4.3

向量組的秩與最大無關(guān)組一、向量組的秩與最大無關(guān)組的概念二、Rn

的基、維數(shù)與坐標(biāo)返回一、向量組的秩與最大無關(guān)組的概念例1

1=(1,0,1),

2=(1,-1,1),

3

=(2,0,2)

。

1,

2,

3線性相關(guān).

1,

2線性無關(guān)；

2

，

3線性無關(guān)，最大無關(guān)組定義設(shè)向量組T滿足1o

在T中有r個向量

1,

2,…,

r線性無關(guān)；2oT中任意r+1個向量都線性相關(guān)；則稱

1,

2,…,

r是向量組T的一個最大無關(guān)組，數(shù)r

為向量組T的秩.最大無關(guān)組一般不惟一，秩是惟一的.若向量組線性無關(guān)，則其最大無關(guān)組就是它本身，秩=向量個數(shù).向量組線性無關(guān)(相關(guān))

向量組的秩=(<)向量組所含向量個數(shù).例2

Rn的秩為n,且任意n個線性無關(guān)的n維向量均為Rn的一個最大無關(guān)組.矩陣A的列秩：A的列向量組的秩；矩陣A的行秩：A的行向量組的秩.定理1

若則A的任意k個(1≤k≤n)個列向量與B的對應(yīng)k個列向量有相同的線性相關(guān)性.任取A的k個列向量所得AkX=0與BkX=0同時有非零解或只有零解.Ak的列向量與Bk

的列向量有相同的線性相關(guān)性.證定理2

矩陣的行秩=列秩=矩陣的秩.證

設(shè)R(A)=r,B有r個非零行，B的r

個非零行的非零首元素所在的r

個列向量線性無關(guān)，為B的列向量組的最大無關(guān)組.為什么？為什么？A中與B的這r個列向量相對應(yīng)的r個列向量也是A的列向量組的最大無關(guān)組.故A的列秩等于r.

同理，由R(A)=R(AT),及A的行向量即AT

的列向量，可得A的行秩等于r.定理2的證明——求向量組的秩和最大無關(guān)組的方法.

例3

求向量組

1=(1,2,0,3),

2=(2,-1,3,1),

3

=(4,-7,9,-3)

的秩和一個最大無關(guān)組，并判斷線性相關(guān)性.

解

A=(

1T,

2T,

3T)所以,秩(

1,

2,

3)=2

1,

2,

3線性相關(guān).<3,

1,

2為一個最大無關(guān)組.

例4

求向量組

1=(1,2,0,3),

2=(2,-1,3,0),

3

=(4,-7,9,-3)

的一個最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表出.

解

A=(

1T,

2T,

3T)

例5

求向量組

1=(2,4,2),

2=(1,1,0),

3

=(2,3,1),

4=(3,5,2)

的秩和一個最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表出.

解

A=(

1T,

2T,

3T,

4T)所以,秩(

1,

2,

3,

4)=2

向量組與其任一最大無關(guān)組等價；

一向量組的任兩個最大無關(guān)組等價；

一向量組的任兩個最大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等，其個數(shù)都等于向量組的秩.

定理3

若向量組

1,

2,…,

r可由

1,

2,…,

s線性表出，且

1,

2,…,

r線性無關(guān)，則r≤s.

證為便于書寫，不妨設(shè)向量均為列向量，設(shè)A=(

1,

2,…,

r),B=(

1,

2,…,

s),因

1,

2,…,

r可由

1,

2,…,

s線性表出,所以存在K=(kij

)s×r=(

1,

2,…,

r),使得A=BK.

x1

1+x2

2+…+xr

r

=0則有不全為零的數(shù)x1,x2,…,xr使所以

AX=BKX=B0=0.AX=0有非零解，則

1,

2,…,

r線性相關(guān)，矛盾！若r>s,則

1,

2,…,

r線性相關(guān),兩向量組秩的關(guān)系：若向量組(Ⅰ)可由組(Ⅱ)線性表出，則

組(Ⅰ)的秩r1≤組(Ⅱ)的秩r2.

證

設(shè)

為(Ⅰ)的最大無關(guān)組，

為(Ⅱ)的最大無關(guān)組.組(Ⅰ)可由組(Ⅱ)線性表出,所以可由線性表出,又線性無關(guān)，故r1≤r2.若組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價，則

組(Ⅰ)的秩r1=

組(Ⅱ)的秩r2.

定理4

設(shè)是

1,

2,…,

s的線性無關(guān)部

分組，它是最大無關(guān)組的充要條件是

1,

2,…,

s中

每一個向量均可由線性表出.若

1,

2,…,

s可由線性表出,則

1,

2,…,

s中任r+1個向量線性相關(guān)，是最大無關(guān)組.若是

1,

2,…,

s的最大無關(guān)組，結(jié)論顯然必要性：證充分性：例6

設(shè)A,B分別為m×r,r×n矩陣，證明

R(AB)≤min{R(A),R(B)}.證設(shè)Cm×n=AB，(AB)的列向量組可由A的列向量組線性表出，故R(AB)≤R(A).又，R(C)=R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B).所以R(AB)≤min{R(A),R(B)}.二、Rn的基、維數(shù)與坐標(biāo)Rn：n維向量空間Rn的一組基：Rn

的一個最大無關(guān)組Rn的維數(shù)(dimRn)：Rn

的秩,dimRn=n.設(shè)

1,2,…,n為Rn的一組基，則Rn=L(

1,2,…,n)又，Rn=L(ε1,ε2,…,εn)Rn

的標(biāo)準(zhǔn)基

Rn,

1,

2,…,

n為一組基，=x1

1+x2

2+…+xn

n

在基1,2,…,n下的坐標(biāo)一個向量在確定基下的坐標(biāo)是惟一的(坐標(biāo)的惟一性).

例7(1)設(shè)

=(x1,x2,x3)≠0，