坐標系內(nèi)的點有橫、縱坐標,得到一個點要分兩步:第一步,確定點的橫坐標,有3種取法;第二步,確定點的縱坐標,有4種取法.所以這樣的點共有3×4=12個.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用分類加法計數(shù)原理解題【例1】

在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?解

(方法一)分析個位數(shù)字,可分以下幾類:個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,有7個;同理,個位是7的有6個;個位是6的有5個,……,個位是2的只有1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有8+7+6+5+4+3+2+1=36個.(方法二)按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個,由分類加法計數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個.變式探究

本例中條件不變,求個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個數(shù).解

當個位數(shù)字是8時,十位數(shù)字取9,只有1個.當個位數(shù)字是6時,十位數(shù)字可取7,8,9,共3個.當個位數(shù)字是4時,十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個.同理可知,當個位數(shù)字是2時,共7個.當個位數(shù)字是0時,共9個.由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的個數(shù)為1+3+5+7+9=25.規(guī)律方法

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路

變式訓練1在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有多少個?解

能夠被5整除的數(shù),末位數(shù)字是0或5,因此,我們把1,2,3,…,200中能夠被5整除的數(shù)分成2類來計數(shù):第一類,末位數(shù)字是0的數(shù),共有20個;第二類,末位數(shù)字是5的數(shù),共有20個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有20+20=40個.探究點二利用分步乘法計數(shù)原理解題【例2】

現(xiàn)要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值多天班或不值班,但相鄰兩天不準由同一人值班,問此值班表有多少種不同的排法?解

先排第1天,可排5人中任意一人,有5種排法;再排第2天,此時不能排第1天已排的人,有4種排法;再排第3天,此時不能排第2天已排的人,有4種排法;同理第4,5天均有4種排法.由分步乘法計數(shù)原理,知值班表不同排法的種數(shù)是5×4×4×4×4=1

280.規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路

變式訓練2(多選題)有4位同學報名參加三個不同的社團,則下列說法正確的是(

)A.每位同學限報其中一個社團,則不同的報名方法共有34種B.每位同學限報其中一個社團,則不同的報名方法共有43種C.每個社團限報一個人,則不同的報名方法共有43種D.每個社團限報一個人,則不同的報名方法共有34種

AC解析

對于A選項,第一個同學有3種報法,第二個同學有3種報法,后面的2個同學也各有3種報法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有34種結(jié)果,A正確,B錯誤;對于C選項,每個社團限報一個人,則第一個社團有4種選擇,第二個社團有4種選擇,第3個社團有4種選擇,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有43種結(jié)果,C正確,D錯誤.故選AC.探究點三兩個原理的綜合應用【例3】

有9本不同的語文書,7本不同的數(shù)學書,5本不同的英語書,從中選出不屬于同一學科的書2本,則不同的選法有(

)A.21種

B.315種

C.153種 D.143種D解析

由題意,選一本語文書、一本數(shù)學書有9×7=63種,選一本數(shù)學書、一本英語書有5×7=35種,選一本語文書、一本英語書有9×5=45種,所以共有63+35+45=143種選法.故選D.規(guī)律方法

應用兩個計數(shù)原理解題的策略對于兩個計數(shù)原理的綜合應用問題,一般是先分類再分步.分類時要設計好標準,設計好分類方案,防止重復和遺漏;分步時要注意步與步之間的連續(xù)性,同時應合理設計步驟的順序,使各步互不干擾.也可以根據(jù)題意合理地畫出示意圖或者列出表格,使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來,從而便于我們

解題.變式訓練3用0到9這10個數(shù)字,可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為(

)A.324 B.328 C.360 D.648B解析

若個位數(shù)字為0,則十位和百位數(shù)字的排法種數(shù)為9×8=72;若個位數(shù)字不為0,則確定個位數(shù)字有4種方法,確定百位數(shù)字有8種方法,確定十位數(shù)字有8種方法,所以排法種數(shù)為4×8×8=256.所以256+72=328,所以可以組成328個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).故選B.成果驗收·課堂達標檢測123451.某同學從3本不同的哲學圖書、4本不同的自然科學圖書、2本不同的社會科學圖書中任選1本閱讀,則不同的選法共有(

)A.24種 B.12種

C.9種 D.3種C解析

由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為3+4+2=9.故選C.123452.某種高考模式采用“3+1+2”的形式:“3”為全國統(tǒng)考科目,分別是語文、數(shù)學、外語,所有學生必考;“1”為首選科目,考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目;“2”為再選科目,考生可在思想政治、地理、化學、生物學這4個科目中選擇2個科目.已知小明同學必選化學,那么他可選擇的方案共有(

)A.4種

B.6種

C.8種

D.12種B解析

根據(jù)題意,分2步進行分析:①小明必選化學,則需在思想政治、地理、生物學中再選出1個科目,選法有3種;②小明在物理、歷史科目中選出1個,選法有2種.由分步乘法計數(shù)原理知,小明可選擇的方案共有3×2=6種.故選B.123453.[2023重慶高二階段練習]已知某教學大樓共有四層