《中考數(shù)學觀察歸納題型》測試卷、練習卷（答案及解析）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.將正整數(shù)按下表的規(guī)律排列：

平移表中涂色部分的方框，方框中的4個數(shù)的和可能是（）

A.2010B.2014C.2018D.2022

2.在平面中，如圖，兩條直線最多只有1個交點，三條直線最多有3個交點……若〃

條直線最多有55個交點，則”的值為（）

3.將全體自然數(shù)按下面的方式進行排列：

If25f6

f|?IfI

03—7—>―?也,1I.DJ—?

按照這樣的排列規(guī)律，2018應位于（）

A.A位B.B位C.C位D.O位

4.如圖，。4=A1A2>OA2=A2A3,OA3=A3A^....NOAIAZ=^-OA2A-i=z.0A3A4=

…=90。，如此繼續(xù)，能構(gòu)造出多個等腰直角三角形形成的‘‘海螺圖”，當構(gòu)造的

直角三角形的斜邊第一次落在射線。4上時，停止構(gòu)圖，這時的海螺圖的面積等于

2040,貝的長為（）

A.2V2B.4C.4V2D.6

5.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖案

需要黑色棋子的個數(shù)為（）

C.174D.202

6.某個數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理如圖所示：若開始輸入x的值是1,第1次輸出的結(jié)果是4,

第2次輸出的結(jié)果是2,依次繼續(xù)下去，則第2020次輸出的結(jié)果是（）

A.1010B.4C.2D.1

7.如圖，過點做0,1）作y軸的垂線交直線l：y=4x于點4，過點&作直線/的垂線，

交y軸于點4,過點4作了軸的垂線交直線/于點4,…，這樣依次下去，得到△

AQA^A2,△42”3“4，△91??,其面積分別記為S],S?，S3，…,則5]00為（）

A.（平）i°°B.（3V3）100C.3V3x4199D.3V3x2395

8.已知的=1一表,a?=1一專,（13=1-專,...,an=1_且Sn--a2?...an,

則S10=（）

A」B.iCg

9.計算（1一0_套售+/+a+蠢）_（_/_蠢_a_蠢）-6+蠢+

意的結(jié)果等于（）

A.；B.匹C.更D.更

2532

第2頁，共20頁

10.如下圖，△ABC稱為第一個三角形，其周長為1,連接△ABC各邊的中點所組成的

△DEF稱為第二個三角形，其周長為土……，以此類推，第2020個三角形的周長

為（）

C

ADB

20192018

22021522020j22

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

11.觀察以下等式

第1個等式:|=：+]

第2個等式：：=；+；

,5Zb

第3個等式：|=i+^

第4個等式：5=3+2

77Zo

第5個等式：|=抖全

按照以上規(guī)律，寫出你猜想的第〃個等式：.（用含〃的等式表示）.

12.如圖所示，n+1個邊長為1的等邊三角形，其中點A,C2,C3,…。在同一條

直線上，若記ABiGDi的面積為51，△為。2。2的面積為$2，△83。3。3的面積為$3,

...?△外的外的面積為%,則％=.

13.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：蔡，一得，心，...（a40）,按此規(guī)律排列

下去，這列數(shù)中的第〃個數(shù)是.（n為正整數(shù)）

14.海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.如圖是黎錦上的圖

案，每個圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第1個圖至第4個圖中的規(guī)律編織圖

案，則第5個圖中有個菱形，第〃個圖中有個菱形(用含〃的代數(shù)式

表示).

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

三、解答題(本大題共7小題，共58.0分)

15.觀察下列式：(/-1)+。-1)=%+1；

(%3-1)4-(%-1)=%24-%+1；

(%4-1)4-(%-1)=%3+%24-%+1；

(X5—1)+(X—1)=+%3++%+1；

(1)猜想：(%7—1)+(%-1)=；(27-1)-(2-1)=

(2)根據(jù)①猜想的結(jié)論計算：1+2+22+23+24+25+26+27.

16.符號表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：/⑴=1+彳，/2)=1+|,

"3)=1+|2,/(4)=1+—2.

(1)利用以上運算的規(guī)律寫出/(n)=；(n為正整數(shù))

(2)計算：/(1)/(2)"(3).J(100)的值.

第4頁，共20頁

17.閱讀下面問題:

冬=產(chǎn)！)=夜_]

l+x/2(x/2+l)(V2-l)

；=尸2=正一2

V5+2(V5+2)(V5-2)

試求：

(1)專分母有理化的結(jié)果是嬴分母有理化的結(jié)果是

(2)忌后分母有理化的結(jié)果是一；(n>0)

(3)求(高+康+"%+…+兩:G)酒而+1)的值?

18.先觀察下列各式的規(guī)律，再解答問題.

第1個式子：.=1-「

第2個式子：三=9一!

/X3Nj

第3個式子：四=?*

(1)由上面的規(guī)律可得出結(jié)論：而而

出已知|防一2|+|。一1|=0,求成+五i5兩+…+(a+2019：(b+2019)的值?

19.對于正數(shù)x,規(guī)定/1(>)=?.

例如：/⑴』也"2-，屋)=上，

2

(1)求值：/(3)+/(；)=；/(4)+f(J=.

(2)猜想：/(x)+/Q)=,并說明理由.

(3)求:/(2021)+f(2020)+…+f(2)+/(l)+/g)+…+/(嬴)+/(/)的

值.

20.給定下面一列分式：一三，一湍7,一品，一湍7,…(其中a#1).

(1)請寫出第6個分式；

(2)當3a-46=3時，求高一品的值?

第6頁，共20頁

21.平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交和平行.

(1)如圖，直線〃?、”相交于點A,點P是4B4C內(nèi)部一點，試判斷4BPC、2BP、

“CP、NB4C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖，直線m〃n,點尸是直線相、”之間的一點，且滿足NBPC=80。，BA、

CA分別平分4OBP、NECP交于點A,求的度數(shù)；

(3)如圖，直線?n〃n，點P是直線機、〃之間的一點，且滿足NBPC=80。，Ba、

BF2分另1J平分NGBP、4HCP交于點Fi；NF?、OF2分另IJ平分NGB&、NHC&交于點F?；

……；以此類推，直至交于點F2021?直接寫出立尸2021的度數(shù)是.

WH

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：從表中正整數(shù)的排列情況來看，每一行是9個數(shù)，也就是每一列下面的數(shù)

減去上面的數(shù)是9.

隨著方框向下平移，可表示出這4個數(shù)其變化規(guī)律的表達式為：

2+9幾,3+9幾，4+9n,5+9九,

將這4個數(shù)相加為：2+9九+3+9幾+4+9九+5+9九=36九+14,

這4個數(shù)向下移再向左移相加為36n+14-4=36n+10,

這4個數(shù)向下移再向右移一個格相加為36n+14+4=36n+18,

這4個數(shù)向下移再向右移二個格相加為36rl+14+8=36n+22,

這4個數(shù)向下移再向右移三個格相加為36n+14+12=36n+26,

這4個數(shù)向下移再向右移四個格相加為36n+14+16=36n+30,

36x55+30=2010,

???平移表中涂色部分的方框向下移55個格再向右移4個格，方框中的4個數(shù)的和為2010,

其余三個答案中的數(shù)代入36n+14,36n+10,36n+18,36n+22,36n+26,36n+30

來嘗試，〃均不是整數(shù).

故選：A.

每一行是9個數(shù)，也就是每一列下面的數(shù)減去上面的數(shù)是9.隨著方框的平移，可表示出

其變化規(guī)律的表達式為：2+9n,3+9n,4+9n,5+9n,向下移則將這4個數(shù)相力n

為36n+14；向下移再向左移則這4個數(shù)相加為36n+14-4；向下移再向右移則這4

個數(shù)相加為36n+14+4或這4個數(shù)相加為36n+14+8或這4個數(shù)相加為36n+14+

12或這4個數(shù)相加為36n+14+16,將四個答案中的數(shù)來嘗試，〃為整數(shù)，即可.

本題主要考查了數(shù)字的變化類，根據(jù)題意用含整數(shù)n的表達式表示出移動的四個數(shù)是解

題的關(guān)鍵，然后求和判斷哪個選擇項可滿足〃的條件即可.

2.【答案】C

【解析】【試題解析】

解：2條直線相交最多有.1個交點；

3條直線相交最多有1+2個交點；

第8頁，共20頁

4條直線相交最多有1+2+3個交點；

5條直線相交最多有1+2+3+4個交點；

所以〃條直線相交最多有1+2+3+4+5+…+(n-l)=|n(n-1)個交點；

1

:.-n(n-1)=55,

解得n1—11,n2-—10(舍去),

則〃值為11.

故選：C.

從簡單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線相交時最多的交點個數(shù)，找出規(guī)

律即可解答.

此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

3.【答案】C

【解析】解：由圖可知，每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

???2018是第2019個數(shù)，

???2019+4=504余3,

??.2018應位于第505循環(huán)組的第3個數(shù)，在?位.

故選：C.

觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，因為2018是第2019個數(shù)，所以

用2019除以4,再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定2018所在的位置即可.

本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，

要注意2018是第2019個數(shù).

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查圖形的變化規(guī)律和勾股定理,根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

先求出各個直角三角形的直角邊，再根據(jù)面積和得出方程，即可解答.

【解答】

解：設。4=a,

v0Ar=AtA2，0A2=A2A3,0A3=A3A4Z.OA1A2=Z-OA2A3=Z-OA^A^=?-?=90°,

222

???OA2=JO4]24-i41i42=\/2a?OA3=JoA2+>43742=2a，044=

I78

2

IOA3+A3A^=2y/2a<■?■->0A8=(V2)a=8&a>OA<)=(V2)a=16a

當構(gòu)造的直角三角形的斜邊第一次落在射線O①上時，最后一個三角形斜邊為O&,

貝吟a2+|xV2aXV2a+??■+|x8近ax8V2a=2040

a2+2a2+???+128a2=4080

255a2=4080

a=4

故選B

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)棋子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

觀察各圖可知棋子數(shù)量的規(guī)律，然后寫成第〃個圖案的通式，再取n=10進行計算即可

求解.

【解答】

解：根據(jù)圖形，第1個圖案有12=2(l+2+3)+2x0枚棋子，

第2個圖案有22=2(1+2+3+4)+2x1枚棋子，

第3個圖案有34=2(1+2+3+4+5)+2X2枚棋子，

第4個圖案有48=2(1+2+3+44-5+6)+2x3枚棋子，

第〃個圖案有2(1+2+…+n+1+n+2)+2(n-1)枚棋子，

故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為2(1+2+…...+11+12)+2x

(10-1)=174(枚).

故選：C.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可得,

開始輸入，x=1,

第一次輸出的結(jié)果是4,

第10頁，共20頁

第二次輸出的結(jié)果是2,

第三次輸出的結(jié)果是1,

第四次輸出的結(jié)果是4,

第五次輸出的結(jié)果是2,

第六次輸出的結(jié)果是1,

第七次輸出的結(jié)果是4,

第八次輸出的結(jié)果是2,

第九次輸出的結(jié)果是1,

第十次輸出的結(jié)果是4,

???f

2020+3=673...1,

則第2020次輸出的結(jié)果是4,

故選：B.

根據(jù)題意和題目中的數(shù)值轉(zhuǎn)換器可以寫出前幾次輸出的結(jié)果，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化

規(guī)律，進而求得第2020次輸出的結(jié)果.

本題考查數(shù)字的變化類-規(guī)律型，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化

特點，求出相應的數(shù)字.

7.【答案】D

【解析】解：?.?點友的坐標是(0,1),

**?OAQ~—1,

?.?點&在直線y=上，

*,?=2,AQA1=y/3f

:.OA2=4,

???OA3=8,

???。4=16,

n

得出04n=2,

^n^n+l=2n,V3>

：?0/198=2198,4198499=2198-W，

=i(4-l)-V3=|V3,

vA2Ar//A2OQA199,

二△4()A1A2~4^198^199^200,

.Sioo_?98.6

，

.-.S=2396?苧=373x2395

故選：D.

本題需先求出。&和。&的長，再根據(jù)題意得出=2n,把縱坐標代入解析式求得橫

坐標，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得Si。。.

本題主要考查了如何根據(jù)一次函數(shù)的解析式和點的坐標求線段的長度，以及如何根據(jù)線

段的長度求出點的坐標，解題時要注意相關(guān)知識的綜合應用.

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】B

【解析】

【分析】

此題主要考查二次根式的混合運算.找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.把(1-盍-t--和

償+春+看成一個整體進行計算即可解答.

【解答】

解：原式=(1一專一*_a)入償+專+—+(1一*x京_(1一專_

+1+-1

V5V-4

(111111\

一&一后一"+雙+石+蘇1

-

X1

=一V5,

5

故選從

10.【答案】C

【解析】

【分析】

第12頁，共20頁

本題考查中位線定理，圖形規(guī)律有關(guān)知識，主要是找出每一個新的三角形周長是原三角

形周長的扣勺規(guī)律，解決問題.根據(jù)三角形的中位線定理，找出每一個新的三角形周長

是上一個三角形周長的T規(guī)律.

【解答】

解：AABC的周長為1,新的三角形的三條邊為△ABC的三條中位線，

根據(jù)中位線定理，三條中位線之和為三角形三條邊的土

所以第2個三角形周長為會

第3個三角形的周長為強；

以此類推，第"個三角形的周長為圭；

所以第2020個三角形的周長為嬴.

故選C.

11.【答案】總=；+忌F

【解析】解：第1個等式：：=：+：

第2個等式:2=11

3Z+O

第3個等式:2+,

第4個等式:""A

第5個等式：2=1+±

9545

第〃個等式為：票r=—，

故答案為：高=；+思不

根據(jù)已知等式得出規(guī)律即可.

本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出的規(guī)律，并熟練加以運

用.

聞

12.【答案】

4(n+l)

【解析】解：由題意可知，$1=S^wDiQ=5S-iCi%=3SMQB1，

12

S?~SABBD2c2~&SMQ83=F

S3=§△%￡)3c3=-5AXC3B4=^LAC1B1?

所以Sn=合SfCiBi，

c1「X1、X/b=V3，

VSAAJB]=2TT

.c—

**n-4(71+1),

首先求出S1，S2,S3,…，探究規(guī)律后即可解決問題.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的

關(guān)鍵是學會從特殊到一般的探究方法，學會利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型.

3n—1

13.【答案】（—1）九?一

、7n2+l

【解析】

【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用

聯(lián)想是解決這類問題的方法.

先確定正負號與序號數(shù)的關(guān)系，再確定分母與序號數(shù)的關(guān)系，然后確定〃的指數(shù)與序號

數(shù)的關(guān)系，即可得解.

【解答】

解：第1個數(shù)為（-I）】?警;，

第2個數(shù)為（—1）2.宴;，

第3個數(shù)為（一1）3.展;，

第4個數(shù)為（一1）4.展;，

第14頁，共20頁

3n-l

所以這列數(shù)中的第"個數(shù)是(-1尸.

n2+l

故答案為(一1嚴?券?

14.【答案】41；2n2-2n+1

【解析】

【分析】

本題主要考查圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出第〃個圖中菱形的個數(shù)為

n2+(n-1產(chǎn)的規(guī)律.根據(jù)已知圖形得出圖形中菱形的個數(shù)為序數(shù)的平方與序數(shù)減一的

平方的和，據(jù)此求解可得.

【解答】

解：???第1個圖中菱形的個數(shù)1=/+02,

第2個圖中菱形的個數(shù)5=22+12,

第3個圖中菱形的個數(shù)13=3?+22,

第4個圖中菱形的個數(shù)25=42+32,

???第5個圖中菱形的個數(shù)為52+42=41,

第n個圖中菱形的個數(shù)為層+(n—I)2=n2+n2—2n+1=2n2—2n+1,

故答案為：41；2n2-2n+l.

15.【答案】(1)/+必+%4+%3+/+》+1.26+25+24+23+22+2+1；

(2)根據(jù)①猜想的結(jié)論計算：1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)+(2-

1)=28-1=255.

【解析】

解：

(l)(x7-1)-j-(X-1)=X6+X5+%4+X3+X2+X+1;

(27-1)(2-1)=26+25+24+23+22+2+1；

故答案為：x6+%5+x4+x3+x2+x+1；26+25+24+23+22+2+1；

(2)1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)-7-(2-1)

=28-1

=255.

【分析】(1)直接利用已知等式變化規(guī)律進而得出答案；

(2)直接利用(1)中所求，進而得出答案.

此題主要考查了整式的除法運算，正確利用已知式子變化規(guī)律分析是解題關(guān)鍵.

16.【答案】解：⑴1+*

(2)/(1)./(2)-/(3)-..../(100)

22222

=(I+W+2)(I+#+N???(】+口

3456102

=~X—X—X—X...X

1234100

101x102

=~1x2

=5151.

【解析】

【試題解析】

【分析】

此題主要考查了定義新運算，以及有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混

合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行

計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(1)根據(jù)，(1)、/2)、/(3)、/(4)的運算方法，寫出/(①的表達式即可.

(2)根據(jù)(1)中求出的f(n)的表達式,求出f(1)?/(2)"(3)的0)的值是多少即可.

【解答】

解：⑴??"⑴=1+：,〃2)=1+|,/3)=l+g,f(4)=l+[...

2

???/5)=1+：.

故答案為：1+4

n

(2)見答案.

17.【答案】(1)竽，V7-V6;

(2)Vn+1—Vn;

(3)解：原式=(V2-1+V3-V2+V5-V4+...+V2020—72019)(V2020+1)

=(V2020-1)(72020+1)

=2020-1

第16頁，共20頁

=2019

【解析】

【分析】

本題考查的是分母有理化，數(shù)式規(guī)律有關(guān)知識.

(1)利用分母有理化進行計算；

(2)利用分母有理化進行計算；

(3)先分母有理化，然后合并即可.

【解答】

解：⑴會小嬴="覺U廣--阮

故答案為.，V7-V6.

(2)廣=?]"篇―f=r=Vn+1-Vn.

、7y\n+l1+Vn(vn+l+vn)(vn+l-vn)

故答案為+1—y/n-

(3)見答案.

18?【答案】⑴:W

11

(2)\ab-2\+\a-1\=0ab-2=0,a-1=0a=1,b=2+(a+1)(ft+1)

▲?J-??AXXXX

?--T*—,-T-———“一'一-

(a+2019)(b+2019)1x22x32020x202122320202021

1_2020

2021—2021

【解析】略

19.【答案】解：(1)1；1；

(2)1

理由:X.-X11_1

1lc+1-+1~X+lX+1-.

(3)：由(2)可得/(%)+/(￡)=1,

二原式=/(2021)+f(/)]+『(2020)+/(募)]+…+,⑵+f?]+八1)=

202。+”202《

【解析】略

20.【答案】解：⑴?一含，-清聲-清聲-清聲…（其中a*1）

???第6個分式為：一品

,,6b。ob^6bAouT

（2）由3a-4b=3可得：a-l