專題11模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見(jiàn)解題模型考點(diǎn)一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題考點(diǎn)二一線三等角模型考點(diǎn)三三垂直模型考點(diǎn)四倍長(zhǎng)中線模型典型例題典型例題考點(diǎn)一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題【例題】（2021·天津·耀華中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證∠C＝∠A．【變式訓(xùn)練】1．（2020·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期中）已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE＝DF．2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE＝BF．(1)求證：CE＝CF；(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，試猜想DE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．考點(diǎn)二一線三等角模型【例題】（2021·湖北·黃石八中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，D，A，E三點(diǎn)都在一條直線上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2021·福建·莆田第七中學(xué)八年級(jí)期中）（1）〖問(wèn)題背景〗如圖1，B、E、M三點(diǎn)共線，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求證：△DBE≌△EMF；（2）〖變式運(yùn)用〗如圖2，B、E、C三點(diǎn)共線，△DEF為等邊三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求證：EC＝BD＋BE.

3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）（1）如圖①，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．（2）應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2BD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．4．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，分別從點(diǎn)B、C向直線l作垂線，垂足分別為D、E．請(qǐng)寫(xiě)出圖中全等的一對(duì)三角形是______．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)D、E分別在直線l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE、BD、CE有何數(shù)量關(guān)系？給予證明．（3）某學(xué)校學(xué)生小明在科技創(chuàng)新大賽上，創(chuàng)作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3，以△ABC的邊AB、AC為腰向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是BC邊上的高，延長(zhǎng)GA交DE于點(diǎn)H，經(jīng)測(cè)量，DE＝50cm，求HE的長(zhǎng)．考點(diǎn)三三垂直模型【例題】（2021·福建·武夷山市第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：CF＝EF+BE．2．（2021·天津·八年級(jí)期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過(guò)A的一條直線，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于E．(1)如圖（1）所示，若B，C在AE的異側(cè)，易得BD與DE，CE的關(guān)系是DE＝；(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)，（BD＜CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE，CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明；(3)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，（BD＞CE），問(wèn)BD與DE，CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需證明．3．（2021·陜西·西安愛(ài)知初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問(wèn)題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問(wèn)題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，求△BCD的面積．4．（2022·河北·豐寧滿族自治縣選將營(yíng)中學(xué)八年級(jí)期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)你探究線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論，并寫(xiě)出證明過(guò)程.(2)當(dāng)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明；(3)當(dāng)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．5．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）（1）模型的發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)，．請(qǐng)直接寫(xiě)出、和的數(shù)量關(guān)系．（2）模型的遷移1：位置的改變?nèi)鐖D2，在（1）的條件下，若，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，請(qǐng)說(shuō)明、和的關(guān)系，并證明．（3）模型的遷移2：角度的改變?nèi)鐖D3，在（1）的條件下，若三個(gè)直角都變?yōu)榱讼嗟鹊拟g角，即，其中，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明、和的關(guān)系，并證明．考點(diǎn)四倍長(zhǎng)中線模型例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長(zhǎng)m的取值范圍是_______．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．2．（2021·江蘇南京·八年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過(guò)程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長(zhǎng)．4．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件