2024北京中考數學試題2024年北京市高級中等學校招生考試

數學試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有．．一個。1.下列幾何體中，是圓柱的為

2.實數a,b,c在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是

（A）＞4a（B）＞0bc-（C）＞0ac（D）＞0ca+

3.方程式?

?

?=-=-14833

yxyx的解為

（A）??

?=-=21yx（B）???-==21yx（C）???=-=12yx（D）???-==1

2

yx

4.被譽為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST的反射面總面積相當于35個標準足球場的總面積。已知每個標準足球場的面積為7140m2

，則FAST的反射面總面積約為（A）231014.7m?（B）241014.7m?（C）25105.2m?（D）26105.2m?5.若正多邊形的一個外角是o60，則該正多邊形的內角和為

（A）o360（B）o540（C）o720（D）o900

6.假如32=-ba，那么代數式baa

baba-????

???-+222的值為

（A）3（B）32（C）33（D）347.跳臺滑雪是冬季奧運會競賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿意函數關系

()02≠=+=acbxaxy。下圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據，依據上述函數模型

和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為

（A）10m（B）15m（C）20m（D）22.5m

8.上圖是老北京城一些地點的分布示意圖。在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，有如下四個結論：

①當表示天安門的點的坐標為()0,0，表示廣安門的點的坐標為()3,6--時，表示左安門的點的坐標為()6,5-；

②當表示天安門的點的坐標為()0,0，表示廣安門的點的坐標為()6,12--時，表示左安門的點的坐標為()12,10-；

③當表示天安門的點的坐標為()1,1，表示廣安門的點的坐標為()5,11--時，表示左安門的點的坐標為()11,11-；

④當表示天安門的點的坐標為()5.1,5.1，表示廣安門的點的坐標為()5.7,5.16--時，表示左安門的點的坐標為(),5.16,5.16-。上述結論中，全部正確結論的序號是

（A）①②③（B）②③④（C）①④（D）①②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.右圖所示的網絡是正方形網格，BAC∠DAE∠。（填“＞”，“＝”或“＜”）

10.若x在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是。

11.用一組a,b,c的值說明命題“若＜ba，則＜bcac”是錯誤的，這組值可以是=a，

=b，=c。

12.如圖，點A，B，C，D在⊙O上，DCBC

=,?=∠30CAD,?=∠50ACD,則

=∠ADB。

13.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若4=AB，

3=AD，則CF的長為。

14.從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路。為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲

地到乙地的用時狀況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數據，統計如下：

早高峰期間，乘坐（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用

時不超過45分鐘”的可能性最大。

15.某公園劃船項目收費標準如下：

船型兩人船（限乘兩人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小時）90100130150

某班18名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，則租船的總費用最低為

元。

16.2024年，部分國家及經濟體在全球的創(chuàng)新綜合排名、創(chuàng)新產出排名和創(chuàng)新效率排名狀況如圖所

示，中國創(chuàng)新綜合排名全球第22，創(chuàng)新效率排名全球第。

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27,28題，每

小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程。

已知：直線l及直線l外一點P。

求作：直線PQ，使得PQ∥l。

作法：如圖，

①在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；

②在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC

的延長線于點Q；

③作直線PQ。所以直線PQ就是所求作的直線。

依據小東設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明。

證明：∵=AB，=CB，

∴PQ∥l（）（填推理的依據）。

18.計算4sin45°+(π－2)0

－+∣-1∣

19.解不等式組：

20.關于x的一元二次方程ax2

+bx+1=0.

(1)當b=a+2時，利用根的判別式推斷方程根的狀況;

(2)若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿意條件的a，b的值，并求此時方程的根.

21.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;

(2)若AB=

，BD=2，求OE的長.

22.如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD.

(1)求證:OP⊥CD;

(2)連接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長.

23.在平面直角坐標系xOy中，函數y=(x>0)的圖象G經過點A(4，1)，直線L:y=+b與圖象G交

于點B，與y軸交于點C

(1)求k的值;

(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.記圖象G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為w.

①當b=-1時，直接寫出區(qū)域W內的整點個數;

②若區(qū)域W內恰有4個整點，結合函數圖象，求b的取值范圍

24.如圖，Q是與弦AB所圍成的圖形的內部的肯定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交于

點C，連接AC.已知AB=6cm，設A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm.

小騰依據學習函數的閱歷，分別對函數y1,y2，隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整:

(1)根據下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1,y2與x的幾組對應值;

X/cm0123456

y1/cm5.624.673.762.653.184.37

y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點(x，y1)并畫出(x，y2)函數y1，y2的圖象;

(3)結合函數圖象，解決問題:當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為cm.

25.某班級共有300名同學.為了解該班級同學A，B兩門課程的學習狀況，從中隨機抽取60名同學進行測試，獲得了他們的成果（百分制），并對數據(成果)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成果的頻數分布直方圖如下(數據分成6組:40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，

80≤x<90，90≤x≤100):

b.A課程成果在70≤x<80這一組的是:

707171717676777878.578.579797979.5

c.A，B兩門課程成果的平均數、中位數、眾數如下:

課程平均數中位數眾數

A75.8m84.5

B72.27083

依據以上信息，回答下列問題:

(1)寫出表中m的值;

(2)在此次測試中，某同學的A課程成果為76分，B課程成果為71分，這名同學成果排名更靠前的

課程是(填"A"或"B")，理由是,

(3)假設該班級同學都參與此次測試，估量A課程成果跑過75.8分的人數.

26.在平面直角坐標系xOy中，直線y=4X+4與x軸y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經過點A將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

(1)求點C的坐標;

(2)求拋物線的對稱軸;

(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍

27.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A，B重合)，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

(1)求證:GF=GC;

(2)用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.

28.對于平面直角坐標系元xOy中的圖形M，N，給出如下定義:P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，假如P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的"閉距離"，記作d(M，N).

已知點A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(點0，△ABC);

(2)記函數y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為