稷山縣2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期中九年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共3頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1.菱形、矩形、平行四邊形都具有的性質(zhì)是（）A.一組鄰邊相等 B.對(duì)角線相等 C.對(duì)角線互相平分 D.對(duì)角線互相垂直【答案】C【解析】【分析】本題考查菱形、矩形、平行四邊形性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：菱形、矩形、平行四邊形都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分；故選C．2.下列各組中的四條線段成比例的是()A.4cm，2cm，1cm，3cmB.1cm，2cm，3cm，5cmC.3cm，4cm，5cm，6cmD.1cm，2cm，2cm，4cm【答案】D【解析】【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例．【詳解】A．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；C．從小到大排列，由于，所以不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；D．從小到大排列，由于，所以成比例，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．3.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程（，為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，根據(jù)表格可知，當(dāng)時(shí)，的值小于零，當(dāng)時(shí)，的值大于零，可知當(dāng)，會(huì)有一個(gè)的值使得的值為零，即可得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)圖形與一元二次方程解的關(guān)系．【詳解】解：由表格可知：當(dāng)時(shí)，的值小于零，當(dāng)時(shí)，的值大于零，∴的一個(gè)解的范圍是；，故選：．4.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B.m<3且m≠2 C.且m≠2 D.m<3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得且，從而直接解出答案．【詳解】解：由題意得：且，解得且，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零．5.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC【答案】B【解析】【詳解】解：A．由AB=DC，AC=BD無(wú)法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯(cuò)誤；B．∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．故正確；C．由AC⊥BD，AC=BD無(wú)法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤．D．由AB∥CD，AC=BD無(wú)法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤．故選B．點(diǎn)睛：本題考查矩形的判定方法、熟練掌握矩形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，記住對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，有一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形，有三個(gè)角是90度的四邊形是矩形，屬于中考?？碱}型．6.如圖，，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例．根據(jù)題意，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；故選：B．7.某展覽大廳有2個(gè)入口和2個(gè)出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個(gè)入口進(jìn)入，參觀結(jié)束后可從任意一個(gè)出口離開(kāi)．小明從入口1進(jìn)入并從出口A離開(kāi)的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：所有等可能的情況有4種，其中從入口1進(jìn)入并從出口A離開(kāi)的情況有1種，則P=．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8.某市年投入教育經(jīng)費(fèi)億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費(fèi)的年增長(zhǎng)率均為，從年到年共投入教育經(jīng)費(fèi)億元，則下列方程正確的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量增長(zhǎng)前的量(增長(zhǎng)率)，設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為，分別表示出從到年每年投入的教育經(jīng)費(fèi)即可得出方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．【詳解】解：設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為，則2022的教育經(jīng)費(fèi)為：萬(wàn)元，2023的教育經(jīng)費(fèi)為：萬(wàn)元，依題意可得方程，，故選：．9.如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)，根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明；根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得，則的最小值即為的最小值，根據(jù)垂線段最短，可知的最小值即等于直角三角形斜邊上的高，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵在中，，，，∴，即又∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的最小值，∵當(dāng)為直角三角形斜邊上的高時(shí)，的值最小，∴的最小值即為直角三角形斜邊上的高，設(shè)直角三角形斜邊上的高為，∵，∴，解得：，∴的最小值為，故選：．10.如圖，已知正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，將正方形沿直線折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是翻折變換質(zhì)，即折疊是一種對(duì)稱變換，先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，再根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)為求出的值，由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，，，由陰影部分的周長(zhǎng)即可得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是熟記軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．【詳解】如圖：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得，由翻折變換的性質(zhì)可知：，，，∴陰影部分的周長(zhǎng)，，，，，故選：．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.若，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得，，代入即可求解，解題的關(guān)鍵是熟記比例的基本性質(zhì)．【詳解】∵，∴，，∴，故答案為：．12.縣工會(huì)計(jì)劃組織一次籃球邀請(qǐng)賽，參賽每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排早、午、晚共3場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)______支隊(duì)參賽．【答案】7【解析】【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)支隊(duì)參賽，根據(jù)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排早、午、晚共3場(chǎng)比賽，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)支隊(duì)參賽，由題意，得：，解得：或（舍去）；答：比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)7支隊(duì)參賽．故答案為：7．13.如圖，將菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)稱中心O處，折痕為，若菱形的邊長(zhǎng)為，，則______cm．【答案】3【解析】【分析】連接，，交于點(diǎn)M，利用軸對(duì)稱圖形和菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)可知，再由平行線分線段成比例可得F是中點(diǎn)，E是中點(diǎn)，于是是的中位線，因此，在中利用勾股定理求得即可；【詳解】解：如下圖，連接，，交于點(diǎn)M，∵折疊，∴垂直平分，∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，對(duì)角相等，∴，，∴，∵M(jìn)是中點(diǎn)，，∴，∴F是中點(diǎn)，E是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，，∴，中，，，∴，，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形的中位線和勾股定理等知識(shí)；綜合性較強(qiáng)，利用菱形對(duì)角線的性質(zhì)作輔助線是解題關(guān)鍵．14.在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為4米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________米（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)則（舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，熟練掌握線段之間的關(guān)系列出方程是解此題的關(guān)鍵．15.如圖，在菱形中，，，若分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，，垂足分別為，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則可得四邊形是矩形，以及，從而得，，即，運(yùn)用勾股定理求出的長(zhǎng)即可，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，如圖，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴在中，，，∴，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本題共8個(gè)小題，共75分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.解方程（1）（2）（3）【答案】（1）；（2），；（3），．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解法，（1）方程可變?yōu)?，用因式分解法即可求解；?）將方程去分母整理得，利用公式法即可求解；（3）先移項(xiàng)，用因式分解法求解即可；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法．【小問(wèn)1詳解】解：方程可變?yōu)椋?，∴，∴，解得；【小?wèn)2詳解】解：去分母整理得，，，，，∴，∴，∴，；【小問(wèn)3詳解】解：方程移項(xiàng)得，，因式分解得，，解得，．17.推理能力有助于形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神．我們知道任何實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即：，且．據(jù)此，我們可以得到下面的推理：∵，而∴，故有最小值，最小值是．試根據(jù)以上方法判斷代數(shù)式是否存在最大值或最小值？若有，請(qǐng)求出它的最大值或最小值．【答案】有最大值，最大值為．【解析】【分析】此題考查了利用非負(fù)數(shù)求最值，先把代數(shù)式化為完全平方的形式，再根據(jù)所給推理確定其最值即可，解答此題的關(guān)鍵是把原式化為完全平方式．【詳解】解：原式，∵，∴，∴有最大值，最大值為．18.如圖，矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若，，求的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，連接，先證明，則，然后在中由勾股定理求出，再在中由勾股定理求出，根據(jù)垂直平分線做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，∵矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．19.如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿其對(duì)角線剪開(kāi)，再把沿著方向平移，得到如圖的，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為，（1）直接寫(xiě)出陰影部分是什么特殊四邊形；（2）求移動(dòng)的距離．【答案】（1）平行四邊形，證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了正方形和圖形的平移，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平移的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；（1）由平移的性質(zhì)可知陰影部分為平行四邊形；（2）設(shè)，根據(jù)題意陰影部分的面積為，列方程即可求解，根據(jù)圖形列出方程是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】平行四邊形．理由：由平移得，，，∴四邊形為平行四邊形，即陰影部分是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，與相交于點(diǎn)，∵是正方形剪開(kāi)得到的，∴是等腰直角三角形，∴，∴等腰直角三角形，∴，∴，∵兩個(gè)三角形重疊部分的面積為4，∴，解得，即移動(dòng)的距離．20.已知：如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為．（1）當(dāng)時(shí)，猜想是什么特殊四邊形；（2）在（）的條件下，請(qǐng)對(duì)你的猜想進(jìn)行證明．【答案】（1）平行四邊形是矩形；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定，根據(jù)已知條件易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，即可得，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形即可判定平行四邊是矩形，解題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法．【小問(wèn)1詳解】平行四邊形矩形；【小問(wèn)2詳解】證明：∵，，∴，又∵四邊形是平行四邊形，

∴，，再和中，，∴，∴，∴，∴平行四邊形是矩形．21.某商場(chǎng)經(jīng)銷一種成本為每千克元的肉質(zhì)品，經(jīng)市場(chǎng)分析，若按每千克元銷售，一個(gè)月能售出千克；銷售單價(jià)每千克漲價(jià)元，月銷售量就減少千克．針對(duì)這種肉質(zhì)品的銷售情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題．（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克元，計(jì)算月銷售量，月銷售成本，月銷售利潤(rùn)；（2）商場(chǎng)計(jì)劃在月銷售成本不超過(guò)元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？【答案】（1）千克，元，元；（2）．【解析】【分析】此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，（）銷售單價(jià)每漲價(jià)元，月銷售量就減少千克．那么漲價(jià)元，月銷售量就減少千克，根據(jù)月銷售利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×數(shù)量即可求出題目的結(jié)果；（）等量關(guān)系為：銷售利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×數(shù)量，設(shè)單價(jià)應(yīng)定為元，根據(jù)這個(gè)等式即可列出方程，解方程即可；讀懂題意，找到合適的等量關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】月銷售量為千克，月銷售量成本為元，月利潤(rùn)為元；【小問(wèn)2詳解】設(shè)單價(jià)應(yīng)定為元，依題意得，，解得：，，當(dāng)時(shí)，月銷售成本為元，不合題意舍去，∴，答：銷售單價(jià)應(yīng)定為元/千克．22.四張質(zhì)地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．（1）求隨機(jī)抽取兩張卡片，恰好得到數(shù)字的概率；（2）小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則見(jiàn)信息圖．請(qǐng)用列表格法或畫(huà)樹(shù)狀圖法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平？【答案】（1）；（2）游戲不公平，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】本題考查了游戲公平性的判斷.（）列表可得總共有種結(jié)果，其中得到數(shù)字的有種，根據(jù)概率公式即可得到答案；（）要判斷游戲是否公平，只需要求出雙方贏的機(jī)會(huì)，若相等，則游戲公平，否則，游戲不公平；接下來(lái)求出“兩位數(shù)不超過(guò)”的概率，即可作出判斷；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出表來(lái)．【小問(wèn)1詳解】由題意可列出下表，由表可知，共有種結(jié)果，其中得到數(shù)字的有種，∴；【