第第頁課題：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識點一、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作：.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線與平面垂直時，它們的唯一公共點叫做垂足。2.判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。3.符號語言：注意：在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”知識點二、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.平面與平面的位置關(guān)系：(1)如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若,則。(2)如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若,則與相交。2.判定定理：一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面垂直3.符號語言：（滿足條件與垂直的平面有無數(shù)個）4.判定的關(guān)鍵：在一個已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”。注意：應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直。口訣為：見到垂面做垂線.知識點四、平面與平面所成的二面角1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面。2.表示方法：如棱為，面為的二面角，記作二面角。3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。4.二面角的取值范圍：。注意：如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直?！镜湫屠}】【例1】如圖所示，四棱錐的底面是邊長的為1的正方形，側(cè)棱，，則它的五個面中，互相垂直的共有（）A．3對B．4對C．5對D．6對【答案】C試題分析：因為，所以，可得底面，面，面，可得：面面，面面，面，可得面面，面，可得面面，面，可得面，故選C．【例2】設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D試題分析：，,故選D.【例3】如圖，為正方體，下面結(jié)論：①平面；②；③平面．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：由正方體的性質(zhì)得，BD∥B1D1，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：BD∥平面CB1D1；所以①正確．由正方體的性質(zhì)得AC⊥BD，因為AC是AC1在底面ABCD內(nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：AC1⊥BD，所以②正確．由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，進而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正確【例4】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，側(cè)面是直角三角形，，點是的中點，且平面平面.求證:（1）平面；（2）平面.試題解析：(1)設(shè)，連結(jié)，因為是菱形，所以為的中點．又因為點是的中點，所以是的中位線，所以.又平面平面，所以平面.注：不寫條件平面平面,各扣1分.(2)因為平面平面平面,平面平面,所以平面,所以.因為底面是菱形,所以.又,所以平面.【例5】如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點．（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面．試題解析：證明：（1）因為,分別是,的中點，所以，又因為在三棱柱中，，所以.又平面，平面，所以∥平面.（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以.又，，所以，又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面．【例6】如圖，已知三棱柱中，底面，分別是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．試題解析：（1）證明：因為三棱柱中，底面，又因為平面，所以．因為是中點，所以．因為，所以面；（2）證明：取的中點，連結(jié)，因為分別是棱中點，所以，，又因為，所以，所以四邊形是平行四邊形．所以，因為平面，平面，所以平面；（3）由（2）知平面，所以【鞏固練習(xí)】1.BC是Rt△ABC的斜邊,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于D點,則圖中共有直角三角形的個數(shù)是（）A.8個B.7個C.6個D.5個【答案】A試題分析：因為平面，平面，所以，又于，連接,所以平面平面，所以，又是的斜邊，所以為直角，所以圖中的直角三角形共有，，，故選A．2.如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【解析】試題分析：，，是的中點平面，因此有平面平面，且平面平面，C正確3．正四面體中，分別是的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（）A．平面B．平面平面C．平面D．平面平面【答案】B【解析】試題分析：由得平面；得平面；而平面，所以平面平面，因此選B.4．如圖，是直角三角形，，平面，此圖形中有個直角三角形．【答案】4試題分析：由平面，所以三角形為直角三角形，由得平面，所以三角形是直角三角形，所以共有4個直角三角形5．在四棱錐中,面,為正方形，為中點.（1）求證：//平面；（2）求證：.試題解析：（1）連接，因為，為，中點，所以，又面，面，因此平面.………………（6分）（2）因為面，面，所以因為為正方形，所以，又，因此面，面，.…………（12分）考點：空間的線面位置關(guān)系.6．如圖,在直三棱柱中，,，點是的中點，（1）求證：；（2）求證：；試題解析：（1）棱柱為直三棱柱，又且面面面面（2）設(shè),連結(jié)分別為中點面面平面【課后練習(xí)】正確率：___________1.如圖，在正方體中，若是的中點，則直線垂直于（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：在正方體中，是的中點，設(shè)是的交點，則，，又，，故選B?？键c：空間中的垂直關(guān)系2．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號是.①平面平面PBC②平面平面PAD③平面平面PCD【答案】①②試題分析：易證平面,則平面平面;又∥,故平面,則平面平面,因此①②正確.3．已知直線、與平面、，，，則下列命題中正確的是（）A．若，則必有B．若，則必有C．若，則必有D．若，則必有【答案】C試題分析：對于A，若，平面、可以平行也可以相交，A錯；對于B，平面、有可能平行，若，B錯；對于C，若，則必有，根據(jù)面面垂直的判定定理可知必有，C對；對于D,若，直線與平面可能平行也可能相交，D錯；正確的命題是C,故選C.4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】試題分析：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．5．在三棱錐中，已知底面，，分別是線段上的動點，則下列說法錯誤的是（）A．當時，一定是直角三角形B．當時，一定是直角三角形C．當平面時，一定是直角三角形D．當平面時，一定是直角三角形【答案】B試題分析：底面，則，又，則平面，（1）當時，，則平面，故A正確；（2）當平面，又平面，平面平面，則，故平面，，故C正確；（3）當平面時，，又，則平面，，故D正確；用排除法.故選B．6．如圖，在長方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是()A.∥B.∥平面C.D.平面【答案】C【解析】試題分析：：∵如圖，連接BD，在長方體中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥，∵BD∩=D，∴AC⊥平面，∵?平面，∴AC⊥7．若表示直線，表示平面，則下列命題中，正確命題的個數(shù)為（）①；②；③；④A．個B．個C．個D．個【答案】C試題分析：①則垂直于內(nèi)的兩條相交直線，因為，所以也垂直于內(nèi)的兩條相交直線，故，故①正確；②由線面垂直的性質(zhì)，垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；③，則平行于內(nèi)的一條直線，因為，所以，所以，故③正確；④不正確，比如直線與同時平行于，則．故選C．8．如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上（異于點A，B），直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②OC⊥平面PAC；③MO∥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC．其中正確的命題是（）．A．①②B．①③C．③④D．②④【答案】C【解析】試題分析：①中PA∥OM，因此PA,OM確定一個平面，PA在平面MOB中，因此錯誤；②中，因此錯誤；③中PA∥OM，所以MO∥平面PAC；④中由可得平面PAC⊥平面PBC9．在正四面體P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（）A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【答案】C【解析】試題分析：由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正確．若PO⊥平面ABC，垂足為O，則O在AE上，則DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正確．由DF⊥平面PAE可得，平面PDF⊥平面ABC，平面PDF∩平面PDE=PD，故D正確．排除A、B、D，故選：C．10．如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)棱底面是中點,（1）證明:平面；（2）證明:平面平面．試題解析：（1）連接交于，連接∵底面是正方形，∴為中點，∵在中，是的中點，∴…………（3分）∵平面平面，∴在平面…………（5分）（2）∵側(cè)棱底面底面，∴∵底面是正方形，∴∵與為平面內(nèi)兩條相交直線，∴平面…………（8分）∵平面，∴∵是的中點，∴∵與為平面內(nèi)兩條相交直線，∴平面…………（11分）∵平面，∴平面平面…………（12分）考點：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定.11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．試題解析：（1）在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD．又因為EF不在平面PCD中，PD?平面PCD所以直線EF∥平面PCD．（2）連接BD．因為AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因為BF?平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD12.如圖,在三棱錐中,平面平面,,,過作,垂足為,點分別是棱的中點．求證:（1）平面平面;（2）．試題解析：（1）∵,∴F分別是SB的中點∵E．F分別是SA．SB的中點∴EF∥AB又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EFFG=F,EF．FG平面ABC∴平面平面（2）∵平面平面，平面平面=sBAF平面SAB，AF⊥SB∴AF⊥平面SBC又∵BC平面SBC∴AF⊥BC又∵,ABAF=A,A