第十九章結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算§19-1動力計(jì)算的特點(diǎn)和動力自由度一、動力計(jì)算的特點(diǎn)

“靜力荷載”：大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的?！皠恿奢d”：大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。P(t)tPt簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）一般周期荷載二、動力荷載分類

（變化規(guī)律及其作用特點(diǎn))1）周期荷載：隨時間作周期性變化。3）隨機(jī)荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）2）沖擊荷載：短時內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）PtP(t)ttrPtrP三、動力計(jì)算中體系的自由度

實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來都是無限自由度體系。計(jì)算困難，常作簡化如下：

1、集中質(zhì)量法把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個質(zhì)點(diǎn)，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個數(shù)2個自由度y2y12個自由度自由度與質(zhì)量數(shù)不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振時的計(jì)算簡圖單自由度體系水平振動時的計(jì)算體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)4個自由度m1m2m32個自由度y(x,t)x無限自由度體系2、廣義座標(biāo)法：如簡支梁的變形曲線用三角級數(shù)來表示xyxa1，a2，……..any(x,t)其中：φi（x）是自動滿足位移邊界條件的函數(shù)結(jié)合中任意選取的n個函數(shù)。3、有限單元法：將桿件分為若干個單元§19-2單自由度體系的自由振動

自由振動：沒有動荷載的作用。靜平衡位置m獲得初位移y

m獲得初速度要解決的問題包括：建立運(yùn)動方程、計(jì)算自振頻率、周期等

一、運(yùn)動微分方程的建立方法：達(dá)朗伯爾原理應(yīng)用條件：微幅振動1、剛度法：m..yj.yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時刻的位移y(t)=yj+ydk力學(xué)模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W彈性力恒與位移反向慣性力與加速度反向慣性力……………(a)其中kyj=W及上式可以簡化為或由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。2、柔度法：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。..m靜平衡位置I(t)可得與(b)

相同的方程剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。二、自由振動微分方程的解改寫為其中它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定m靜平衡位置I(t)設(shè)t=0

時..（d）式可以寫成

由式可知，位移是由初位移y

引起的余弦運(yùn)動和由初速度v

引起的正弦運(yùn)動的合成，為了便于研究合成運(yùn)動,令(e)式改寫成它表示合成運(yùn)動仍是一個簡諧運(yùn)動。其中A和

可由下式確定振幅相位角y0ty

-y

TTTyt0yt0

A-A三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率由式及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。Tyt0

A-A周期－工程頻率－圓頻率－計(jì)算頻率和周期的幾種形式例1.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。mEIl/2l/21例2.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動頻率。mlA,E,IE,I1E,A1

IIEI1=

mhk例3.計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。由截面平衡四、簡諧自由振動的特性由式可得加速度為：

在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動.它們的幅值產(chǎn)生于時，其值分別為：

既然在運(yùn)動的任一瞬時質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，于是可在幅值處建立運(yùn)動方程.慣性力為：例4.計(jì)算圖示體系的自振頻率。ABCDEI=

l/2l/2lkBCk..A1..A2

解：單自由度體系，以表示位移參數(shù)的幅值,

各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：建立力矩平衡方程化簡后得m§19-3單自由度體系的受迫振動

受迫振動（強(qiáng)迫振動）：結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)彈性力－ky、慣性力和荷載P(t)之間的平衡方程為:單自由度體系強(qiáng)迫振動的微分方程一、動荷載為簡諧荷載tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=特解：最大靜位移yst（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的位移）。特解可寫為：通解可寫為：設(shè)t=0時的初始位移和初始速度均為零，則：過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）按自振頻率振動按荷載頻率振動平穩(wěn)階段：最大動位移（振幅）為：動力系數(shù)β為：1023123wqb重要的特性：當(dāng)θ/ω→0時,β→1當(dāng)0<θ/ω

<1時,β>1，并且隨θ/ω的增大而增大。當(dāng)θ/ω

→1時,β→∞。振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25稱為共振區(qū)。當(dāng)θ/ω

>1時,β的絕對值隨θ/ω的增大而減小。當(dāng)θ很大時，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng)。例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,θ=80s-1

求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ymax，Mmax例、一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中點(diǎn)有電動機(jī)重量Q=35kN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psinθt。忽略梁的質(zhì)量，試求強(qiáng)迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長l=4m）解：1）求自振頻率和荷載頻率

I22b3570cm4357039.7對于本例，采用較小的截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經(jīng)濟(jì)效益。3252）求動力系數(shù)β175.6MPa

必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質(zhì)點(diǎn)上受干擾力作用的情況。對于干擾力不作用于質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。39.71.35149.2設(shè)體系在t=0時靜止，然后有瞬時沖量S作用。二、外荷載為一般荷載1、瞬時沖量的動力反應(yīng)P(t)tP瞬時沖量S引起的振動可視為由初始條件引起的自由振動。由動量定理：Δtcossin)(00www+=tvtytyΔtτtt't'cossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2、任意荷載P(t)的動力反應(yīng)P(t)tττ時刻的微分沖量對t瞬時(t>τ)引起的動力反應(yīng):初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式:t(Duhamel

積分)……（15.29）初始位移y0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:3、幾種典型荷載的動力反應(yīng)1）突加荷載

P(t)tP0yst=P0δ=P0/mω2ysty(t)ωt0π2π3π2）短時荷載P(t)tPu階段Ⅰ(0<t<u)：與突加荷載相同。階段Ⅱ(t>u)：無荷載，體系以t=u時刻的位移和速度為初始條件作自由振動。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel積分作另解：短時荷載可認(rèn)為由兩個突加荷載疊加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu當(dāng)0<t<u當(dāng)t>uysty(t)ωt0π2π3πωT1）當(dāng)

u>T/2

最大動位移發(fā)生在階段Ⅰ2）當(dāng)u<T/2

最大動位移發(fā)生在階段Ⅱβ1/611/22動力系數(shù)反應(yīng)譜(β與T和u之間的關(guān)系曲線)3）線性漸增荷載P(t)tP0tr這種荷載引起的動力反應(yīng)同樣可由Duhamel積分來求解:

對于這種線性漸增荷載,其動力反應(yīng)與升載時間的長短有很大關(guān)系。其動力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrP0動力系數(shù)反應(yīng)譜動力系數(shù)β介于1與2之間。如果升載很短，tr<T/4,則β接近于2,即相當(dāng)于突加荷載情況。如果升載很長，tr>4T,則β接近于1,即相當(dāng)于靜荷載情況。常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。§19-5多自由度體系的自由振動一、剛度法（1）兩個自由度體系m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11兩自由度體系自由振動微分方程設(shè)解為=常數(shù)當(dāng)然Y1=Y2=0為其解，為了求得不全為零的解，令特征方程頻率方程1）在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角；2）在振動過程中，兩個質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但其比值始終保持不變。振動過程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式，稱為主振型。（1）主振型（2）按主振型振動的條件：初位移或初速度與此振型相對應(yīng)；m1m2Y21Y11Y12Y22最小圓頻率稱為第一(基本)圓頻率：——第二圓頻率例7：設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無限大，層間側(cè)移剛度分別為k1和k2，試求剛架水平振動時的自振動頻率和主振型。m1m2k1k211（3）一般振動兩自由度體系自由振動是兩種頻率及其主振型的組合振動多自由度體系自由振動的振型分解解：（1）求頻率方程中的剛度系數(shù)k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2）求頻率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)設(shè)解為在自由振動過程中任意時刻t，質(zhì)量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時慣性力作用下的靜力位移。此時慣性力幅值主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。m1m2Y1Y2

當(dāng)然解Y1=Y2=0，為了求得不全為零的解，令令主振型0.5a例9.試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計(jì)算頻率1a1（2）振型