2024屆廣東省興寧市沐彬中學數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.2．已知橢圓的左，右焦點分別為，，直線與C交于點M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°6．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和8．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或11．設命題，則為A. B.C. D.12．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則滿足實數(shù)的取值范圍是__14．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.15．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____16．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當?shù)淖鴺讼岛螅瑧益溇€對應的函數(shù)近似是一個雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當時，判斷并證明的奇偶性；（2）當時，若最小值為，求的最小值.18．（12分）已知集合，.（1）當a=3時，求.（2）若“”是“x∈A”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知數(shù)列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，，求.21．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B2、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設，進而得，根據(jù)四邊形面積求出點M的坐標，再代入橢圓方程得出關于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設點在第一象限，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，設點，由，得，因為四邊形的面積為，所以，得，由，得，解得，所以，即點，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A3、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關系，根據(jù)焦點在拋物線準線上得c的值，結(jié)合a、b、c關系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標準方程為：.故選：A.4、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.5、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計算得解.【詳解】直線的斜率，設其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B6、C【解析】連接，已知條件為，，設，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C7、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D8、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.9、B【解析】運用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B10、B【解析】由等比中項的性質(zhì)可得，分別計算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項，可得，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的橢圓，離心率，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.11、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應該為，即本題的正確選項為C.12、A【解析】取的中點為，的中點為，然后可得或其補角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設，則，，在，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別對，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對，分別大于1，等于1，小于1的討論，當,解得當，不存在，當時，，解得，故x的范圍為點睛】本道題考查了分段函數(shù)問題，分類討論，即可，難度中等14、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點作直線的垂線，垂足為因為表示原點與可行域中點之間的距離，所以的最小值為.故答案為：15、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當時，，所以，若滿足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.16、①..②..【解析】以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,根據(jù)空間向量的線性運算求得向量的坐標，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如下圖所示）由題意可知，，，因為，，所以，故設平面的法向量為，則，令，得因為，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關系，然后代入目標式，分離常數(shù)，然后可得.【小問1詳解】當時，，定義域為R，因為所以為偶函數(shù).【小問2詳解】因為，所以，當且僅當，即時，取等號.由題知，即，因為，所以，即所以令，，則，所以，所以，當，即時，取等號.所以的最小值為10.18、（1）（2）【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根據(jù)交集的運算法則求交集；（2）解不等式求出集合、，求出，然后根據(jù)充分不必要性列出不等式組求解.【小問1詳解】解：由題意得：當時，可解得集合的解集為由可解得或故.【小問2詳解】的解集為又又“”是“x∈A”的充分不必要條件解得：，故實數(shù)a的取值范圍19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設平面的法向量則，令，則，即，設平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.20、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.21、（1）（2）【解析】（1）設是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運用通項公式可得，，進而得到所求通項公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和.【小問1詳解】解：（1）設是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問2詳解】解：，則數(shù)列的前n項和為.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導數(shù)的正負即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，比較大小即可得到