PAGEPAGE15極點(diǎn)與極線(xiàn)在高考解題中的應(yīng)用摘要要學(xué)生能完全掌握極點(diǎn)與極線(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)中的解題方法，老師必須重視自己的教學(xué)策略以及學(xué)生必須提高自己對(duì)圓錐曲線(xiàn)的認(rèn)知發(fā)展水平.在文中，我首先對(duì)這兩方面進(jìn)行說(shuō)明，然后對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)在高考解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析.其次通過(guò)近幾年的有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的高考題進(jìn)行分析，找出命題規(guī)律，得到需用極點(diǎn)與極線(xiàn)方法解題的圓錐曲線(xiàn)考題在每年的高考題中不同的省份出現(xiàn)的概率.然后總結(jié)出極點(diǎn)與極線(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)中的性質(zhì)及定理，分析近幾年高考題，總結(jié)出有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)的題的解題方法.最后通過(guò)實(shí)際的例子來(lái)說(shuō)明此研究的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.關(guān)鍵詞：極點(diǎn)；極線(xiàn)；高考AbstractIfthestudentscanfullygraspthemethodofsolvingtheproblemofthepoleandthepolarlineintheconicalcurve,theteachermustattachimportancetohisteachingstrategyandthestudentsmustimprovetheircognitivedevelopmentofconicalcurves.Inthisarticle,Ifirstexplainthetwoaspects,andthenanalyzetheapplicationofthepoleandpoleinthecollegeentranceexamination.Secondly,throughtheanalysisoftheconicalcurvesinrecentyears,wefindouttheruleoftheproposition,andgettheconictestquestionswiththepoleandpolemethodtosolvetheprobleminthecollegeentranceexamination.Theprobabilityoftheprovinceappears.Thenthepropertiesandtheoremsofthepolesandpolarlinesintheconiccurvearesummedup,andtheproblemsofthecollegeentranceexaminationinrecentyearsareanalyzed,andthemethodofsolvingtheproblemoftheconiccurvesofthepolesandthepolarlinesissummarized.Finally,thepracticalapplicationvalueofthestudyisillustratedbythepracticalexamples.Keywords:Pole;poleline;collegeentranceexamination1.極點(diǎn)與極線(xiàn)的定義PPEFGHMANB圖11.1幾何定義如圖，是不在圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引兩條割線(xiàn)依次交圓錐曲線(xiàn)于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線(xiàn)為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).若為圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)即為極線(xiàn).由圖1可知，同理為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).稱(chēng)為自極三點(diǎn)形.若連接交圓錐曲線(xiàn)于點(diǎn)，則恰為圓錐曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn).事實(shí)上，圖1也給出了兩切線(xiàn)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)的一種作法.1.2代數(shù)定義已知圓錐曲線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)和直線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的一對(duì)極點(diǎn)和極線(xiàn).事實(shí)上，在圓錐曲線(xiàn)方程中，以替換，以替換(另一變量也是如此)即可得到點(diǎn)極線(xiàn)方程.特別地：(1)對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為；(2)對(duì)于雙曲線(xiàn)，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為；(3)對(duì)于拋物線(xiàn)，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為.2.極點(diǎn)與極線(xiàn)的基本結(jié)論定理1(1)當(dāng)在圓錐曲線(xiàn)上時(shí)，則極線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)；(2)當(dāng)在外時(shí)，則極線(xiàn)是曲線(xiàn)從點(diǎn)所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)所確定的直線(xiàn)(即切點(diǎn)弦所在直線(xiàn))；(3)當(dāng)在內(nèi)時(shí)，則極線(xiàn)是曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的割線(xiàn)兩端點(diǎn)處的切線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對(duì)的方程，兩邊求導(dǎo)得，解得，于是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，故切線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)得，又點(diǎn)在曲線(xiàn)上，故有，從中解出，然后代和可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為.PMN圖2(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)所作的兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)分別為，則由(1)知，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為和，又點(diǎn)PMN圖2在切線(xiàn)上，所以有和，觀(guān)察這兩個(gè)式子，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)都在直線(xiàn)上，又兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，故切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程為.Q(m,n)TS圖3P(x0,Q(m,n)TS圖3P(x0,y0).設(shè)兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為，則有，，觀(guān)察兩式可發(fā)現(xiàn)在直線(xiàn)上，又兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，所以直線(xiàn)的方程為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，因而點(diǎn)在直線(xiàn)上.所以?xún)汕芯€(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡方程是.定理2若圓錐曲線(xiàn)中有一些極線(xiàn)共點(diǎn)于點(diǎn)，則這些極線(xiàn)相應(yīng)的極點(diǎn)共線(xiàn)于點(diǎn)相應(yīng)的極線(xiàn)，反之亦然.PPABP點(diǎn)P的極線(xiàn)點(diǎn)P的極線(xiàn)圖4(1)圖4(2)即極點(diǎn)與極線(xiàn)具有對(duì)偶性.如圖4(1)(2)所示.

3.極點(diǎn)與極線(xiàn)在教材中的體現(xiàn)極點(diǎn)與極線(xiàn)反映的是圓錐曲線(xiàn)的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)如果圓錐曲線(xiàn)是橢圓，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線(xiàn)變?yōu)?，恰是橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)；如果圓錐曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線(xiàn)變?yōu)?，恰是雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)；如果圓錐曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線(xiàn)變?yōu)椋∈菕佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).3.2極點(diǎn)與極線(xiàn)方法求解ABCOxy圖5F【例1ABCOxy圖5F證明：由于,，，故三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程分別是，和，由于三點(diǎn)共線(xiàn)，根據(jù)定理2可知，對(duì)應(yīng)的三條極線(xiàn)共點(diǎn)，將代入后面兩式得，，兩式相除得.作為課本一習(xí)題，2001年全國(guó)高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明這一高考題.設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且平行于軸，證明直線(xiàn)必過(guò)原點(diǎn).簡(jiǎn)證：如圖5，設(shè)，則，從而，，故，所以，即直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn).3.3極點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)【例2】(1)已知拋物線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，問(wèn)為何值時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)？(2)已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)能否作直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且是線(xiàn)段的中點(diǎn)？解：(1)直線(xiàn)的方程為，即.設(shè)直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，則相應(yīng)的極線(xiàn)應(yīng)為，即，故，當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)在拋物線(xiàn)外，解得且；同理可求得當(dāng)或或時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).(2)設(shè)，則由是線(xiàn)段的中點(diǎn)得，而在雙曲線(xiàn)上，故，兩式相減得，即，而是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)，但點(diǎn)在雙曲線(xiàn)內(nèi)，故極線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離，這和已知“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交”矛盾，故這樣的直線(xiàn)不存在.4.極點(diǎn)與極線(xiàn)在各種考試中的深層體現(xiàn)4.1高考試題中的極點(diǎn)與極線(xiàn)極點(diǎn)與極線(xiàn)作為具體的知識(shí)點(diǎn)盡管不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也不屬于高考考查的范圍，但是極點(diǎn)與極線(xiàn)作為圓錐曲線(xiàn)的一種基本特征，在高考試題中必然會(huì)有所反映.事實(shí)上，極點(diǎn)與極線(xiàn)的知識(shí)常常是解析幾何高考試題的命題背景.ABPOxy圖6F【例3】(2006年全國(guó)試卷=2\*ROMANIIABPOxy圖6F的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，并設(shè)其交點(diǎn)為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求的最小值.解：(1)設(shè)點(diǎn)，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程分別為，，，由于三點(diǎn)共線(xiàn)，故相應(yīng)的三極線(xiàn)共點(diǎn)于，代入極線(xiàn)方程得，兩式相減得.又，故.(2)設(shè)的方程為，與拋物線(xiàn)的極線(xiàn)方程對(duì)比可知直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，把代入并由弦長(zhǎng)公式得，所以.顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，ABPABPOxy圖7Fl兩點(diǎn).(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.解：(1)設(shè)點(diǎn)，與對(duì)比知直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)必恒過(guò)點(diǎn).設(shè)，可化為，故直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)方程得，由此得，的重心的軌跡方程為，消去即得.(2)由(1)可設(shè)點(diǎn)，，且，所以，，..同理.所以有.評(píng)析：上述解法不僅簡(jiǎn)潔易懂，而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，往往都能起到事半功倍的效果.命題1橢圓，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).雙曲線(xiàn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).拋物線(xiàn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).命題2圓錐曲線(xiàn)中極線(xiàn)共點(diǎn)于P，則這些極線(xiàn)相應(yīng)的極點(diǎn)共線(xiàn)于點(diǎn)P相應(yīng)的極線(xiàn).反之亦然.稱(chēng)為極點(diǎn)與相應(yīng)極線(xiàn)對(duì)偶性.以上結(jié)論在文[2]中有證明.如圖給出橢圓的極點(diǎn)與對(duì)應(yīng)極線(xiàn)的簡(jiǎn)圖：P在橢圓內(nèi)P在橢圓內(nèi)P在橢圓外題1、（2010湖北文15）.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿(mǎn)足,則||+|的取值范圍為_(kāi)______，直線(xiàn)與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____.解析：第一個(gè)問(wèn)題，依題意知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部.畫(huà)出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得范圍為.第二個(gè)問(wèn)題，其實(shí)是非常容易做錯(cuò)的題目.因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，所以很多學(xué)生誤以為直線(xiàn)與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，但直線(xiàn)并不經(jīng)過(guò).還有學(xué)生看到這樣的結(jié)構(gòu)，認(rèn)為是切線(xiàn)，所以判斷有一個(gè)公共點(diǎn).事實(shí)上，是對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)，在橢圓的內(nèi)部，由命題2畫(huà)出相應(yīng)極線(xiàn)，此直線(xiàn)與橢圓不可能有交點(diǎn)，故交點(diǎn)數(shù)為0個(gè).如果能夠用極點(diǎn)與極線(xiàn)理論，本題能夠快速解決.而常規(guī)方法只能聯(lián)立方程用判別式判斷了.題2、（2010重慶文21）已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的離心率.（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程；（Ⅱ）如題圖，已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)：與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線(xiàn)：的交點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)，求的值.解析：（I）C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C的漸近線(xiàn)方程為（II）如圖，直線(xiàn)和上顯然是橢圓的兩條切線(xiàn)，由題意點(diǎn)在直線(xiàn)和上，MN即是由E點(diǎn)生成的橢圓的極線(xiàn).因此直線(xiàn)MN的方程為MN的方程求出后剩下工作屬常規(guī)計(jì)算.設(shè)G、H分別是直線(xiàn)MN與漸近線(xiàn)及的交點(diǎn)，由方程組解得故因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線(xiàn)所以分析：如果是常規(guī)方法求直線(xiàn)MN的方程，只能是觀(guān)察：由題意點(diǎn)在直線(xiàn)和上，因此有故點(diǎn)M、N均在直線(xiàn)上，因此直線(xiàn)MN的方程為應(yīng)該說(shuō)很難觀(guān)察，所以很多學(xué)生只能不了了之.題3、（2010江蘇18）、在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線(xiàn)TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,.（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡；（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（Ⅲ）設(shè),求證：直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很簡(jiǎn)單，略.（Ⅲ）我們先看看常規(guī)做法：點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線(xiàn)，與橢圓聯(lián)立得直線(xiàn)，與橢圓聯(lián)立得當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN方程為：令，解得：.此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）.所以直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）.分析：怎么樣？目瞪口呆吧.應(yīng)該說(shuō)，一點(diǎn)也不難，但是很難算對(duì).如果知道點(diǎn)T的坐標(biāo)為，事實(shí)上T的軌跡是，可以看成是一條極線(xiàn)：，所以它一定過(guò)定點(diǎn)D（1，0）.題4、已知橢圓C的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線(xiàn)上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線(xiàn)方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。 … 1分∵，，∴，。 ……………… 4分∴橢圓的方程為。 ……… 5分（Ⅱ）取得，直線(xiàn)的方程是直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為 …………7分,若，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則直線(xiàn)只能為?！?分以下證明對(duì)于任意的直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)均在直線(xiàn)上。事實(shí)上，由得即，記，則。………… 9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得……… 10，……12分∴，即與重合，這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上。 13分解法二：（Ⅱ）取得，直線(xiàn)的方程是直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為 ………… 7分取得，直線(xiàn)的方程是直線(xiàn)的方程是交點(diǎn)為∴若交點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則直線(xiàn)只能為。 ……………8分以下證明對(duì)于任意的直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)均在直線(xiàn)上。事實(shí)上，由得即，記，則?！?分的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法證明時(shí)，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明即證即證……………… ②∵∴②式恒成立。這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上。解法三：（Ⅱ）由得即。記，則?！? 6分的方程是的方程是 …… 7分由得 … 9分即 ……………… 12分這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線(xiàn)上。……………… 13分4.2競(jìng)賽試題中的極點(diǎn)與極線(xiàn)作為更高要求的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來(lái)越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國(guó)家數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知為銳角三角形，以為直徑的⊙分別交于，分別過(guò)和作⊙的兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，分別過(guò)和作⊙的兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在線(xiàn)段上.KKABCPQR(-a,y2)KABCPQRSS(a,y1)圖8xy下面將圓加強(qiáng)為橢圓，并給出證明.證明：以為軸，線(xiàn)段為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)，代入橢圓方程解得點(diǎn)，直線(xiàn)，同理我們可以得到直線(xiàn)，將直線(xiàn)的方程與的方程聯(lián)立解得，可驗(yàn)證其坐標(biāo)滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程，所以三點(diǎn)共線(xiàn).評(píng)析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點(diǎn)與極線(xiàn)方法證明不僅顯得簡(jiǎn)潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線(xiàn)上.【例6】(《中等數(shù)學(xué)》2006年第8期P42)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，作直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)分別作橢圓的切線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)分別作橢圓的切線(xiàn)交于點(diǎn)，求連線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程評(píng)析：該題實(shí)質(zhì)上就是求橢圓內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程，由定理1立即可得答案為.【例7】(《中學(xué)數(shù)學(xué)》2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的軌跡是一條定直線(xiàn).評(píng)析：顯然該定直線(xiàn)為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)：.從例6、例7可以看到，以極點(diǎn)與極線(xiàn)為背景的試題深受命題者的青睞.4.3一些結(jié)論中的極點(diǎn)與極線(xiàn)圓錐曲線(xiàn)中有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點(diǎn)，文【2】與文【3】所述的圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)都源于圓錐曲線(xiàn)中極點(diǎn)與相應(yīng)的極線(xiàn)的性質(zhì).譬如【定理】線(xiàn)段是過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上定點(diǎn)的弦，是長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，并且直線(xiàn)的斜率存在且不為零，則有.這個(gè)定理在雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)中也成立.利用該定理還可證明文【5】至【13】中所述的結(jié)論.評(píng)析：由定理1知，該定理中定點(diǎn)，直線(xiàn)即為一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)，從另一方面來(lái)說(shuō)，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱(chēng)為一個(gè)基礎(chǔ)性定理，是因?yàn)樵摱ɡ砜梢宰C明很多圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì).事實(shí)上，文【2】所述的圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)也都可以用極點(diǎn)與極線(xiàn)的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點(diǎn)與相應(yīng)的極線(xiàn)的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點(diǎn)一線(xiàn)，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.結(jié)論極點(diǎn)與極線(xiàn)是高等幾何中的重要概念，當(dāng)然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點(diǎn)與極線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的一種基本特征，因此在高考試題中必然會(huì)有所反映，自然也會(huì)成為高考試題的命題背景，應(yīng)當(dāng)了解極點(diǎn)與極線(xiàn)的概念，掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的基本性質(zhì)，只有這樣，才能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)與極線(xiàn)的知識(shí)背景，進(jìn)而把握命題規(guī)律.參考文獻(xiàn)[1]張留杰.極點(diǎn)極線(xiàn)的又一性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(11):30-31.[2]邵瓊.極點(diǎn)與極線(xiàn)背景下高考圓錐曲線(xiàn)試題研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2016(04):50-52.[3]黃嘉欣.高觀(guān)點(diǎn)下再看問(wèn)題本質(zhì)——圓錐曲線(xiàn)極點(diǎn)與極線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015(08):12-14.[4]趙臨龍.一道幾何命題射影解法的啟示[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào),2015,31(03):11-13.[5]王文彬.極點(diǎn)、極線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)試題的命制[J].數(shù)學(xué)通訊,2015(08):62-66.[6]黃燕華,林生放.利用極線(xiàn)極點(diǎn)的性質(zhì)巧解有關(guān)圓的幾何題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜