§4平行關(guān)系4.1直線與平面平行自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、直線與平面平行的性質(zhì)定理【問題思考】1.如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與這個平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是怎樣的?提示:平行或者異面.2.若直線a與平面α平行,則在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關(guān)系如何?提示:在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條,這些直線互相平行.3.如果直線a與平面α平行,那么經(jīng)過直線a的平面與平面α有哪幾種位置關(guān)系?提示:經(jīng)過直線a的平面與平面α平行或相交.4.如果直線a∥平面α,經(jīng)過直線a的平面β與平面α相交于直線b,那么直線a,b的位置關(guān)系如何?為什么?提示:如答圖6-4-1,直線a,b的位置關(guān)系為平行.因為直線a∥平面α,所以直線a與平面α內(nèi)的任何直線無公共點.所以直線a與直線b無公共點.又a,b?β,所以a∥b.答圖6-4-15.直線與平面平行的性質(zhì)定理表6-4-16.已知直線l∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于l的直線(

).A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.只有一條,在平面α內(nèi)C.有兩條,不一定都在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,不一定都在平面α內(nèi)解析:如答圖6-4-2,因為l∥平面α,P∈α,所以P為直線l外一點.所以直線l與點P確定一個平面β.設(shè)α∩β=m,則P∈m,所以l∥m,且m是唯一的.答案:B答圖6-4-2二、直線與平面平行的判定定理【問題思考】1.如圖6-4-1,將課本ABCD的一邊AB緊貼桌面α,把課本繞AB轉(zhuǎn)動,在轉(zhuǎn)動過程中,AB的對邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系?為什么?提示:平行;因為沒有公共點,所以CD∥α.圖6-4-12.直線與平面平行的判定定理表6-4-23.能保證直線a與平面α平行的條件是

.(填序號)

①b?α,a∥b;②b?α,c∥α,a∥b,a∥c;③b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD;④a?α,b?α,a∥b.解析:由線面平行的判定定理,可知④正確.答案:④

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

直線與平面平行的判定【例1】

如圖6-4-2,P是?ABCD所在平面外一點,E,F分別為AB,PD的中點,求證:AF∥平面PEC.圖6-4-2證明:如答圖6-4-3,取PC的中點G,連接EG,FG.∴四邊形AEGF為平行四邊形.∴EG∥AF.又AF?平面PEC,EG?平面PEC,∴AF∥平面PEC.答圖6-4-3反思感悟證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.首先要看是否有直接可用的平行線,若無,則考慮根據(jù)已知條件作出所需要的平行線,其口訣是“見分點連分點,找出平行線”,有時的分點是中點,通?？紤]三角形中位線.探究二

直線與平面平行的性質(zhì)【例2】

如圖6-4-3,四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:PA∥GH.分析:要證線線平行,先證線面平行,再證另一線為過已知直線的平面與已知平面的交線.圖6-4-3證明:如答圖6-4-4,連接AC交BD于點O,連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點.又M是PC的中點,∴AP∥OM.又OM?平面BMD,PA?平面BMD,∴由直線與平面平行的判定定理,得PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,∴由直線與平面平行的性質(zhì)定理,得PA∥GH.答圖6-4-4反思感悟線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用,也就是通過線線平行得到線面平行,再通過線面平行得線線平行.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的具體步驟:(1)確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個平面;(2)確定(或?qū)ふ?過這條直線且與這個平行平面相交的平面;(3)確定交線;(4)由性質(zhì)定理得出線線平行的結(jié)論.探究三

直線與平面平行的綜合應(yīng)用【例3】

如圖6-4-4,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.分析:根據(jù)已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由線面平行的性質(zhì)定理,找出經(jīng)過直線的平面與平面MNPQ的交線,轉(zhuǎn)化為線線平行即可得證.圖6-4-4證明:因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由直線與平面平行的性質(zhì)定理,得AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.證明:由上例知,PQ∥AB,

2.若本例中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.解:由上例知,四邊形MNPQ是平行四邊形,AB∥PQ,DC∥QM.