專題37相似三角形判定在二次函數(shù)中的綜合問題

1、如圖，拋物線產(chǎn)ax2+bx+c過原點(diǎn)0、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),與x軸交于點(diǎn)C,直線AB交

x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線AFm軸，垂足為點(diǎn)F,AF上取一點(diǎn)G,使I3GBA"AC)D,求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)過直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N,若LBMN=10AF,求直線BM的

函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)y=x2-4x；(2,-4)；(2)G(2,—^)；(3)y=—gx—2或y=-3x+6.

【解析】(1)解：將原點(diǎn)0(0,0)、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),分別代入戶ax2+bx+c,

河=◎1

：府42/4￡=-4於.=-4

得'級(jí)T緘一隼，解得上，=Q,

y=x2-4x=(3：--4,

□頂點(diǎn)為(2,-4).

(2)解：設(shè)直線AB為y=kx+b,

由點(diǎn)A(2,-4),B(3,-3),得

滓T我=-4供=1

?虢*玄=一隼解得5，=—6，

匚直線AB為y=x-6.

當(dāng)y=0時(shí)，x=6,口點(diǎn)D(6,0).

□點(diǎn)A(2,-4),D(6,0),B(3,-3),

OA=莘，OD=6,AD=砧，AF=4,OF=2,DF=4,AB=

DF=AF,又AF「x軸,

ADO=DAF=45°,

□□GBAnOAOD,

□點(diǎn)G(2,.

(3)解：如圖1,

El

BMN=OAF,2成割2聯(lián)=X饋吸以='修0蟾,

□匚MBN=21AOF,

設(shè)直線BM與AF交于點(diǎn)H,

□CABH=OAOD,匚HAB=ADO,

△國(guó).△林成4：

遜_迪

詆=礪，

更

則*磔，解得AH=*

H(2,一盤).

i整+女=一4保=一年

設(shè)直線BM為產(chǎn)kx+b,:將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得人』.％二-氫，解得務(wù)=一2.

1

匚直線BM的解析式為y=一M久一工

如圖2,

BMN=OAF,GDB=ODA,

HBDAOD.

.盛盤..礴專

w=w,即,解得DH=4.

點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,0).

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b.

祥春=：Q

將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：看念+會(huì)=一拿,解得k=-3,b=6.

匚直線BM的解析式為y=?3x+6.

綜上所述，直線MB的解析式為廣一電%一”或產(chǎn)-3x+6.

2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：y=or2+(c-a)x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(0,-6),L關(guān)

于原點(diǎn)0對(duì)稱的拋物線為L(zhǎng)'.

(1)求拋物線L的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在拋物線//上，且位于第一象限，過點(diǎn)P作PDDy軸，垂足為D.若DPOD與Z3AOB相似，求符

合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

33

【答案】(1)尸一戶一5工一6；(2)符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2)或(6,12)或(；，一)或(4,2)。

24

【思路引導(dǎo)】

(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

(2)由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)A(-3,0)、B(0,-6)在U上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，(3,0)、B'(0,6),

利用待定系數(shù)法求得拋物線U的表達(dá)式為y=x2—5x+6,設(shè)P(m,m2-5m+6)(m>0),根據(jù)PDy軸，可

得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m2—5m+6),可得PD=m,OD=m2—5m+6,再由Rt二POD與Rt口AOB相似，分

RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可得.

【解析】

9Q-3（C-Q）+C=0

(1)由題意，得

c=-6

a=-l

解得：〈,，

c=-6

□L：y=-X2-5x—6；

(2)拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為I,

□點(diǎn)A(?3,0)、B(點(diǎn)?6)在L上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A0,0)、B〈0,6),

□設(shè)拋物線U的表達(dá)式y(tǒng)=x2+bx+6,

將A<3,0)代入y=x?+bx+6,得b=-5,

口拋物線U的表達(dá)式為y=x2-5x+6,

□A(-3,0),B(0,-6),

□AO=3,OB=6,

設(shè)P(m,m2—5m4-6)(m>0),

匚PDDy軸，

L點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m2-5m+6),

PD=m,OD=m2-5m+6,

RtPDO與RtAOB相似，

有RtPDORt匚AOB或RtODPRtAOB兩種情況，

當(dāng)RtPDORtAOB時(shí)，貝=型，即+6

AOBO36

解得mi=l,m2=6,

□Pi(l,2),P2(6,12)；

當(dāng)RtODPRtAOB時(shí)，則一PD=——OD，即竺m="~-5吧/??+”6

BOAO63

3

解得013=—,1114=4,

2

33

P(-,-),P?4,2),

324

□Pl.P2、P3、P4均在第一象限,

33

符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6,12)或(不，一)或(4,2).

24

本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的特點(diǎn)、相似三角形的判定與

性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3、如圖，已知二次函數(shù)'=9-2》+〃?的圖象與％軸交于點(diǎn)4、B,與y軸交于點(diǎn)C,直線AC交二次函

數(shù)圖象的對(duì)稱軸于點(diǎn)。，若點(diǎn)C為AD的中點(diǎn).

（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)。，使得tanNA5Q=3,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）對(duì)于（2）中的。點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△QBPE）Z\CO4?若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）m=-3；（2）。（-4,21）或。（2,—3）；（3）不存在，理由見解析.

【思路引導(dǎo)】

（1）設(shè)對(duì)稱軸與％軸交于點(diǎn)E，如圖I，易求出拋物線的對(duì)稱軸，可得OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行線分線段

成比例定理可得OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)力的坐標(biāo)，再把點(diǎn)”的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值；

（2）設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為小當(dāng)點(diǎn)。在8軸上方時(shí)，過點(diǎn)。作0"x軸于點(diǎn)"，利用tanNA5Q=3可得關(guān)

于〃的方程，解方程即可求出”的值，進(jìn)而可得點(diǎn)。坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)。在x軸下方時(shí)，注意到tanNBAC=3,

所以點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線x=l對(duì)稱，由此可得點(diǎn)。坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)。為x軸上方的點(diǎn)時(shí)，若存在點(diǎn)P,可先求出直線8。的解析式，由3尸口8?？汕蟮弥本€8P的解

析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再計(jì)算此時(shí)兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊是否

成比例即可判斷點(diǎn)尸是否滿足條件；當(dāng)點(diǎn)Q取另外一種情況的坐標(biāo)時(shí)，再按照同樣的方法計(jì)算判斷即可.

【解析】

解：（1）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)￡,如圖I,＞軸//￡￡），AC:CD=AO:OE=\,

拋物線的對(duì)稱軸是宜線x=—1=1,rOE=\,iAO=QE=l,n4（-l,0）

將點(diǎn)A（T,O）代入函數(shù)表達(dá)式得：l+2+〃?=0,m=-3；

rr一2〃一3

點(diǎn)。在/軸上方時(shí)，力＜0,如圖2,過點(diǎn)。作0"：X軸于點(diǎn)〃，tanNA5Q=3,----------=3,

3-n

解得：〃=—4或〃=3（舍），（2（—4,21）；

點(diǎn)。在1軸下方時(shí)，。力=1,OC=3,tanNB4C=3,tanNA5Q=3,點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于直線％=1

對(duì)稱，Q（2,—3）；

（3）當(dāng)點(diǎn)。為（T,21）時(shí)，若存在點(diǎn)P,使AQBPACQ4,MPBQ=COA=90°,

由8(3,0)、2(T21)可得，直線80的解析式為：y=-3x+9,所以直線總的解析式為：y=

[y=—x-1[x=3""一§(211、

聯(lián)立方程組：f3,解得：\1八，＜；,，「一不一一，

2。]弘=011139；

[y=x-2》-35^y2=--

(M:OC=1:3，BP:BQ=日而:7加力1:3,

BP.BQ^OA-.OC,P不存在；

u當(dāng)點(diǎn)。為(2,-3)時(shí)，如圖4,由8(3,0)、0(2,-3)可得,直線80的解析式為：y=3x—9,所以直線

尸4的解析式為：y=—大尤+1,

[fyJ

y=——x+1[%=3W-3(413、

聯(lián)立方程組：＜3,解得：1八，(二，P一；，一，

X=013139j

y=x-2x-3I"y2=_'

OA：OC^\：3,Vio：Vio^i：3,

9

BP:BQ^OA,OC.P不存在.

綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)P,使△Q8P\COA.

【方法總結(jié)】

本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程的解法、相似三角形

的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握上述知識(shí)、

靈活應(yīng)用分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.

4、如果一條拋物線夕=?2+笈+。(存0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的

三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b,d稱為“拋物線系數(shù)

(1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是(填“真''或"假”)命題；

(2)若一條拋物線系數(shù)為[1,0,—2],則其“拋物線三角形”的面積為；

(3)若一條拋物線系數(shù)為[-1,2b,0],其“拋物線三角形''是個(gè)直角三角形，求該拋物線的解析式；

(4)在(3)的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為4,與x軸交于O,B兩點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，過尸

作尸0nx軸于點(diǎn)0,使得UBP。DOAB,如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)假；(2)2>/2；(3)y——x2+2x或y=-x2—2x；(4)P(1,1)或尸(-1,—3)或P(l,

-3)或(-1,1).

【解析】(1)當(dāng)>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題：

(2)由題意得：y=x2-2,令尸0,得：x=+V2,□S=|x2y[2x2=242；

(3)依題意：y=-x2+2bx,它與x軸交于點(diǎn)(0,0)和(2b,0)；

當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形.

y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,「頂點(diǎn)為(b,加)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：b2=

|x\2b\,b2=\b\,解得：b=0(舍去)或b=±l,

[y=-/+2x或y=-x2-2x.

(4)□當(dāng)拋物線為丁=一/+公時(shí).

□為等腰直角三角形，^BPQUUOAB,

8P0為等腰直角三角形，設(shè)P(a,-a2+2a),Q((a,0),

則I—q2+2a|=|2—aI,即|a(a—2)|—|a—2|.

。一2和，n|a|=1,口。=±1,P(1,1)或(一1,—3).

「當(dāng)拋物線為了=一/—'2%時(shí).

/。8為等腰直角三角形，且BPQOAB,

8尸0為等腰直角三角形，設(shè)PQ,-a2-2a),Q((a,0),

則I-a2—2aI=I2+aI,即|a(a+2)|=\a+2\.

□a+2/0>D|a|=1,Oa=±l,P(1,-3,)或(-1,1).

綜上所述：P(1,1)或P(-1,-3)或尸(1,-3,)或(-1,1).

5、如圖1,一次函數(shù)y=-x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)D,拋物線y=ax?+bx+c(a/0)的頂點(diǎn)為

C,其圖象過A、D兩點(diǎn)，并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B(B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè))，若笫=孝；

(1)求此拋物線的解析式；

(2)連結(jié)AC、BD,問在x軸上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,使A、C、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與DABD相似.如

果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AD下方，(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)P作y軸

的平行線1與直線AD交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在直線AD上，且滿足口MPNDIDABD,求DMPN面積的最大值.

【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)見解析；(3)EJMPN的面積的最大值為:塞.

64

【解析】⑴當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+3=3,則D(3,0)；

當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0,解得x=3,則A(3,0),

□OD=OA,

□□OAD為等腰直角三角形，

□AD=3A/2,

ABV2

□—=—,

AD3

□AB=2,

□B(1,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3),

把D(0,3)代入得a?(-1)?(-3)=3,解得a=l,

□拋物線解析式為y=(x-1)(x-3),即y=x?-4x+3；

(2)作CHEIx軸，如圖1,

□y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

□C(2,-1)

□AH=CH=1,

□□ACH為等腰直角三角形，

□□CAH=45°,AC=VL

□□OAD為等腰直角三角形，

□□DAO=45°,

□□CAQ=LJDAB,

□當(dāng)?shù)?爺時(shí)，DAQCLILJADB,即幕=中，解得AQ=3,此時(shí)Q(0,0)；

當(dāng)當(dāng)=%時(shí),DApCDDABD,即爭(zhēng)=系,解得AQ=|,此時(shí)Q0)；

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)或(go)；

(3)作PEDAD于E,如圖2,

□□MPNDOABD,

「MNMP

--=---,

ADAB

0MN=—MP,

2

設(shè)P(x,x2-4x+3),則M(x,-x+3),

□MP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x--)24—,

24

當(dāng)x=|時(shí)，MP有最大值京

MN的最大值為乎x：=竿，

24o

□□PME=45。，

PE=-PM,

2

PE的最大值為

24o

□cMPN的面積的最大值為3警、乎=簪.

28864

6、已知，拋物線y=℃2+bx+3(a<0)與x軸交于/(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱

軸是直線x=l,。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE=g.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求證：直線。E是工48外接圓的切線；

(3)在直線4c上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使5M代=：5兇8,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)“，使以點(diǎn)8、C、M為頂點(diǎn)的三角形與口/8相似，直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)〃(1,4)；(2)證明見解析；(3)P(3+正,三二6)或(上正

222

5+西)；(4)(0,0)或(9,0)或(0,--).

23

【解析】

解：(1)匚拋物線的對(duì)稱軸是直線％=1,點(diǎn)/(3,0),□根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,0),

9a+3b+3)-0：一11,拋物線

<9/1=3,將力(3,0),8(-1,0)代入拋物線解析式中得：，,.c，解得：＜

a-b+3-Ob=2

解析式為曠=一，+2》+3；當(dāng)尸1時(shí)，尸4,口頂點(diǎn)。(1,4).

(2)當(dāng)=0時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),心底+3?=3五，3#+]2=0,3,22+42=2指，

UAC^+CD^AD2,口口48為直角三角形，UACD=90°,L4D為MCD外接圓的直徑，□點(diǎn)￡在軸C點(diǎn)的

上方，且CE=g,￡(0,g),J￡=^32+(1)2,OE=^12+(1)2=乎，QDE^A^AE2,ODAED

為直角三角形，口/?！?90。，AD\DE,又L4D為/C。外接圓的直徑，DE是/CO外接圓的切線；

3女+Z?=0[k=-l

(3)設(shè)直線ZC的解析式為廣獨(dú)+兒根據(jù)題意得：<，,解得：個(gè)，直線4c的解析式為

。=3=3

y=-x+3,QA(3,0),D(1,4),一I線段4。的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,2),過點(diǎn)N作NPKC,交拋物線于

點(diǎn)、P,設(shè)直線N尸的解析式為尸-x+c,則-2+c=2,解得：c=4,口直線NP的解析式為y=-x+4,由尸-

x+4,y=-/+〃+3聯(lián)立得：-/+2r+3=-x+4,(W得：-3+逐或尸加,尸5一非,或尸5+6,

2222

P(3+百,5-占)或(3-占,5+75)；

2222

(4)分三種情況：口〃恰好為原點(diǎn)，滿足口CMBID/C。，M(0,0)；

M在x軸正半軸上，MCBACD,此時(shí)M(9,0)；

口”在y軸負(fù)半軸上，DCBM口口48,此時(shí)M(0,-1)；

綜上所述，點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)或(0,-

7、如圖，拋物線經(jīng)過A(4,0),B(l,0),C(0,一2)三點(diǎn).

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PMDx軸，垂足為M,是否存在P點(diǎn)，使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形

與DOAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=-*+|x-2;(2)點(diǎn)P為(2,1)或(5,—2)或(一3,—14)或(0,-2).

【解析】解：(1)該拋物線過點(diǎn)C(0,-2),

r可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2.

將A(4,0),B(l,0)代入，得［儂：出了二。，解得「「，

la+b—2=0b=-

I2

匚此拋物線的解析式為y=-：x2+，-2.

(2)存在，

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一gm2+}n—2,

當(dāng)l<m<4時(shí)，AM=4—m,PM=-Tm2+}n—2.又lCOA=PMA=90°,

當(dāng)券=蔡=軻，APMACO,即4-m=2(-：m2+|m—2).

解得mi=2,m2=4(舍去)，nP(2,1).

［當(dāng)券=患=9時(shí)，APMCAO,即2(4-m)=-gm2+|m-2.

解得mi=4,m2=5(均不合題意，舍去)，當(dāng)l<m<4時(shí)，P(2,1).

類似地可求出當(dāng)m>4時(shí)，P(5,-2).

當(dāng)m<l時(shí)，P(-3,-14)或P(0,-2),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2,1)或(5,-2)或(一3,—14)或(0,-2).

8、如圖，已知拋物線產(chǎn);x2+bx+c經(jīng)過UABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(-9,10),ACx

軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線1與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與「ABC

相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為產(chǎn)gx2-2x+l,(2)四邊形AECP的面積的最大值是?■，點(diǎn)P(2,-|)：

3424

⑶Q(4,1)或(-3,1).

【解析】

解：(1)將/(0,1),8(9,10)代入函數(shù)解析式得：

—><81+96+c=10,c=1,解得b=-2,c=1,

3

所以拋物線的解析式y(tǒng)=；f-2x+1；

(2)ZCx軸，A(0,1),

-^x2-2x+l=l,解得x1=6,工2=0(舍)，即C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),

口點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)3(9,10),

直線43的解析式為y=x+l,設(shè)尸(〃?，；"戶_2加+1),m+1),

匚PE=w+l-(-m2-2m+\)=--m2+3m.

\JACQPE9AC=6t

1.1

S四邊杉JEC+5APC=ACEF~\—ACPF

22

11

=-AC(EF+PF)=-ACEP

22

=；x6(-gm2+3m)=-m2+9m.

0<w<6,

98195

當(dāng)〃?=一時(shí)，四邊形4ECP的面積最大值是下，此時(shí)P(不，一二)；

2424

1.1

(3)y=—x2-2x+1=—(x-3)2-2,

P(3,-2),PF=y『yp=3,CF=XF-XC=3,

[JPF=CF,QUPCF=45,

同理可得匚E4F=45,□□PCF=DE4F,

在直線AC上存在滿足條件的點(diǎn)0,

設(shè)0(f,1)且48=90,/C=6,CP=3&，

L以C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與I/8C相似，

U當(dāng)UCP0Z8C時(shí)，

CQ:AC=CP:4B,(6-少6=30:90，解得f=4,所以0(4,1)；

口當(dāng)【CQP口□。5c時(shí),

CQAB^CP-AC,(6-/；：972=372:6,解得，=-3,所以。(-3,1).

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線ZC上存在點(diǎn)0,使得以C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與口43。

9、如圖，已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線過A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCIx軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.

（1）若拋物線的解析式為y=—2久2+2x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.

□求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

口是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AAOB相似？

若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴M(p|)憂,3)□答案見解析(2)存在，丁=一2/+2%+4或丫=一|/+3刀+4

【解析】(1)□如圖1,

y=-2x2+2x+4=-2(x-^)2+

???頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為c，今，

當(dāng)x=：時(shí)，y=-2x|+4=3,則點(diǎn)N坐標(biāo)為G，3)；

不存在.

理由如下：

93

MN=--3=-,

22

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),

???PD=-2m2+2m4-4—(—2m+4)=-2m2+4m,

vPD//MN,

當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即一2m2+4m=￡解得1m=（（舍去），m2=p此時(shí)P點(diǎn)坐

標(biāo)為（羨，1），

：PN=管+(3T)2=巡，

???PNrMN,

二平行四邊形MNPD不為菱形，

二不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形；

(2)存在.

如圖2,0B=4,0A=2,則AB=M+42=26,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-2x+4=2,則P(l,2),

■-?PB=J/+(2_4)2=V5,

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4,

把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,

”拋物線的解析式為y=ax2-2(a+l)x4-4,

當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2-2(a+l)x+4=a—2a—2+4=2—a,則D(l,2—a),

I.PD=2—a—2=—a,

vDC//OB,

:.Z.DPB=zOBA,

當(dāng)券=翳時(shí)，APDB-ABOA,即三=親解得a=-2,此時(shí)拋物線解析式為y=-2x?+2x+4；

當(dāng)券=需時(shí)，APDBSABAO,即急=彳，解得a=—|,此時(shí)拋物線解析式為y=—|x2+3x+4；

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-|x2+3x+4.

4,

10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-§JT+〃x+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,四

邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,4）,已知點(diǎn)E（m,0）是線段DO上的動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)E作PEDx軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)H.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；

(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與E1DEH相似？若存在,

求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4,8

：(2)PG=--m---m-.(3)存在點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三

33

23

角形與DEH相似，此時(shí)m的值為-1或一丁.

16

【解析】

4,

解：(I)拋物線丁=一§/+法+(:與x軸交于點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,4),

4.八.8

,——+/?+(?=0b-——

{3,解得{3.

c=4c=4

48

拋物線的解析式為y=--x92--x+4.

(2)DE(m,0),B(0,4),PEZJx軸交拋物線于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G,

4，8，

P(m,—m~—m+4),G(m,4).

33

48—48

PG=-m~2——加+4—4=——m~2——m.

3333

(3)在(2)的條件下，存在點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與HDEH相似.

4,84,8

y=-x~—x+4,門當(dāng)y=0時(shí)，—x~—x+4=0,解得x=l或-3.

'3333

□D(-3,0).

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，-3<m<0.

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4,

4

將D（-3,0）代入，得-3k+4=0,解得k=1.

44

直線BD的解析式為y=-x+4.H（m,—m+4）.

33

分兩種情況：

428

6口—tn—m

BGGP-maQ

「如果BGPDEH,那么一=——，即-----=T-----.

DEEHm+34

—m+4

3

由-3VmV0,解得m=-l.

428

PGBG-3m-m

如果PGBDEH,那么；節(jié)=有三，即」一?—=7-----

DEHEm+34m

3

23

由-3<mV0,解得m=---.

16

綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P,使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與口DEH相似，此時(shí)m的值為

t23

一1或一改

11、如圖，一次函數(shù)y=-x-2的圖象與二次函數(shù)了=0%2+瓜-4的圖象交于x軸上一點(diǎn)Z,與y軸交于點(diǎn)B,

在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)C.已知二次函數(shù)^=公2+云-4的圖象與y軸交于點(diǎn)。，對(duì)稱軸為直線x=〃（〃<0）,n

是方程2x2-3x-2=0的一個(gè)根，連接AD.

（1）求二次函數(shù)的解析式.

（2）當(dāng)SACB=3SADR時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）試判斷坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點(diǎn)C,使得以點(diǎn)/、B、C組成的三角形與口/。8相似？若存在，試

求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

▽

【答案】（1）y=2x2+2x-4；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）或（-8,0)；(3)在x軸上有一點(diǎn)C(-4,0)

或（-6,0）,使得以點(diǎn)A,B、C組成的三角形與0408相似.

【解析】

（1）在y=-x-2中，令y=0,則x=-2

□A(-2,0).

由2X2?3X?2=0,得XI=B，X2=2,

□二次函數(shù)y=ax2+bx-4的對(duì)稱軸為直線x=-|,

4a—2b—4=0

口b_19

.2a2

解得f=2,

lb=2

□二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+2x-4；

(2)USADB=|BD2A=2,

□SACB=3SADB=6.

□點(diǎn)C在x軸上，

11

□SDACB-AC?OB-X2AC=6,

□AC=6.

□點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

□當(dāng)SACB=3SADB時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)或(-8,0)；

(3)存在.

理由：令x=0,一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B(0,-2),

□AB=V22+22=2V2,nOAB=QOBA=45°.

口在CJABD中,DBAD,Z3ADB都不等于45。，□ABD=180°-45°=135°,

□點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊.

□AC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，□□ADBEIEIBCA,

廿AB

□—=—=1,

ABBD

□AC=BD=2,

□OC=OA+AC=2+2=4,

口點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,0).

□當(dāng)AC與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，□□ADBEIUCBA

「ACAB2V2

——,

ABBD2

AC=V2AB=V2X2A/2=4,

□OC=OA+AC=2+4=6,

□點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,0).

綜上所述，在x軸上有一點(diǎn)C(-4,0)或(-6,0),使得以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與DADB相似.

12、如圖，拋物線y=ax2-2ax+c(a#0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,

4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對(duì)稱軸1在邊OA(不包括0、A兩點(diǎn))上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交

AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂

點(diǎn)的三角形和_AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷UPCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4,84,

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-§x-+§x+4；(2)PM=--m-+4m(0<m<3);(3)存在這樣

23

的點(diǎn)P使IPFC與AEM相似.此時(shí)m的值為一或1,PCM為直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

解：(1)拋物線y=ax2-2ax+c(a#0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

々............4

I幽欲一圈?,斛=8?3=—

-M,解得f{3.

Xc=4

4,8

拋物線的解析式為y=-§x2+§x+4.

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

□A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

解得卜=一:

3k+b=0

{b=4

b=4

4

L直線AC的解析式為y=--x+4.

L點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,

4

M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,——m+4).

48

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線y=—§x?2+1X+4上，

48

一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,—nr9H■—m+4).

33

,48442”

PM=PE—ME=(—m2H—m+4)—(—m+4)=—m+4m.

3333

PM=--m2+4m(0<m<3).

3

（3）在（2）的條件下，連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三

角形和匚AEM相似.理由如下：

44848

由題意，可得AE=3-m,EM=——m+4,CF=m,PF=——m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和匚AEM相似，分兩種情況：

484

匚若「PFCAEM,則PF：AE=FC：EM,即(一一m2+-m)：(3-m)=m：(一一m+4),

333

23

m，0且mR3，m=—.

16

PFCDlAEM,□CPCF=LAME.

□□AME=DCMF,□DPCF=DCMF.

在直角DCMF中，□□CMF+nMCF=90°,□□PCF+DMCF=90°,即口PCM=90。.

PCM為直角三角形.

□^□CFPDDAEM,貝iJCF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=("2+"/m+4),

333

□m#)且n#3,m=l.

LCFPLLAEM,DLJCPF=[AME.

AME=OCMF,CPF=CMF.CP=CM.

□匚PCM為等腰三角形.

23

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使PFC與1AEM相似.此時(shí)m的值為一或1,PCM為直角三角形或等腰三

16

角形.

13、如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)0,頂點(diǎn)為A（1,1）,且與直線y=x-2交于B,C兩點(diǎn).

□求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

□求證：UABC是直角三角形；

口若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MNIZlx軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以0,M,N為頂點(diǎn)的

三角形與DABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（l）y=-X2+2X；C（-l,-3）；（2）證明過程略；（3）（|,0）或00）或（-1,0）或（5,0）.

【解析】解：（1）口頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

□設(shè)拋物線解析式為廣a（x-1）2+1,

又拋物線過原點(diǎn)，

□0=a(0-1)2+1,解得a=。,

□拋物線解析式為y=?(x-1)2+1,

即y=-x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可瞰二「二、

解得仁融仁二;,

□B(2,0),C(-1,-3)；

（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),

貝ijAD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

□□ABO=DCBO=45°,BPnABC=90°,

ABC是直角三角形；

(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,設(shè)N(x,0),則M(x,-x2+2x),

□ON=|x|<MN=|-x2+2x|,

由(2)在RtABD和RtUCEB中，可分別求得AB=&,BC=3近,

MNx軸于點(diǎn)N

ABC=MNO=90°,

，當(dāng)ABC和MNO相似時(shí)有翳=黑或器=器，

當(dāng)黑=黑時(shí)，則有弓科=最,即國(guó)卜x+2|=|x|,

當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，

□x^O,

|-x+2|=p即-x+2=±g,解得x=|或x=^,

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（（0）或（g0）；

當(dāng)?shù)?察時(shí)，則有耳并即|x|卜x+2|=3|x|,

卜x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-l,

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（?1,0）或（5,0）,

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為0,0）或6，0）或（-1,0）或(5,0).

14、如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF「；BD于P,交邊

BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C都不重合），E是射線FC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、ED,并一直保持口EPF=iJFBP,

設(shè)B、P兩點(diǎn)的距離為x,DDEP的面積為y

(1)求出tanUPBF；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍

(3)當(dāng)E1DEP與口BCD相似時(shí)，求口DEP的面積

【答案】(1)-；(2)y=Q君-切(0<*<；(3)當(dāng)UDEP=90。時(shí)，面積為"；當(dāng)LPDE=90。

2,3516

時(shí)，面積為一

4

【解析】

(1)二四邊形ABCD是矩形，

.-.AB=CD