-56-絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則=A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．3．已知，則A． B． C． D．4．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A． B．C． D．6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是A． B． C． D．7．已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．8．如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入A．A= B．A= C．A= D．A=9．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A． B． C． D．10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為A． B． C． D．11．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③12．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________．14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．15．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．16．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．(12分)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．18．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．（12分）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．20．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．21．（12分）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)?參考答案一、選擇題1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D二、填空題13．y=3x 14． 15．0.18 16．2三、解答題17．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．18．解：（1）連結(jié)B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，A1(2,0,4)，，，，，，．設(shè)為平面A1MA的法向量，則，所以可?。O(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可取．于是，所以二面角的正弦值為．19．解：設(shè)直線．（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．20．解：（1）設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn).（2）的定義域?yàn)?（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，所以當(dāng)時(shí)，.從而，在沒有零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.而，，所以在有唯一零點(diǎn).（iv）當(dāng)時(shí)，，所以<0，從而在沒有零點(diǎn).綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).21．解：X的所有可能取值為.所以的分布列為（2）（i）由（1）得.因此，故，即.又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得.由于，故，所以表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.22．解：（1）因?yàn)椋?，所以C的直角坐標(biāo)方程為.的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.C上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，取得最小值7，故C上的點(diǎn)到距離的最小值為.23．解：（1）因?yàn)?，又，故?所以.（2）因?yàn)闉檎龜?shù)且，故有=24.所以.絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)2．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2 C．2 D．34．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B． C． D．5．演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差6．若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│7．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面8．若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2 B．3C．4 D．89．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│10．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．11．設(shè)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點(diǎn).若，則C的離心率為A． B． C．2 D．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為__________.14．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________.15．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為__________.16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為_________.（本題第一空2分，第二空3分.）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.18．（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.21．（12分）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)·參考答案1．A 2．C 3．C 4．D 5．A6．C 7．B 8．D 9．A 10．B11．A 12．B13．0.98 14．–3 15．6 16．26；17．解：（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設(shè)知，所以，故，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．18．解：（1）X=2就是10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．（2）X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．19．解：（1）由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1–b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．20．解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因?yàn)閒（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)．綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）因?yàn)?，故點(diǎn)B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設(shè)知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線y=ex的切線．21．解：（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．因?yàn)樵赱2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．22．解：（1）因?yàn)樵贑上，當(dāng)時(shí)，.由已知得.設(shè)為l上除P的任意一點(diǎn).在中，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上.所以，l的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，在中，即..因?yàn)镻在線段OM上，且，故的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.23．解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，不等式的解集為.（2）因?yàn)椋?當(dāng)，時(shí)，所以，的取值范圍是.絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B． C． D．2．若，則z=A． B． C． D．3．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．245．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=A．16 B．8 C．4 D．26．已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A． B．a(chǎn)=e，b=1 C． D．，7．函數(shù)在的圖象大致為A． B．

C． D．8．如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則A．BM=EN，且直線BM、EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線9．執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出的值等于A. B. C. D.10．雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸進(jìn)線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．11．設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）12．設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.15．設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.16．學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．19．（12分）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在 ，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.21．已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點(diǎn)在M上，且，求P的極坐標(biāo).23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)·參考答案一、選擇題1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D二、填空題13． 14．4 15． 16．118.8三、解答題17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．18．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．因?yàn)閟inA0，所以．由，可得，故．因?yàn)?，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．19．解：（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．20.解：（1）．令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（i）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，l]的最小值為，最大值為.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即a=0，．（ii）當(dāng)a≥3時(shí)，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為，最小值為．此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，b=1，即a=4，b=1．（iii）當(dāng)0<a<3時(shí)，由（1）知，在[0，1]的最小值為，最大值為b或．若，b=1，則，與0<a<3矛盾.若，，則或或a=0，與0<a<3矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，或a=4，b=1時(shí)，在[0，1]的最小值為–1，最大值為1．21．解：（1）設(shè)，則.由于，所以切線DA的斜率為，故.整理得設(shè)，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點(diǎn).（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是，.設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當(dāng)=0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，.因此，四邊形ADBE的面積為3或.22.解：（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，，.所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.23．解：（1）由于，故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為.（2）由于，故由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．因此的最小值為．由題設(shè)知，解得或．絕密★本科目考試啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知復(fù)數(shù)z=2+i，則（A） （B） （C）3 （D）5（2）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（3）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離是（A） （B） （C） （D）（4）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（A）a2=2b2 （B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b（5）若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為（A）?7 （B）1 （C）5 （D）7（6）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10?10.1（7）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（8）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）① （B）② （C）①② （D）①②③第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）函數(shù)f（x）=sin22x的最小正周期是__________．（10）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．（11）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．（12）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．（13）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．（14）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．（17）（本小題13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．（18）（本小題14分）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．（19）（本小題13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a）．當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．（20）（本小題13分）已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若p<q，求證：<；（Ⅲ）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）D （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A （7）C （8）C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10）0 （11）40 （12）若，，則.（答案不唯一）（13） （14）13015三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得.因?yàn)?，所?解得.所以.（Ⅱ）由得.由正弦定理得.在中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角.所以.所以.（16）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因?yàn)锳D⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（Ⅱ）過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．所以．所以.設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則．于是．又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為．（Ⅲ）直線AG在平面AEF內(nèi)．因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，所以.由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內(nèi).（17）（共13分）解：（Ⅰ）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為.（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且.所以，=0.4×（1?0.6）+（1?0.4）×0.6=0.52，.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得.答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.（18）（共14分）解：（Ⅰ）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則.直線的方程為.令，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo).同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)和.（19）（共13分）解：（Ⅰ）由得.令，即，得或.又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與.（Ⅱ）令.由得.令得或.的情況如下：所以的最小值為，最大值為.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)最小時(shí)，.（20）（共13分）解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）設(shè)長度為q末項(xiàng)為的一個(gè)遞增子列為.由p<q，得.因?yàn)榈拈L度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（Ⅲ）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項(xiàng).先證明：若2m是中的項(xiàng)，則2m必排在2m?1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2m排在2m?1之后.設(shè)是數(shù)列的長度為m末項(xiàng)為2m?1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項(xiàng)為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是中的項(xiàng).假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項(xiàng)，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因?yàn)?k排在2k?1之前（k=1，2，…，m?1），所以2k和不可能在的同一個(gè)遞增子列中.又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，…，2m?2，2m?1，2m+1，所以的長度為m+1且末項(xiàng)為2m+1的遞增子列個(gè)數(shù)至多為.與已知矛盾.最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）.假設(shè)存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則的長度為m+1且末項(xiàng)為2m+l的遞增子列的個(gè)數(shù)小于.與已知矛盾.綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，….經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…符合條件.所以2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3-5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：·如果事件、互斥，那么.·如果事件、相互獨(dú)立，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高.·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則A.B.C.D.2.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.2B.3C.5D.63.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5B.8C.24D.295.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為A.B.C.D.6.已知，，，則的大小關(guān)系為A.B.C.D.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則A.B.C.D.8.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A.B.C.D.第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.是虛數(shù)單位，則的值為.10.是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.12.設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為.13.設(shè)，則的最小值為.14.在四邊形中，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16.（本小題滿分13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.17.（本小題滿分13分）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.18.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.19.（本小題滿分14分）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.20.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答一.選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.A8.C二.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分30分.9.10.11.12.13.14.三.解答題15.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力，滿分13分.（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因?yàn)椋玫剑?由余弦定理可得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，從而，，故，16.本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力.滿分13分.（Ⅰ）解：因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）解：設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由（Ⅰ）知.17.本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13分.依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，.設(shè)，則.（Ⅰ）證明：依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面.（Ⅱ）解：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得.因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）解：設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.所以，線段的長為.18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)。考查用代數(shù)方法研究圓錐曲面的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.滿分13分.（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，.所以，橢圓的方程為.（Ⅱ）解：由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率.在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.19.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.滿分14分.（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得解得故.所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）（i）解：.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（ii）解：.20.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（Ⅰ）解：由已知，有.因此，當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞增.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）證明：記.依題意及（Ⅰ），有，從而.當(dāng)時(shí)，，故.因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而.所以，當(dāng)時(shí)，.（Ⅲ）證明：依題意，，即.記，則，且.由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因此.又由（Ⅱ）知，，故.所以，.絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一片交回。2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中．柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，則▲.2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是▲.3．下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是▲.4．函數(shù)的定義域是▲.5．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是▲.6．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是▲.7．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲.8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是▲.9．如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是▲.10．在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是▲.11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是▲.12．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是▲.13．已知，則的值是▲.14．設(shè)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是▲.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．16．（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．18．（本小題滿分16分）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．19．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)、為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．20．（本小滿分16分）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ·參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法.每小題5分，共計(jì)70分.1. 2.2 3.5 4. 5. 6. 7.8.16 9.10 10.4 11. 12. 13. 14.二、解答題15.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.解：（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，?所以.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.16.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.滿分14分.解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)镕1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得 ，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因?yàn)镕1(-1，0)，由，得.又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.因此.18.本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.滿分16分.解：解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.'因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，B=15，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)?，所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，B=15，此時(shí)（?13，9）；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.19．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．滿分16分．解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)椋?，從而．令，得或．因?yàn)?，都在集合中，且，所以．此時(shí)，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時(shí)，，因此．20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力．滿分16分．解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因?yàn)椋裕?，得，則.由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1；當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有．設(shè)f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因?yàn)?，所以．取，?dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A.[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣（1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.B.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，直線l的方程為.（1）求A，B兩點(diǎn)間的距離；（2）求點(diǎn)B到直線l的距離.C.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設(shè)，解不等式.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22.（本小題滿分10分）設(shè).已知.（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值.23.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集，令.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.（1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；（2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案21．【選做題】A．[選修4–2：矩陣與變換]本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．解：（1）因?yàn)?，所?=．（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為.令，解得A的特征值.B．[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．解：（1）設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因?yàn)橹本€l的方程為，則直線l過點(diǎn)，傾斜角為．又，所以點(diǎn)B到直線l的距離為.C．[選修4–5：不等式選講]本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和推理論證能力．滿分10分．解：當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為，解得x<-；當(dāng)0≤x≤時(shí)，原不等式可化為x+1–2x>2，即x<–1，無解；當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為x+2x–1>2，解得x>1.綜上，原不等式的解集為.22.【必做題】本小題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問題能力與運(yùn)算求解能力，滿分10分．解：（1）因?yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以，解得．?）由（1）知，．．解法一：因?yàn)?，所以，從而．解法二：．因?yàn)椋裕虼耍?3．【必做題】本小題主要考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．解：（1）當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是．的概率分布為，．（2）設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)．因?yàn)?，所以僅需考慮的情況．①若，則，不存在的取法；②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；③若，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法．綜上，當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是和，且．因此，．絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?？忌⒁猓?．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效。參考公式：若事件A，B互斥，則若事件A，B相互獨(dú)立，則若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則=A． B． C． D．2．漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A． B．1 C． D．23．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值是A． B．1 C．10 D．124．祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158 B．162 C．182 D．3245．若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=，y=loga(x+)(a>0，且a≠1)的圖象可能是7．設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0,1）內(nèi)增大時(shí)，A．D（X）增大 B．D（X）減小 C．D（X）先增大后減小 D．D（X）先減小后增大8．設(shè)三棱錐V–ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P–AC–B的平面角為γ，則A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β9．已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>010．設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則A．當(dāng)b=時(shí)，a10>10 B．當(dāng)b=時(shí)，a10>10 C．當(dāng)b=–2時(shí)，a10>10 D．當(dāng)b=–4時(shí)，a10>10非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則=___________