平面向量中三點(diǎn)共線問(wèn)題的拓展與研究向量是既有大小又有方向的量，我們會(huì)用到有關(guān)向量的代數(shù)運(yùn)算，或者需要有幾何圖形的解讀.平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強(qiáng)，難度大，考試要求高．三點(diǎn)共線問(wèn)題是向量中常見的問(wèn)題之一，本節(jié)課來(lái)探究向量中三點(diǎn)共線相關(guān)的拓展問(wèn)題.一、引入：如圖，在中，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_____.復(fù)習(xí)：平面向量分解定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.平面向量三點(diǎn)共線結(jié)論:在平面內(nèi)，三點(diǎn)，，不共線，，則點(diǎn)在直線上的充要條件是.在上述結(jié)論中，如果點(diǎn)不在直線上，的值會(huì)有什么變化呢？二、拓展1：如果點(diǎn)為平面內(nèi)直線外任意一點(diǎn)，，則（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，則；（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，則.證：如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，直線與直線交于點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，，，由平面向量分解定理，得，．（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，直線與直線可能不相交，故分成以下幾類：①當(dāng)直線與平行時(shí)，如圖2，，從而，由平面向量分解定理得，，.②當(dāng)點(diǎn)在如圖的情況時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，，.由平面向量分解定理可得，，.此時(shí)，.③當(dāng)點(diǎn)在如圖的情況時(shí)，直線與直線交于點(diǎn).則存在實(shí)數(shù)，使得，此時(shí)與反向，即，所以此時(shí).綜上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，則.以上結(jié)論是否可逆呢？我們以（1）“當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，則”為例，考察當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)是否在直線的異側(cè)呢？反證法，假設(shè)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)不在直線的異側(cè).①因?yàn)?，故點(diǎn)不在直線上.②根據(jù)（2）的證明，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，可得，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立.綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè).同理，可得時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè).總結(jié)：如果為平面內(nèi)直線外任意一點(diǎn)，，點(diǎn)位于直線上；點(diǎn)位于直線上；點(diǎn)位于區(qū)域Ⅰ內(nèi)（不包括邊界）；點(diǎn)位于區(qū)域Ⅱ內(nèi)（不包括邊界）；點(diǎn)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)（不包括邊界）.如圖所示，兩射線與交于，下列向量若以點(diǎn)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在區(qū)域Ⅰ內(nèi)（含邊界）的有_____.；②；③；④；⑤；⑥；⑦.①②④⑤⑥根據(jù)與的系數(shù)和能夠判斷哪些終點(diǎn)落在了區(qū)域Ⅰ內(nèi)（含邊界），與的系數(shù)和都為2，它們對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)會(huì)是怎么樣的呢？設(shè)，，證明：直線平行于直線.證：直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn).設(shè)，由拓展1的證明可知，；設(shè)，同理，.從而，那么.所以直線平行于直線.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與的系數(shù)和為定值時(shí)，終點(diǎn)在與直線平行的直線上（或在直線上）.我們把上述結(jié)論總結(jié)如下：拓展2：如果點(diǎn)為平面內(nèi)直線外任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若（為定值），則點(diǎn)在直線上或平行于的直線上；反之，若動(dòng)點(diǎn)在直線上或平行于的直線上，則為定值.證法1：第一部分證明略.反之，（1）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，則為定值.（2）若動(dòng)點(diǎn)在平行于的直線上，設(shè)點(diǎn),是動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)可能位置，我們以點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)在直線異側(cè)為例.直線平行于直線，分別交直線與點(diǎn),.，,由拓展1的證明可得,.同理，,由拓展1的證明可得,.因?yàn)橹本€平行于直線，所以.從而，.故為定值.證法2：，故.證畢.從拓展2的結(jié)論中，我們可以總結(jié)到定值的大小與起點(diǎn)到平行線的距離成正比.例2.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為.如圖所示,點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是_____.解：設(shè)與相交于點(diǎn)，.要使最大，只要最小即可.故當(dāng)時(shí)，最小值為，即最大值為.變式：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為.如圖所示,點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是_____.解：，.要使最大，只要最小即可.故當(dāng)時(shí)，最小值為，即最大值為.例3.如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為_____，的最大值為_______.2和5三、解題總結(jié)1、確定等值線為1的直線；2、平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、從長(zhǎng)度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值或最小值.四、后記拓展1和拓展2巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為