河北省2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交2．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.1C. D.3．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的下焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.4．若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.6．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號(hào)為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3257．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B.C. D.10．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.811．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.2412．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為______________14．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，則下列說法中正確的序號(hào)是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；15．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)m等于___________.16．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的圓C的一般方程______①圓心在第一象限；②圓C與圓相交的弦的方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）19．（12分）已知點(diǎn)，，雙曲線C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)滿足直線RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線l過C上的一點(diǎn)P，且與C的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.20．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點(diǎn)，C在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求四邊形面積的取值范圍；21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.22．（10分）已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C3、D【解析】求出橢圓的下焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點(diǎn)為，即為拋物線焦點(diǎn)，∴，∴.故選：D.4、D【解析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以，當(dāng)直線如圖過點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：D.5、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C6、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選：A.7、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對(duì)于命題，僅當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B8、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，所以的最小值?故選：C.9、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.10、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C11、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B12、D【解析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，.故答案為：.14、①④【解析】畫出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤，根據(jù)，與相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯(cuò)誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯(cuò)誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.15、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系，，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則其方向向量，，解得.故答案為：2.16、（答案不唯一）【解析】設(shè)所求圓為，由圓心在第一象限可判斷出，只需取特殊值，即可得到答案.【詳解】可設(shè)所求圓為，即只需，解得：，不妨取，則圓的方程為：.故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點(diǎn)的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域?yàn)?，f′（x）=aex–由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當(dāng)0<x<2時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增（2）當(dāng)a≥時(shí)，f（x）≥設(shè)g（x）=，則當(dāng)0<x<1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥g（1）=0因此，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點(diǎn)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問在求解的時(shí)候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及拋物線通徑的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理可得的值，由點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準(zhǔn)線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)橹本€l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點(diǎn)O到直線l的距離，所以，解得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題19、（1）（2）1【解析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得答案，（2）求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可得，然后表示的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案【小問1詳解】由題意得，即，整理得，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足上式，所以C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，曲線C的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因?yàn)?，，所?由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是1.20、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.21、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式；（2）由，將不等式左側(cè)放縮，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2