24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系了解點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系的圖形特征;掌握點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系;掌握“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓”,并能作出這個圓了解反證法的意義，會用反證法進(jìn)行簡單的證明，掌握直線和圓的三種位置關(guān)系的特點(diǎn)及判別方法:了解割線、切線的概念:掌握切線的判定和性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用，了解并會應(yīng)用切線長定理,了解三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心等概念體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和建模思想,提高解決實(shí)際問題的能力.知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r數(shù)關(guān)系圖形推理過程點(diǎn)在圓內(nèi)d＜r點(diǎn)A在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上d＝r點(diǎn)A在圓上點(diǎn)在圓外d＞r點(diǎn)A在圓外即學(xué)即練（2022秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使BA．3<r<4 B．4<r<5 C．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C，D與【詳解】解；連接AC，∵矩形ABCD中，AB=3，∴BC=AD=4，∴AC=A∵以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B∴⊙A的半徑r的取值范圍是：3故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．知識點(diǎn)二圓的確定條件依據(jù)作圖圓的個數(shù)過一個點(diǎn)作圓經(jīng)過一個點(diǎn)A作圓,只要以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為半徑作圓就可以作出無數(shù)個過兩個點(diǎn)作圓經(jīng)過兩個點(diǎn)A，B作圓，只要以與點(diǎn)A,B距離相等的點(diǎn)為圓心，即以線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A或點(diǎn)B的距離為半徑作圓就可以無數(shù)個過不在同一條直線上的三個點(diǎn)作圓經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)A，B,C作圓,圓心到這三個點(diǎn)的距離相等，因此，圓心在線段AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)O處,以0為圓心,線段OA(或OB,OC)為半徑可作出經(jīng)過A,B,C三個點(diǎn)的圓一個性質(zhì):不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.即學(xué)即練（2022秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）將圖中破損的輪子復(fù)原，已知點(diǎn)A，B，C在弧BC上．(1)尺規(guī)作圖：作出該輪子的圓心（不寫作法，用黑色筆將作圖痕跡加黑）；(2)連接BC，若點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，BC=8，點(diǎn)A到BC的距離是3，求輪子的半徑R【答案】(1)作圖見解析(2)25【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論，分別作弦AB和AC的垂直平分線，兩垂直平分線交點(diǎn)即為所求；（2）連接AO，BO，利用垂徑定理推論和勾股定理可求出圓片的半徑R．【詳解】（1）解：如圖，分別作EF垂直平分AB、GH垂直平分AC，EF交GH于點(diǎn)O，∴EF和GH都經(jīng)過弧BC所在圓的圓心，∴點(diǎn)O為該輪子的圓心．則點(diǎn)O即為所作．（2）如圖，連接OA交BC于D，連接OB，∵點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，BC=8，∴OA⊥BC，∵點(diǎn)A到BC的距離是3，輪子的半徑R，∴AD=3，∵OA=OB=R，OD=R-在Rt△BOD中，∴R-解得：R=25∴輪子的半徑為256【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)三三角形的外接圓1.定義經(jīng)過三角形各個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓這個外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.2三角形的外心三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)3.三角形外心的性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓的半徑4.三角形外心的位置銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部;直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn):鈍角三角形的外心在三角形外部5.三角形外接圓的作法分別作出三角形兩條邊的垂直平分線,兩垂直平分線的交點(diǎn)O即為該三角形的外接圓的圓心，于是以點(diǎn)0為圓心，以圓心到任一頂點(diǎn)的距離為半徑作圓，即可得到三角形的外接圓.知識點(diǎn)四反證法1.反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立,由此經(jīng)過推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法反證法是一種間接證明命題的方法2.用反證法證明命題的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證,得出矛盾:(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確題型1判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例1（23·24上·徐州·階段練習(xí)）已知的半徑為，A為線段的中點(diǎn)．若為，則點(diǎn)A在的位置關(guān)系是（）A．A在圓內(nèi) B．A在圓內(nèi) C．A在圓內(nèi) D．無法確定【答案】A【分析】先計(jì)算出的長，再比較與圓的半徑的大小，判斷點(diǎn)和的位置關(guān)系．【詳解】解：∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，∴，而的半徑為，∴圓的半徑，∴點(diǎn)在內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確記憶點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·福州·期中）已知的半徑是，若點(diǎn)在內(nèi)，則的長可以是（寫出一個符合條件的的長即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓的半徑和點(diǎn)到圓心的距離的大小關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵的半徑是，且點(diǎn)在內(nèi)，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與點(diǎn)的位置關(guān)系，理解并掌握圓的半徑，直徑的知識是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·南通·期中）若的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，那么點(diǎn)P在的．【答案】內(nèi)部【分析】先求出的長，然后比較與半徑的大小，再根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵圓心A的坐標(biāo)是，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∴，∴，∴點(diǎn)P在圓A的內(nèi)部，故答案為：內(nèi)部．題型2利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑例2（23·24上·白城·期中）如圖，在中，，，，以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)B在外時，r的值可能是（寫出一個即可）．【答案】4（答案不唯一）【分析】由勾股定理求出的長度，再由點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)B在外求解．【詳解】解：在中，由勾股定理得，∵點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)B在外，∴，∴r的值可能是，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·邢臺·期中）已知的直徑為8，點(diǎn)在內(nèi)．若的長為正整數(shù)，寫出一個符合條件的的長度：．【答案】3（答案不唯一）【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：的直徑為8，∴半徑為4，∵點(diǎn)在內(nèi)，，∵的長為正整數(shù)，長可能是3．故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有：①點(diǎn)在圓外；②點(diǎn)在圓上；①點(diǎn)在圓內(nèi)．舉一反三2（23·24上·朝陽·期中）如圖，矩形中，，若以A為圓心，r為半徑作圓，使得B、C、D三個點(diǎn)中恰有一個點(diǎn)在圓外，請寫出一個符合條件的r的值．【答案】4【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，即可得出半徑的取值．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵以A為圓心，r為半徑作圓，使得B、C、D三個點(diǎn)中恰有一個點(diǎn)在圓外，如圖，∴當(dāng)時，此時點(diǎn)C在圓外，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．題型3已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓例3（21·22上·濱州·期末）已知AB＝12cm，過A，B兩點(diǎn)畫半徑為8cm的圓，則能畫的圓的個數(shù)為(

)A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】C【分析】根據(jù)題意分別以A、B為圓心，以8cm為半徑畫弧，兩弧交于C、D，以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心的兩個圓滿足題意．【詳解】分別以A、B為圓心，以8cm為半徑畫弧，兩弧交于C、D，如下圖，得以C為圓心，以8cm為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，以D為圓心，以8cm為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，即能畫的圓的個數(shù)是2個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓相交的性質(zhì)，能找出圓的圓心是解此題的關(guān)鍵．舉一反三1（22·23下·綏化·二模）如圖，在中，，平分，(1)在邊上找一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，且過A、D兩點(diǎn)作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為2．【分析】（1）作的垂直平分線與的交點(diǎn)為圓心，為半徑作圓即可；（2）設(shè)的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）解：如圖：即為所求；

；（2）解：連接，設(shè)的半徑為x，即，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，∴的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三2（20·21·泰安·一模）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，連接．（1）求這個拋物線的表達(dá)式．（2）點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．（3）①點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，點(diǎn)在拋物線對稱軸上，當(dāng)時，求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）①或，②或或【分析】（1）由交點(diǎn)式可求a的值，即可求解；（2）由S四邊形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；（3）①分兩種情況討論，通過證明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解；②可證點(diǎn)M，點(diǎn)C，點(diǎn)M'在以MM'為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)N在以MM'為直徑的圓上時，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延長M'C交對稱軸與N''，可證∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，∴拋物線的表達(dá)式為：，即，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）連接，設(shè)點(diǎn)，則，．故有最大值，當(dāng)時，的最大值為；

（3）①如圖2，若點(diǎn)在左側(cè)，連接，，且，，且，，∴點(diǎn)坐標(biāo)，若點(diǎn)在右側(cè)，同理可求點(diǎn)；

②如圖3，∵拋物線的表達(dá)式為：；∴對稱軸為：直線，∴點(diǎn)在對稱軸上，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的圓上時，，符合題意，∵點(diǎn)，點(diǎn)，，且點(diǎn)在拋物線對稱軸上，∴點(diǎn)，點(diǎn)，延長交對稱軸與，∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴直線解析式為：，∴當(dāng)時，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，，∴點(diǎn)符合題意，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．題型4三角形外接圓的說法辨析例4（21·22上·隨州·期末）如圖，，是的直徑，弦與交于點(diǎn)F，連接，，，，下列三角形中，外心是點(diǎn)O的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用外心的定義，外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而判斷得出即可．【詳解】解：只有的三個頂點(diǎn)都在圓上，故外心是點(diǎn)O的是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形外心的定義，正確掌握外心的定義是解題關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·江門·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為的外接圓上的一動點(diǎn)（點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合），(1)求證：是該外接圓的直徑；(2)連接，問；三條線段滿足什么樣的等量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）利用圓周角定理得到，則，然后根據(jù)圓周角定理可判斷是該外接圓的直徑；（2）連接，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，再證明點(diǎn)在的延長線上，接著判斷為等腰直角三角形得到，從而得到．【詳解】（1）證明：，，又，，，是該外接圓的直徑；（2）解：．證明：連接，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，，，，，，，點(diǎn)在的延長線上，，而，，為等腰直角三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，通過旋轉(zhuǎn)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·長沙·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，過點(diǎn)A的直線交該拋物線于另一點(diǎn)D，交y軸正半軸于點(diǎn)H．(1)如圖1，若，求該拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）；(3)如圖2，在（1）的條件下，設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，過A，B，C三點(diǎn)作，經(jīng)過點(diǎn)Q的直線交于點(diǎn)F，I，交拋物線于點(diǎn)E，G．當(dāng)時，求的值．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）求出點(diǎn)，把代入，得，得到直線解析式，求出點(diǎn)，把代入，得，解得，即可得到拋物線的解析式；（2）求出，得到是等腰直角三角形，則，，設(shè)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)L，則，，顯然和均為等腰直角三角形，得到，，和聯(lián)立得，，求出，由得到，解得，，即可得到答案；（3）由題意得：，則點(diǎn)，求得，由經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，進(jìn)一步得到點(diǎn)Q在第二、四象限角平分線上，即點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)H，連接，得到，，求出，則，由，得到，得到，則，由直線經(jīng)過點(diǎn)得到，與聯(lián)立得，則，，再求得，則，即可得到，求得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，把代入，得，∴，令，得，解得：，∴，把代入，得，解得：，∴，即該拋物線的解析式為；（2）在中，令，得，令，得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，如圖1，設(shè)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)L，則，，∴和均為等腰直角三角形，∴，，由和聯(lián)立，得：，整理得：，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）由題意得：，則點(diǎn)，當(dāng)時，，解得：，∴，如圖，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)H，連接，，∵經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，∴點(diǎn)Q在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴點(diǎn)在第二、四象限角平分線上，∵點(diǎn)Q也在線段的垂直平分線上，∴點(diǎn)Q在第二、四象限角平分線上，即點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，與聯(lián)立，得，整理得：，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與拋物線交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，本題綜合性較強(qiáng)，涉及知識點(diǎn)較多，難度較大，對學(xué)生運(yùn)算能力要求較高．題型5求三角形外心坐標(biāo)例5（23·24上·南通·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵為直角三角形，∴的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，∴的外接圓的圓心坐標(biāo)是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓．熟練掌握直角三角形的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·南京·階段練習(xí)）過三點(diǎn)，，的圓的圓心坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)的確定方法解答．【詳解】解：如圖，∵，，，∴是直角三角形，∴的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴過三點(diǎn)，，的圓的圓心坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心．舉一反三2（23·24上·福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)分別三個是，，．(1)把繞點(diǎn)頂時針旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)的，請畫出旋轉(zhuǎn)后的：(2)把繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)的，請畫出旋轉(zhuǎn)后的；(3)若點(diǎn)為的外心，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可；（3）作出的外心點(diǎn)P，由圖直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所畫；（2）解：如圖所示，即為所畫；（3）解：作邊、的垂直平分線相交于P，如圖，則點(diǎn)P為的外心的外心，由圖可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖，中心對稱作圖，三角形的外心，點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)作圖與中心對稱作圖，三角形的外心是解題的關(guān)鍵．題型6求特殊三角形外接圓的半徑例6（23·24上·濰坊·階段練習(xí)）在中，，則外接圓的半徑為．【答案】4或5【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半圓（直徑）所對的圓周角是直角，可得這個三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長，然后分兩種情況：斜邊為和斜邊為，利用勾股定理，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵是直角三角形，∴這個三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長，∴當(dāng)斜邊為時，則這個三角形的外接圓的直徑是，∴此時外接圓的半徑為4，當(dāng)斜邊為時，則這個三角形的外接圓的直徑是，∴此時外接圓的半徑為5，綜上可得，這個三角形的外接圓的半徑為4或5．故答案為：4或5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓、圓周角定理、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)圓周角定理，得出這個三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長．舉一反三1（21·22下·武漢·自主招生）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，以這兩個根作為等腰的底邊長和腰長，這樣的等腰三角形有且僅有一個．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最大值時，求該等腰三角形外接圓半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得出，根據(jù)這兩個根作為等腰的底邊長和腰長，這樣的等腰三角形有且僅有一個，得出，且，求出m的取值范圍即可；（2）先求出時，方程的解，得出該等腰三角形的三邊分別為，4，2，如圖，，，作其外接圓，連接并延長交于點(diǎn)D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，解方程即可．【詳解】（1）解：∵有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，假設(shè)為a，b，且，∴，解得：，∵這兩個根作為等腰的底邊長和腰長，這樣的等腰三角形有且僅有一個，∴，且，解得：；（2）解：把代入得：，解得：，，∴該等腰三角形的三邊分別為，4，2，如圖，，，作其外接圓，連接并延長交于點(diǎn)D，∵，∴，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，解得：．即該等腰三角形外接圓半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．舉一反三2（23·24上·連云港·階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)是外一動點(diǎn)（點(diǎn)，點(diǎn)位于兩側(cè)），連接，．(1)如圖1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)為等邊三角形時，的度數(shù)是______．(2)當(dāng)時，①如圖2，連接，探究線段，，之間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；②如圖3，是的外接圓，點(diǎn)在上，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，當(dāng)，時，直接寫出面積的最大值．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②面積的面積最大值為【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，再由等邊三角形的性質(zhì)得，，然后求出，即可求解；（2）①過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證，得；②連接，由勾股定理得，過點(diǎn)作于，延長交于點(diǎn)，此時點(diǎn)到的距離最大，面積的面積最大，然后由三角形面積求出，則，即可求解三角形的面積最大值，最后用勾股定理借助①的結(jié)論求出，即可求出BD．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，，，，，，故答案為：；（2）解：①線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖所示：則，是等腰直角三角形，，，，，，；②解：連接，如圖所示：，，是等腰直角三角形，，是的外接圓，是的中點(diǎn)，，，，在中，由勾股定理得：，是定值，點(diǎn)到的距離最大時，面積的面積最大，是的直徑，過點(diǎn)作于，延長與的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)時，點(diǎn)到的距離最大，面積的面積最大，，，，，此時，在中，，在中，，在中，，由知，，，，，即面積的面積最大值為，此時，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理的推論，三角形外接圓，三角形面積，本題屬圓與三角形綜合題目，難度較大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型7已知外心的位置判斷三角形的形狀例7（23·24·全國·專題練習(xí)）如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1，A、O兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上，今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)B、C，使得的外心為O，求的長度為何（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，由此得到，從而確定B、C的位置，然后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵的外心為O，，，，、是方格紙格線的交點(diǎn)，、的位置如圖所示，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角形的外心的性質(zhì)．舉一反三1（21·22下·宣城·自主招生）如圖，銳角的外心為，直線交邊于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在上的射影點(diǎn)為，為上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）連接，由點(diǎn)為的外心，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，再由得出，進(jìn)一步證明，從而得出，最后可證得；（2）延長交于點(diǎn)Q，連接，由，可得，從而證得，得到，再由且，可得從而得出最后證得結(jié)果【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵點(diǎn)為的外心，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵在上的射影點(diǎn)為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）證明：如圖，延長交于點(diǎn)Q，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，，∵且，∴∴∴，即【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的外心是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三2（21·22下·石家莊·三模）如圖，在中，，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)D和點(diǎn)E同時出發(fā)，速度相同，到達(dá)C點(diǎn)或B點(diǎn)后運(yùn)動停止．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)若的外心在其內(nèi)部時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E同時出發(fā)，速度相同，得出，即可用證明；（2）根據(jù)，得出，即可求解；（3）分別求出當(dāng)時，和當(dāng)時，的度數(shù)，即可解答．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D和點(diǎn)E同時出發(fā)，速度相同，∴，∵，∴，在和中，，∴，（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形的定義和三角形的外心，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對等角；全等三角形的判定方法和全等三角形對應(yīng)邊邊相等；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形．題型8判斷三角形外接圓的圓心位置例8（23·24上·和平·期中）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C在網(wǎng)格線上．（Ⅰ）線段的長等于；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，在圓上畫出點(diǎn)D，使平分（不要求證明，保留作圖痕跡）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）畫圖見解析；【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；（Ⅱ）如圖，取格點(diǎn)，連接交于，記圓與格線的兩個交點(diǎn)為，連接，由，可得為直徑，取格點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)，由，結(jié)合為的中點(diǎn)，可得，可得為圓心，記于格線的交點(diǎn)為，由平行線分線段成比例可得為的中點(diǎn)，連接，并延長交于，連接即可；【詳解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）如圖，即為所求作的角平分線；【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，三角形的外接圓的圓心的確定，熟練的利用垂徑定理應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．舉一反三1（22·23上·淮安·階段練習(xí)）如圖，小明家屋前有一塊矩形空地，在空地上的點(diǎn)A、B、C處種有三棵樹，小明想在矩形的空地上建一個圓形花壇，使這三棵樹都在花壇的邊上．(1)請你幫小明把花壇的位置畫出來（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)若，求小明家花壇的周長（結(jié)果保留π）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作出的外接圓即可；（2）算出的長度即可．【詳解】（1）解：如圖所示：圓即為所求：（2）解：∵圓的半徑為∴小明家花壇的周長為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓．三角形的外接圓圓心是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，熟記結(jié)論即可．舉一反三2（23·24上·杭州·期中）如圖，每個小方格都是邊長為1個單位長度，在坐標(biāo)系中的位置如圖所示．(1)作出繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的；(2)作出的點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過的路線．(3)請直接寫出的外接圓圓心坐標(biāo)為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖以及三角形的外接圓，涉及到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)．（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)、、；然后依次連接、、，即可作答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，的點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過的路線是以點(diǎn)O為圓心，半徑為的圓上的；（3）根據(jù)的外接圓的定義，即過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，所以分別作出線段和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)點(diǎn)G即為的外接圓圓心，即可作答．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：即為的點(diǎn)B繞原點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過的路線，如圖所示：（3）解：點(diǎn)即為的外接圓圓心，如圖所示：所以，故的外接圓圓心坐標(biāo)為．題型9判斷確定圓的條件例9（23·24上·哈爾濱·期中）下列命題：①一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。虎巯嗟鹊膱A心角所對的弧相等，所對的弦也相等；④不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：①一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，是真命題，故①正確；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，被平分的弦不是直徑，所以命題是假命題，故②錯誤；③相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，是真命題，故③正確；④不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，是真命題，故④正確；所以正確的有①③④共3個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是確定圓的條件、圓周角定理與垂徑定理，弧弦圓心角定理．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．舉一反三1（23·24上·杭州·期中）下列命題正確的是（

）A．相等的弦所對的弧相等．B．平分弦的直徑平分弦所對的兩條弧．C．過三點(diǎn)能作一個圓．D．在同心圓中，同一圓心角所對的兩條弧的度數(shù)相等．【答案】D【分析】根據(jù)確定圓的條件，弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，垂徑定理的判定進(jìn)行一一判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．【詳解】解：A．在同圓或等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧分劣弧和優(yōu)弧，故不一定相等，故此選項(xiàng)不符合題意；B．平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的兩條弧，故此選項(xiàng)不符合題意；C．過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個圓，故此選項(xiàng)不符合題意；D．在同心圓中，同一圓心角所對的兩條弧的度數(shù)相等，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．舉一反三2（23·24上·齊齊哈爾·期中）下列命題：①長度相等的弧是等弧；②任意三點(diǎn)確定一個圓；③的圓周角所對的弦是直徑；④相等的圓心角所對的弦相等；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故原說法錯誤；②任意不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，故原說法錯誤；③的圓周角所對的弦是直徑，說法正確；④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故原說法錯誤；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故原說法錯誤．綜上可知，其中正確的命題有1個，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了等弧、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓、圓周角定理、圓心角和弦之間的關(guān)系、圓的軸對稱性等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型10確定圓心（尺規(guī)作圖）例10（23·24上·南京·階段練習(xí)）已知，用圓規(guī)和無刻度的直尺畫，使得，不寫作法，保留作圖痕跡，用黑色筆將痕跡加黑．【答案】見解析【分析】找到所在圓的圓心O，再以O(shè)為圓心將圓周延長，在圓周上取，即為所求．【詳解】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓心，尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是找到已知弧所在圓的圓心．舉一反三1（23·24上·南昌·期中）如圖，經(jīng)過，，三個格點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺作圖，(1)畫出圓心；(2)畫弦，使平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到，是圓的直徑，和的交點(diǎn)即為要求的點(diǎn)P；（2）連接，的中點(diǎn)為E，連接并延長交于點(diǎn)D，連接，即為所求．【詳解】（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；∵，是圓的直徑，∴和交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P是圓心．（2）如圖所示，即為所求；連接，的中點(diǎn)為E，連接并延長交于點(diǎn)D，連接，∵∴∴∴∴平分．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，網(wǎng)格作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．舉一反三2（23·24上·濟(jì)寧·期中）如圖所示，要把破殘的圓片復(fù)制完整．已知弧上的三點(diǎn)A、B、C．(1)用尺規(guī)作圖法找出弧所在圓的圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)設(shè)是等腰三角形，底邊，腰．求圓片的半徑R．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O；（2）構(gòu)建直角，利用勾股定理列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）分別作和的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，則O為所求圓的圓心；（2）連接,交于,∵，，在中,，設(shè)的半徑為，在中,，即，，【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，要注意作圖和解題中垂徑定理的應(yīng)用．題型11求能確定的圓的個數(shù)例11（23·24上·邢臺·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線上，點(diǎn)P在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點(diǎn)，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個圓是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意A，B；A，；A，D；B，C；B，D；C，D加上點(diǎn)P可以畫出一個圓，∴共有6個，故選：C．舉一反三1（23·24上·全國·專題練習(xí)）平面上有不在同一直線上的4個點(diǎn)，過其中3個點(diǎn)作圓，可以作出n個圓，那么n的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分為三種情況：①當(dāng)四點(diǎn)都在同一個圓上時；②當(dāng)三點(diǎn)在一直線上時；③當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，且其中的任何三點(diǎn)都不共線時；分別畫出圖形討論即可．【詳解】解：分為三種情況：①當(dāng)四點(diǎn)都在同一個圓上時，如圖1，此時，②當(dāng)三點(diǎn)在一直線上時，如圖2分別過A、B、C或A、C、D或A、B、D作圓，共3個圓，即，③當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，且其中的任何三點(diǎn)都不共線時，分別過A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圓，共4個圓，即此時，即n不能是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了確定一個圓的條件，正確分類、熟知不共線的三點(diǎn)確定一個圓是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（22·23·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點(diǎn)，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個圓可得，直線上任意2個點(diǎn)加上點(diǎn)可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．【詳解】解：依題意，；；；；，加上點(diǎn)可以畫出一個圓，∴共有6個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個圓是解題的關(guān)鍵．題型12畫圓（尺規(guī)作圖）例12（23·24上·宿遷·階段練習(xí)）如圖，已知(1)用直尺和圓規(guī)作出的外接圓；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）分別作、的垂直平分線，二者的交點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，即可求解；（2）連接交于，，可證垂直平分，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出，設(shè)的半徑為，則，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：如圖，連接交于，，垂直平分，即，，在中，，設(shè)的半徑為，則，，在中，，解得：，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，三角形的外接圓，垂徑定理，勾股定理等，掌握作法及相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·溫州·階段練習(xí)）如圖，已知為的一段弧，請根據(jù)要求畫出圖形．(1)在圖中找出的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．(2)點(diǎn)A在上，在上找一點(diǎn)P，使得是直角三角形，且【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在上取一點(diǎn)，連接、，分別作和的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心O，以為圓心，長為半徑畫出完整的圓即可；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，即可確定點(diǎn)的位置．【詳解】（1）解：如圖，圓心O與即為所求作；（2）解：連接并延長，交于點(diǎn)，即為直徑，點(diǎn)即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——確定圓心、畫圓，直徑的圓周角所對的弦是直徑，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三2（22·23上·武漢·階段練習(xí)）已知四邊形ABCD，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)如圖1，連接BD，作的外接圓O，再在BC邊上畫點(diǎn)M，使；(2)如圖2，在AB的延長線上畫點(diǎn)E，使，再在BC邊上畫點(diǎn)N，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作的外接圓，與交點(diǎn)就是所求點(diǎn)；（2）在延長線上截取，在（1）的基礎(chǔ)上，可知作外接圓即可，該圓與交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【詳解】（1）如圖①，點(diǎn)即為所求．作AD、AB的垂直平分線，以交點(diǎn)為圓心，這一點(diǎn)到A的距離為半徑作圓，該圓與交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．（2）如圖②，點(diǎn)即為所求．在延長線上截取，在（1）的基礎(chǔ)上，可知作外接圓即可，該圓與交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)所求，依據(jù)同弧所對的圓周角相等，構(gòu)造三角形的外接圓是解題關(guān)鍵．題型13舉反例例13（23·24上·紹興·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是銳角”是假命題的反例是（

）A．兩個角分別為， B．兩個角分別為，C．兩個角分別為， D．兩個角分別為，【答案】C【分析】根據(jù)銳角的概念判斷即可．【詳解】解：當(dāng)兩個角分別為，時，這兩個角都是銳角，和為，是直角，則命題“兩個銳角的和是銳角”是假命題，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的知識，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．舉一反三1（21·22上·湖州·期中）下列選項(xiàng)中可以用作證明命題“若，則”是假命題的反例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)要證明一個命題結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題．【詳解】解：用來證明命題“若，則”是假命題的反例可以是：，∵，但是，∴A正確；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用舉例法證明一個命題錯誤，要說明數(shù)學(xué)命題的錯誤，只需舉出一個反例即可，這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．舉一反三2（22·23上·西安·期末）證明“若a的絕對值等于它本身，那么a是正數(shù)”是假命題的反例可以是．【答案】【分析】舉例滿足絕對值是自己的本身，但是這個數(shù)不為正數(shù)，從而可得反例.【詳解】解：證明“若a的絕對值等于它本身，那么a是正數(shù)”是假命題的反例可以是：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的含義，舉反例的方法，理解舉反例的含義是解本題的關(guān)鍵.題型14反證法證明中的假設(shè)例14（22·23下·湖州·期中）用反證法證明命題：“等腰三角形的底角是銳角”時，第一步可以假設(shè)（）A．等腰三角形的底角是直角B．等腰三角形的底角是直角或鈍角C．等腰三角形的底角是鈍角D．底角為銳角的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】用反證法證明命題的第一步就是假設(shè)命題的反面成立，而銳角的反面就是直角或鈍角，據(jù)此即可得出答案．【詳解】解：用反證法證明命題：“等腰三角形的底角是銳角”時，第一步可以假設(shè)：等腰三角形的底角是直角或鈍角．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了用反證法證明命題的方法，理解原命題的結(jié)論的反面是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（21·22下·佛山·階段練習(xí)）命題“若中，，則”，若用反證法證明此命題時，應(yīng)假設(shè)：．【答案】【分析】根據(jù)反證法，從命題的結(jié)論反面出發(fā)進(jìn)行假設(shè)進(jìn)而得出答案．【詳解】解：命題“若中，，則”，若用反證法證明此命題時，應(yīng)假設(shè)：故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的第一步是解題關(guān)鍵．舉一反三2（22·23上·永州·期中）用反證法證明“對于任何有理數(shù)a，b，若，則或”，第一步應(yīng)先假設(shè)．【答案】且【分析】用反證法解題時，要假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)且．【詳解】解：原命題“對于任何有理數(shù)a，b，若，則或”，用反證法時應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】此題考查了反證法證明的步驟：（1）假設(shè)原命題結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，得出矛盾，說明假設(shè)不成立；（3）原命題正確．題型15用反證法證明命題例15（22·23下·沈陽·期中）若用反證法證明命題“在中，若，則”，則應(yīng)假設(shè)．【答案】【分析】根據(jù)反證法的特點(diǎn)，假設(shè)結(jié)論的相反意義成立即可．【詳解】在中，若，則，則應(yīng)假設(shè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反證法，正確理解反證法的證明思想是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·全國·課時練習(xí)）求證：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．如圖1，若，且，被所截，求證：．以下是打亂的用反證法證明的過程：①如圖2，過點(diǎn)作直線，使；②依據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，可得；③假設(shè)；④∴；⑤與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設(shè)不成立．證明步驟的正確順序是．【答案】③①②⑤④【分析】反證法：先假設(shè)的結(jié)論的反面成立，再通過推論說明假設(shè)不成立，從而可得原來結(jié)論成立，根據(jù)反證法的步驟可得答案．【詳解】證明：③假設(shè)；①如圖2，過點(diǎn)作直線，使；②依據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，可得；⑤與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設(shè)不成立．④∴；故答案為：③①②⑤④【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的含義，掌握反證法的步驟是解本題的關(guān)鍵．舉一反三2（22·23下·杭州·階段練習(xí)）如圖，已知直線，，E、F在線段上，且滿足，平分，．

(1)與是否平行？說明理由；(2)求的度數(shù)；(3)若平行移動線段，是否存在？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，通過等量代換證明，即可證明；（2）先證明，再由求的度數(shù)，進(jìn)而求得的度數(shù)；（3）用反證法證明不存在，即假設(shè)存在，則可推出點(diǎn)與點(diǎn)重合，與已知條件相矛盾．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，；（2）平分，，，；，，．（3）不存在，理由如下：假設(shè)存在，，，；由（1）得，，，由（2）得，，，整理得，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，這與已知條件相矛盾，假設(shè)不成立，不存在．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、角平分線的概念、反證法等知識和方法，應(yīng)注意的是，在解第（3）題時，先假設(shè)存在，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)且應(yīng)用（1）和（2）中的結(jié)論，逐步推出與已知條件相矛盾．一、單選題1．（22·23·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（22·23·湖南·中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（

）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法【答案】A【分析】根據(jù)反證法的步驟分析判斷，即可解答．【詳解】解：假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．以上步驟符合反證法的步驟．故推理使用的證明方法是反證法．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解答此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．3．（22·23·通遼·中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖1，在中，．求作：的外接圓．作法：如圖2．（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；（2）作直線，交于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：即可．【詳解】解：作直線（兩點(diǎn)確定一條直線），連接，∵由作圖，，∴且（與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．∵，∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），∴，∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為直徑的圓上．∴為的外接圓．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．4．（21·22下·吉林·中考真題）如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，，即，觀察四個選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（21·22下·十堰·中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長時，；④，其中一定正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點(diǎn)是上一動點(diǎn)，可得不一定等于，故②錯誤；當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長DA至點(diǎn)E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正確；∵點(diǎn)是上一動點(diǎn)，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②錯誤；當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，∴∠BCD=90°，∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正確；如圖，延長DA至點(diǎn)E，使AE=DC，∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正確；∴正確的有3個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．6．（21·22·邵陽·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．二、填空題7．（21·22下·常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是．【答案】1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（21·22下·玉林·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點(diǎn)的長度同為r的點(diǎn)，即可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離均為：，則外接圓半徑，圖中D點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：，圖中E點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：，則可知除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識，求出△ABC的外