2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《中考?jí)狠S解答題》專題提升訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，48是。0的直徑，點(diǎn)尸在。。上，NBA尸的平分線AE交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作

ED±AF,交4尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，延長(zhǎng)。E、4B相交于點(diǎn)C.

(1)判斷8與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若的半徑為5,tan/E4￡>=」，求AE的長(zhǎng).

2.如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作。。的切線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

取AO中點(diǎn)E,連接EC并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)試判斷E尸與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若CF=12,BF=8,求tan￡>.

3.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,AE_LCB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)AC,BD,AB平分N

EBD,

(1)求證：AC—AD.

(2)當(dāng)8為眾的中點(diǎn)，BC=3BE,AQ=6時(shí)，求CQ的長(zhǎng).

--------------------

V\O/\

EBC

4.如圖，已知AB是圓。的直徑，C是圓0上異于月，8的點(diǎn)，。為BC中點(diǎn)，且。E_LAC

于點(diǎn)E,連結(jié)CD

(1)求證：OE是圓0的切線；

(2)若圓。的半徑為5,且CO=6,求AC.

5.如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，CELAB,垂足為E,F為AB延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，且NFCB=NECB.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)若EB=3,BF=6,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，以I3ABC。的邊BC為直徑的交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,交C。于點(diǎn)尸.連接B凡過(guò)

點(diǎn)E作EGLCD于點(diǎn)G,EG是。。的切線.

(1)求證：回ABC。是菱形；

(2)已知EG=2,DG=1.求Cf的長(zhǎng).

7.已知，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交于點(diǎn)D

(1)如圖1,求證：BD=CD；

(2)如圖2,點(diǎn)E在AC上，連接CE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,連接AF交00于點(diǎn)G,若DG=AE,

求證：ZBAC=2ZF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BF,若CF=5,BF=8,求△ACF的面積.

8.已知NMPN的兩邊分別與。0相切于點(diǎn)A,B,。0的半徑為r.

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)A,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求/4C8的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，N4P8的度數(shù)應(yīng)為多少時(shí)，四邊形APBC

為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若PC交。。于點(diǎn)Z),求第(2)問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)(用含r的式子表示).

證明）

探究：如圖2,AD平分NB4C,ZABD+ZACD=180",ZABD<90°.求證：DB=DC.

應(yīng)用：如圖3,四邊形A8OC中，ZB=45°,NC=135°,DB=DC,DE1AB,若BE

=a,則AB-AC的值為.（用a的代數(shù)式表示）

10.定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質(zhì)初探】如圖1,已知，^ABCD,NB=80°,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE,四

邊形ABCE恰為等腰梯形.求/8CE的度數(shù)；

【性質(zhì)再探】如圖2,已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF

=CE,連結(jié)BE、CF.求證：BE=CF；

【拓展應(yīng)用】如圖3,回A8C。的對(duì)角線AC、BO交于點(diǎn)O,A8=2,NABC=45°,過(guò)

點(diǎn)。作AC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)OG.若/CDG=90°,求BC的長(zhǎng).

11.如圖1,在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=9cm,BC=Ucm.在RtZsOEF中，NDFE

=90°,EF=6cm,DF=8cm,E、尸兩點(diǎn)在BC邊上，DE,QF兩邊分別與AB邊交于G,

H兩點(diǎn).現(xiàn)固定△ABC不動(dòng)，從點(diǎn)F與點(diǎn)8重合的位置出發(fā)，沿BC以Ic/w/s的

速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)尸出發(fā)，在折線FD-DE上以2cnds的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng).△

OE尸與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)C時(shí)，△OEF與點(diǎn)尸同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f（單位：s）,f>0.

（1）當(dāng)f=2時(shí)，PH=cm,DG=cw；

（2）t=秒時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合？

（3）f為多少秒時(shí)△POG為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）直接寫出△PD8的面積（可用含，的代數(shù)式表示）.

12.(1)問(wèn)題探究：如圖1,在正方形A8CQ中，點(diǎn)E,。分別在邊8C、A8上，DQLAE

于點(diǎn)。，點(diǎn)G,尸分別在邊C。、A8上，GFVAE.

①判斷。。與AE的數(shù)量關(guān)系：DOAE-,

②推斷：史的值為；(無(wú)需證明)

AE

(2)類比探究：如圖(2),在矩形ABC。中，幽=%(/為常數(shù)).將矩形ABCQ沿GF

AB

折疊，使點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點(diǎn)H,連接AE

交GF于點(diǎn)。.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,四邊形4BCD中，NA8C=90°,AB=AD=\O,BC=CD=5,

點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求迦的值.

AM

13.如圖，點(diǎn)尸是正方形A8CZ)內(nèi)的一點(diǎn)，連接CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到線段C。，連接BP,DQ

(1)如圖a,求證：ABCP芻ADCQ；

(2)如圖，延長(zhǎng)BP交直線OQ于點(diǎn)E.

①如圖6,求證：BE1DQ；

②如圖c,若△8CP為等邊三角形，判斷△￡>￡2的形狀，并說(shuō)明理由，

(3)填空：若正方形ABCO的邊長(zhǎng)為10,DE=2,PB=PC,則線段PB的長(zhǎng)為.

14.【問(wèn)題情境】

(1)如圖1,在正方形ABC。中，E,F,G分別是BC,AB,C￡＞上的點(diǎn)，F(xiàn)GLAE于點(diǎn)

Q.求證：AE=FG.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,。為格點(diǎn)，A8交于點(diǎn)。.求tan/AOC

的值；

【拓展提升】

(3)如圖3,點(diǎn)P是線段A8上的動(dòng)點(diǎn)，分別以4P,BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD

與正方形PBEF,連接DE分別交線段8C,PC于點(diǎn)M,N.

①求的度數(shù)；

②連接AC交。E于點(diǎn)，，直接寫出空■的值.

BC

圖1圖2圖3

15.【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形A8C￡＞中，點(diǎn)MM分別在邊8C、CD±.連接AM、AN、MN.Z

AMN=45°,將△AMD繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到△4BE.易證：

△AMW也△4VE,從而可得：DM+BN=MN.

⑴【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是.

(2)如圖②，在正方形A8CD中，點(diǎn)M、，分別在邊￡＞C、BC上，連接4"、AN、MN,

ZMAN=45°,若tanN84V=工，求證：M是CD的中點(diǎn).

3

(3)【拓展】如圖③，在矩形A8CD中，AB=\2,AO=16,點(diǎn)M、N分別在邊。C、BC

圖①圖②圖③

16.在四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,將△C。。繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到△G0D1,旋轉(zhuǎn)角為。(0°<0<90°),連接AG、BD\,ACi與8。交于點(diǎn)P.

(1)如圖1,若四邊形ABC。是正方形.

①求證：△A。。四△BOD1.

②請(qǐng)直接寫出AC1與2D的位置關(guān)系.

(2)如圖2,若四邊形ABC￡>是菱形，AC=5,BD=1,設(shè)AG=kB￡)i.判斷ACi與B￡>i

的位置關(guān)系，說(shuō)明理由，并求出R的值.

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,AC=5,80=10,連接DO1,設(shè)AC1=.請(qǐng)

直接寫出k的值和AC/+(kDDi)2的值.

17.如圖，已知拋物線y=w/+4x+"與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線y=x-

3經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線的頂點(diǎn)為例，在該拋物線的對(duì)稱軸/上是否存在點(diǎn)P,使得以C,M,P為

頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

18.如圖一，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=_￡x2+bx+c的頂點(diǎn)為。(2，8),與X軸交

于兩點(diǎn)A,8(4在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖二，連接AO,8C,點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ

〃/交C8于點(diǎn)Q,P。的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將該拋物線關(guān)于直線x=\對(duì)稱得到新拋物線)1，點(diǎn)E是原拋物線y和新拋物線yi

的交點(diǎn)，F(xiàn)是原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，G為新拋物線上一點(diǎn)，若以E、F、A、G為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.拋物線6與x軸交于A(/,0),B(8,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線

y=fcr-6經(jīng)過(guò)點(diǎn)艮點(diǎn)尸在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為八

(1)求拋物線的表達(dá)式和r,&的值；

(2)如圖1,連接AC,AP,PC,若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)尸在直線BC上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PQ1BC,垂足為。，求CQ+

的最大值.

圖1圖2

20.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+6x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)

A的右邊)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),拋物線與y軸交于點(diǎn)C,SAABC=3.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P(x,y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且x>3.作PNJ_8C于N,設(shè)PN=d,求d與x

的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)A作PC的平行線交y軸于點(diǎn)F,連接BF,在直線AF上

取點(diǎn)E,連接PE,使PE=23凡且/PEF+NBFE=180°,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).

參考答案

1.解：（1）連接0E,

：OA=OE,

ZOAE=ZOEA,

平分NBAF,

：.ZOAE=ZDAE,

：.ZOEA^ZEAD,

：.OE//AD,

'：EDLAF,

J.OEVDE,

OA是。。的半徑，

是OO的切線;

CED

（2）連接BE,

：AB是。。的直徑，

：.ZAEB=90°=/￡>,

又NDAE=NBAE,

?ADAEDE

**AEABBE'

VtanZEAD=—,

.DE=BE=1

??而AE~2'

則AE=2BE,又43=10,

在△回￡；中，AE1+BE2^AB2,

即（2BE）2+BE2=102,

解得：BE=2娓,

則AE=4?.

2.解：（1）EF是。。的切線，理由如下:

連接OC,AC,

是OO的直徑，

AZACB=90°=/AC。，

又是4。的中點(diǎn)，

：.CE=ED=EA,

J.ZEAC^ZACE,

又：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

是。的切線，AB是直徑，

：.ZEAB=90a^ZEAC+ZOAC,

：.ZACE+ZOCA=90°,BPOCLEF,

F是。。的切線；

(2)解法一：設(shè)。C=x=OB,

在RtZXOFC中，由勾股定理得，

OC1+FC1=OF2,

即7+122=(8+x)2,

解得x=5,即0C=5,

：.AB=20C=W,

.?皿1強(qiáng)=5=迪=上，

FC12AF10+8

.?.AE=K,

2

：.DE^2AE=15,

在RtAABD中,

解法二：連接AC,

是O。的直徑,

AZACB=90°=/AC￡>,

是。。的切線,

：.ZDAB=90Q,

???/￡）=NCAB,

9

：ZBCF=ZCAB,ZF=ZF9

AACBF^AACF,

.AC=CF=^2=2

**CBBFT'2，

3.（1）證明：???四邊形45。內(nèi)接于。0,

AZADC+ZABC=180°,

VZABE+ZABC=\S0°,

???NABE=ZADC,

TAB平分NO3￡

???NABE=NDBA,

：.NADC=/DBA,

?/ZACD=ZDBAf

：.ZADC=ZACD,

：.AC=AD；

(2)解：過(guò)A作A凡LCD于F,

EB

為AC的中點(diǎn)，

：.AB=BC,

,:BC=3BE,

：.AB=^3BE,

四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形,

ZADF=NABE,

VZAFD=ZAEB=90°,

/XABE^AADF,

.DF=BE=1

*,ADAB京，

：47)=6,

：.DF=2,

"：AC=AD,

：.CD=2DF^4.

4.(1)證明：連接0D、0C,

為前中點(diǎn)，

NBOD=NCOD=L/BOC,

2

又；NBAC=L/B0C,

2

:.NBAC=NB0D,

：.0D//AE,

J.DELAC,

；.0D1,DE,

是半徑，

是。。的切線；

(2)解：連接BD,

為前中點(diǎn)，

：.BD=CD=6,

是。。的直徑，

：.ZADB=90Q,

在RtAABD中,

/ID=VAB2-BD2=8>

■:NDCE=NB,

/.sinB=M_=&-=^=sin/￡)CE=DE=DE

AB105DCT

：.DE=—,

5

=號(hào)

.4.CE=I/CD2_DE2

D

在RtZ\AOE中，由勾股定理得，

DE2+AE1=AD2,

即(■^■)2+(AC+—)2=8?,

55

5

5.(1)證明：連接。C,

".'CELAB,

：.ZCEB=90°,

；.NECB+NCBE=90°,

OC=OB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.ZOCB+ZECB=90°,

NFCB=NECB

N尸CB+NOCB=90°,

AZOCF=90°,

；.CF是OO的切線；

(2)解：VZOCF=ZOEC=90°,NFOC=NCOE,

:?△OCES/\OFC,

.OE_PCppOB-3_OB

**OC-OF，OB_0B+6

解得：08=6,

：.ZCOF=60°,

CF=OfsinZCOF=673，

2

...陰影部分的面積=」X6JEX6-嗎＞_=18代61T.

2360

6.(1)證明：如圖，連接?！?

;成?是。。的切線，

:.OE.LEGf

?:EGLCD,

???四邊形A5C。是平行四邊形，

：.OE//CD//AB,

:?/CEO=/CAB,

,:OC=OE,

：?NCEO=NECO,

：.ZACB=ZCABf

；?AB=BC,

：.團(tuán)ABC。是菱形；

(2)如圖，連接班),

由(1)得，OE〃CO,OC=OB,

：.AE=CE,

：.CE：AC=l：2,

.,.點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),

???四邊形ABC。是菱形，

經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,

是。0的直徑，

：.BFLCD,

■:EGLCD,

：.EG//BF,

:.△DGES/\DFB,

:.DG：DF=GE：BF=DE：BD=1：2,

：.DF=2,BF=4,

在Rt^BFC中，設(shè)CF=x,PIOBC=x+2,

由勾股定理得，7+4?=(x+2)2,

解得：x=3,

圖1

連接AD,

是。。的直徑,

/.ZADC=90°,

：.AD1BC,

"：AB=AC,

:.BD=CD；

(2)證明：如圖2,

圖2

連接A。，CG,

〈AC是。。的直徑，

：.ZCGF=ZAGC=90°,ZADC=90°,

???/ADC=NCGF,

VDG=AE,

：?NDCG=NACE,

：.ZDCG-ZACG=/ACE-ZACG,

:./ACD=/FCG,

：.ZF=ZCAD,

'：AB=AC,AOJ_BC,

:"BAC=24DAC,

：.ZBAC=2ZF；

(3)解：如圖3,

取的中點(diǎn)〃，連接?！埃珿H,DG,

由（1）知：BD=CD,

"“=匏,乂8=4,

VZCGF=90°,CH=FH,

??.GH=FH=±CF=qZGFC+ZGCF=90

22）

：.ZFGH=ZGFC,

o

：./FGH+/GCF=9。

VAD=AD,

???ZAGD=ZACD,

由（2）知：ZDAC=ZGFC,

：.ZAGD=ZGFCf

o

：./FGH+/AGD=90

：.ZDGH=90°,

-'-DG=yl^-Q^=府“嚕

VCG=CG,

：.ZCDG=ZCAF,

由（2）知：NDCG=NACE,

:./\CDGs/\CAF,

?.?―D^G—=CG一,

AFCF

???CG/AF=CF*DG=5X幺

c22

.*G?AF=*,

.C_5739

?*S&ACF----------

4

8.解：（1）如圖1,連接OA,OB,

M

PBN

圖1

'：PA,PB為。0的切線，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

AZAPB+ZAOB=\SO°,

VZAPB=80°,

...NAOB=100°,

ZACB=5Q°；

(2)如圖2,當(dāng)乙4尸8=60°時(shí)，四邊形APBC是菱形,

連接OA,OB,

由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO0,

VZAPB=60°,

：.ZAOB=\2Q°,

/.ZACB=60°=NAPB,

；點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

...PC經(jīng)過(guò)圓心，

'：PA,PB為。。的切線，

J.PA^PB,N4PC=/8PC=30°,

又,：PC=PC,

.,.△APCdBPC(SAS),

；./ACP=/BCP=30°,AC^BC,

.?./4PC=NACP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四邊形AP8C是菱形;

(3)???。。的半徑為r,

*.OA=r,0P=2r,

:.AP=Mr,PD=r,

VZAOP=9Q°-NAPO=60°,

???菽的長(zhǎng)度=60。[?r=2L

1803

，陰影部分的周長(zhǎng)=?升什匹r=(V3+1+—)r.

33

9.感知證明：如圖1,VZ^+ZC=180°,ZB=90°,

???NC=90°,

AZB=ZC,

?：4BAD=4CAD,AD=AD.

：./\BAD^/^CAD(AAS),

:.DB=DC.

探究證明：如圖2,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E使4F=AB,連接。R

?：NFAD=NBAD,AD=ADf

(SAS),

：.ZF=ZABD,DF=DB,

VZABD+ZACD=\SOQ,

AZF+ZAC￡>=180°,

VZDCF+ZACD=180°,

:.NF=/DCF,

：.DF=DCf

：.DB=DC.

應(yīng)用解：如圖3,作。GLAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接A。,

DELAB,ZB=45°,

:?/BED=/G=/AED=9U°,NEDB=NB=45°,

/.DE=BE=a,

VZACD=]35°,

：.ZGCD=45°,

,:/B=/GCD,DB=DC,

:?△BED*ACGD(AAS),

:.DE=DG,CG=BE=a,

U：AD=AD,

ARtAAED^RtAAGD(HL),

.\AE=AG=AC+af

.\AC=AE-a,

.\AB-AC=AB-(AE-a)=AB-AE+a=BE+a=2a,

故答案為：2a.

圖3

10.【性質(zhì)初探】解：過(guò)點(diǎn)A作AGLBC交于G,過(guò)點(diǎn)E作交于H,

???團(tuán)A8CQ,

：.AE//BC,

:.AG=EH,

???四邊形ABCE恰為等腰梯形,

*：AB=EC,

：.RtA/lBG^RtA^CG(HL),

：?/B=NECH,

VZB=80°,

AZBC￡=80°；

【性質(zhì)再探】證明：???四邊形ABC。是矩形，

J.AE//BC,

?.?四邊形8CEF是等腰梯形，

:.BF=CE,

由(1)可知，NFBC=NECB,

：./\BFC^/\CEB(SAS),

：.BE=CF；

【拓展應(yīng)用】解：連接AC,過(guò)G點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.0是AC的中點(diǎn)，

VGO1AC,

：.AC=CG,

,JAB//CD,NABC=45°,

.?.NOCG=45°,

...NC￡)G=90°,

：.CD=DG,

：.BA=DG=2,

；/CDG=90°,

；.CG=2五,

；.AG=2&,

VZADC=ZDCG=45°,

.?.NCZ)M=135°,

：.ZGDM=45°,

：.GM=DM=42>

在Rt^AGM中，(2亞)2=(AQ+&)2+(&)2,

:*AD=y[^-近,

:.BC=娓-近.

11.解：(1)當(dāng)f=2時(shí)，BF=2cm,PF=4cm,BE=8cm.

VZC=90°,NDFE=90°,

AZC+ZZ)FE=180°.

J.AC//DF.

:.△BHFsABAC.

：.BF：BC=HF：AC,

即2：12=HF：9.

:.HF=3

2

：.PH=4-3=a

22

；tanB=￡=a=3,tanO=3,

BC1244

:.NB=ND,

ZBG￡=90°,

:.XBEGs叢BAC,

?EG_BF即］EG_8

??而一而‘、引一IT

解得，EG=2^(cm),

5

：.DG=10-EG=—(cm),

5

故答案為：§；空；

25

(2)設(shè)當(dāng)△￡>￡尸和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合,

此時(shí)點(diǎn)P一定在DE邊上，DP=DG.

由(1)知，ZB=ZD.

又；NO+N￡)E8=90°,

.".ZB+ZD￡B=90°,

；.NDGH=NBFH=90°.

：.FH=BF?tanB=§t,DH=DF-FH=8-3/,￡>G=￡>H?cos￡)=(8-旦1)?廷=-色什絲,

444555

■:DP+DF=2t,

：.DP=2t-8.

由。P=￡)G得，2f-8=-3f+絲，解得f=衛(wèi)，

5513

?；4〈邃"<6,則此時(shí)點(diǎn)P在。E邊上.

13

.?，的值為逛?時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合.

13

故答案為：22；

13

(3)只有點(diǎn)尸在QF邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

△PDE才能成為等腰三角形，且PO=PE.(如圖1)

；BF=t,PF=2t,DF=S,

:.PD=DF-PF=8-2t.

在RtaPEF中，PE2=PF^+EF1=4?+36=PD2.即4r^36=(8-2r)2.

解得t=—.

8

：.t為工時(shí)△「￡>￡為等腰三角形;

8

(4)當(dāng)0<fW4時(shí)，點(diǎn)P在。尸邊上運(yùn)動(dòng)，如圖1,

圖1

S“DB=LPD?BF=L(8-2t)?t=-尸+4f；

22

當(dāng)4V/W6時(shí)，點(diǎn)P在。E邊上運(yùn)動(dòng)，如圖2,

D

過(guò)點(diǎn)P作PSA.BC于S,則tan/P8F=居.

BS

可得PE=DE-￡>P=10-(2/-8)=18-2r

此時(shí)PS=PE?cos/EPS=PE?cosO=9?(18-2r)=-&f+衛(wèi),

555

S^PDB=S^DEB-S^BPE

=—BE-DF-—BE'PS

22

=JLX(6+f)X8-Ax(6+f)(-

2255

綜上所述，△PDB的面積為-P+4r（0</W4）或（4<f<6）.

555

12.解：（1）①證明：；四邊形ABC。是正方形，

：.AB=DA,ZABE=90°=ZDAQ.

：.ZQAO+ZOAD=90°.

'：AE±DH,

...NAOO+NOAD=90°.

.\ZQAO=ZADO.

：./XABE^^DAQ(ASA),

：.AE=DQ.

故答案為：=.

②結(jié)論:對(duì)

理由：'：DQ±AE,FGVAE,

.,.DQ//FG,

'：FQ//DG,

：.四邊形DQFG是平行四邊形,

：.FG=DQ,

\'AE=DQ,

：.FG=AE,

GF

=1.

AE

故答案為：1.

GF

(2)結(jié)論:=k.

AE

理由：如圖2,作GM_LAB于M.

'CAEA.GF,

：.ZAOF=ZGMF=ZABE=90°,

NBAE+N4/0=90°,ZAFO+ZFGM=90°,

，NBAE=NFGM,

：.XABEsXGME,

?GFGM

??—f

AEAB

?.,N4MG=ZZ)=/D4M=90°,

...四邊形AMGD是矩形，

GM=AD,

.GFADBC_.

??....,—■n-'-K?

AEABAB

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作EFLBC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AELEF,連接AC,

圖3

VZABC=90a,AELEF,EF1BC,

二四邊形是矩形,

.\ZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=10,

'：AD=AB,BC=CD,AC=AC,

.?.△AC。絲△ACS(SSS),

AZADC=ZABC=90°,

；.NADE+NCDF=90°,且/AOE+NEAQ=90°,

:.NEAD=4CDF,且NE=NF=90°,

XADEs[\DCF,

.CDCFDF1

*'AD'DE"AE

：.AE=2DF,DE=2CF,

'：DC2^CF2+DF2,

：.25^CF2+(10-2CF)2,

：.CF=5(不合題意，舍去)，CF=3,

：.BF=BC+CF=S,

由（2）的結(jié)論可知：典望

AMAB

13.解：(1)證明：如圖a,VZBCD=90°,ZPCQ=90°,

；.NBCP=NDCQ,

在△BCP和△OCQ中，

"BC=CD

<ZBCP=ZDCQ,

PC=QC

：./\BCP^/\DCQ(SAS)；

(2)①如圖b,?.,△8CP絲△OC。，

：.4CBF=4EDF,

又,：NBFC=NDFE,

:.NDEF=NBCF=90°,

：.BELDQ；

②如圖c,?.?△BCP為等邊三角形，

：.ZBCP=60°,

.,.ZPCD=30°,

又，.。二。

：.4CPD=4CDP=15°,

又；NBPC=60°,ZCD2=60°,

：.ZEPD=45°,NEDP=45°,

...△OEP為等腰直角三角形；

(3)如圖6,由/C8F=NE￡)凡NDEF=NBCF,可得ADEFs^BCF,

.DE=DF即2=如

"BC而，'IoBF'

設(shè)DF=x,則B尸=5尤，CF=10-x,

RtABCF中，BF1=BC1+CF1,

：.(5x)2=1()2+(io-X)2,

解得制=回，&=-改(舍去)，

23

：.BF=5x=^-,

2

,:PB=PC,

：.ZPBC=ZPCB,

又ZPBC+ZPFC=ZPCB+ZPCF=90°,

NPFC=ZPCF,

：.PF^PC,

：.BP=PF=空；

24

如圖d,延長(zhǎng)BE、CD,交于點(diǎn)凡

由NCBF=NCDQ=NEDF,NDEF=NBCF,可得ADEfsABCF,

.DE=DF即2=如

"*BC而''IOW

設(shè)。則8F=5x,CF=1O+X,

RtABCF中，BF2^BC2+CF2,

(5x)2=102+(10+x)2,

解得Xl=-—(舍去)，X2=—,

23

：.BF=5x=—,

3

■:PB=PC,

:.NPBC=NPCB,

又ZPBC+ZPFC=ZPCB+ZPCF=90°,

ZPFC=NPCF,

：.PF=PC,

：.BP=PF=^BF=空.

23

故答案為：空或空.

43

14.(1)證明：方法1,平移線段尸G至交4E于點(diǎn)K,如圖1-1所示:

由平移的性質(zhì)得：FG//BH,

?.?四邊形ABC。是正方形，

J.AB//CD,AB=BC,乙4BE=/C=90°,

四邊形BFGH是平行四邊形，

:.BH=FG,

'：FG±AE,

：.BHA.AE,

：.NBKE=90°,

:.NKBE+NBEK=90°,

"：ZBEK+ZBAE=90°,

:.NBAE=NCBH,

在△ABE和中，

，ZBAE=ZCBH

<AB=BC,

ZABE=ZC

.?.△ABE/△BC”(ASA),

：.AE=BH,

：.AE=FG；

方法2：平移線段8c至FH交AE于點(diǎn)K,如圖1-2所示:

則四邊形BC”尸是矩形，NAKF=NAEB,

:.FH=BC,NF”G=90°,

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,/ABE=9Q°,

：.AB=FH,NABE=NFHG,

\'FGA.AE,

:.NHFG+NAKF=90°,

；NAE8+NBAE=90°,

二NBAE=ZHFG,

在△ABE和△FHG中,

'NBAE=NHFG

<AB=FH,

,ZABE=ZFHG

.?.△ABE絲△FaG(ASA),

：.AE=FG-,

(2)解：將線段AB向右平移至尸力處，使得點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，連接CF,如圖2所示：

ZAOC=ZFDC,

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為單位1,

貝i」AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,OG=4,

由勾股定理可得：CF=d設(shè)2+hF2=個(gè)?2+]2=V^,CD-cE+DE~^22+4^~

2匹,DF-5/PG2+DG2=yj32+42=5>

?:(V5)2+(2遙)2=52,

ACF2+CD2=DF2,

AZFCD=90Q,

AtanZAOC=tanZFDC=—==工；

CD2^52

(3)解：①平移線段8C至。G處，連接GE,如圖3-1所示：

則ZDMC=NGDE,四邊形DGBC是平行四邊形，

：.DC=GB,

,四邊形AOCP與四邊形PBEF都是正方形，

：.DC=AD=AP,BP=BE,NZMG=NGBE=90°

：.DC=AD=AP=GB,

：.AG=BP=BE,

在△AGO和△BEG中，

'AG=BE

<ZDAG=ZGBE,

AD=BG

AAAGD^ABEG(SAS),

：.DG=EG,NADG=NEGB,

：.ZEGB+ZAGD^ZADG+ZAGD^90°,

：.ZEGD=90°,

：.ZGDE=ZGED=45°,

AZDMC=ZGDE=45°；

②如圖3-2所示：

VAC為正方形ADCP的對(duì)角線，

：.AD=CD,/ZMC=/B4C=/OMC=45°,

.??△ACD是等腰直角三角形，

：.AC=yf2AD,

,:NHCM=NBCA,

：.NAHD=NCHM=NABC,

：.l\ADHs/\ACB,

.DH_AD_AD_V2

"BCACV2AD2

圖2

圖1-2

15.(1)解：：四邊形ABCD是正方形，

：.AB^CD=AD,/84O=/C=/D=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：/XABE四△ADW,

；.BE=DM,NABE=ND=90°,AE=AM,ZBAE=ZDAM,

：.NBAE+NBAM=ZDAM+ZBAM^NBA￡)=90°,

即NE4M=90°,

；NM4N=45°,

：.ZEAN=90°-45°=45°,

NMAN=NEAN,

在△AMN和△/1￡；%中，

'AM=AE

<ZMAN=ZEAN,

AN=AN

：./\AMN^^AEN(SAS),

:.MN=EN,

"：EN=BE+BN=DM+BN,

：.MN=BN+DM,

22

在Rt/\cM/v中，由勾股定理得：MN=VCNCM=762+82=10,

則BN+DM=1Q,

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為羽則8V=BC-CN=x-6,DM=CD-CM=x-8,

Ax-6+x-8=10,

解得：x=12,

即正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12；

故答案為：12；

(2)證明：設(shè)BN=m,DM—n,

由(1)可知，MN=BN+DM=

VZB=90°,tanNBAN=工，

3

tanZBA?/=—=—,

AB3

：.AB=3BN=3m,

：.CN=BC-BN=2m,CM=CD-DM=3m-n,

在Rt^CMN中，由勾股定理得：(2〃?)2+(3〃L〃)2=(加+〃)2,

整理得：3m—2n)

:.CM=2〃-n=n,

：.DM=CM,

即M是CD的中點(diǎn)；

(3)解：延長(zhǎng)48至P,使BP=BN=4,過(guò)P作BC的平行線交0c的延長(zhǎng)線于。，延

長(zhǎng)AN交PQ于E,連接EM,如圖③所示：

則四邊形APQ。是正方形，

，PQ=DQ=AP=AB+BP=12+4=16,

設(shè)。則MQ=16-a,

'：PQ//BC,

：.AABNsAAPE,

?典=姻_=￡=旦

*,PEAP167(

：.PE=^BN=^-,

33

：.EQ=PQ-PE^\6-

33

由(1)得：EM=PE+DM=^-+a,

在RtaQEM中，由勾股定理得：（冬）2+（16-。）2=（學(xué)+。）2

33

解得：4=8,

即DM的長(zhǎng)是8；

故答案為：8.

16.(1)①證明：如圖1,

?.?四邊形A8CD是正方形，

AOC=OA=OD=OB,AC1BD,

:.NAOB=/COD=90°,

?：/\COD繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△CiODi,

：.OC\=OC,ODi=OD,ZCOCi^ZDODi,

：.OCi=OD\,NAOCi=NBODi=90°+ZAOD1,

在△A。。和△BOQi中

'OA=OB

,NAOC廣NBOD],

OC1=OD1

AAAOCI^ABODI(SAS)；

②AC|_LBO1；

(2)AC\LBD\.

理由如下：如圖2,

:四邊形A8C。是菱形，

：.OC=OA=^AC,OD=OB=^BD,ACYBD,

22

...NAOB=/COO=90°,

???△C。。繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△C1O?,

，OCi=OC,ODi=OD,NCOC1=NDOD1,

：.OC\=OA,OD\=OB,ZAOCi=ZBODi,

.QC1_QA

"CID7"OB'

.".△AOCI^ABODI,

：.ZOACI^ZOBD\,

又；N4OB=90°,

AZOAB+ZABP+ZOBD\=90°,

：.ZOAB+ZABP+ZOAC\=90°,

ZAPB=90°

：.AC\±BDi；

VAAOCI^ABODI,

if4-AC

AL

?1_0A^2_=AC=_5

〃BDIOB±BDBD了

(3)如圖3,與(2)一樣可證明△AOCIS/\BODI,

.AC1_OA_AC_1

"BDiOBBDy

:△C。。繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△CiOCi,

；.ODi=OD,

而OD—OB,

：.ODi=OB=OD,

：./\BDD\為直角三角形，

在中，

BDI2+DD\2^BD2=100,

：.(2ACi)2+DDI2=I00,

：.AC\2+(kDDi)2=25.

圖2

Di

17.解：(l)y=x-3中，令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,則x=3,

:?B(3,0),

將C(0,-3),B(3,0)代入y=/+4x+〃中，

.fn=_3

19m+12+n=0

解得0=T,

In=-3

?'-y—~X2+4X-3；

(2)存在點(diǎn)尸，使得以C,M,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下:

Vy=-?+4x-3=-(x-2)2+1,

：.M(2,1),對(duì)稱軸為直線x=2,

設(shè)P(2,力，

：.MP=\t-1|,MC=2娓,CP=44+(t+3)2,

①當(dāng)時(shí)，\t-1|=2A/5>

；，=2遙+1或/=-275+1,

：.P(2,275+1)或⑵-275+1)；

②當(dāng)MP=CP時(shí)，|r-11=^4+(t+3)2-

解得t=-s,

2

：.P(2,一2)；

2

③當(dāng)MC=CP時(shí)，2代={4+?+3)2,

解得r=l(舍)或/=-7,

：.P(2,-7)；

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2遙+1)或(2,-275+1)或(2,--1)或(2,-7).

18.解：(1):拋物線的頂點(diǎn)為。(2,8),

19

,4X(丁)Xc-b

,——^—=2,-----------——=8,

2X(卷)4X(總)

解得b=2,c=6,

1o

.*.y=-—X2+2X+6；

2

(2)令y=0,則--~X2+2X+6=0,

解得x=-2或x=6,

???A(-2,0),B(6,0),

令x=0,則y=6,

：.C(0,6),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+d,

.f_2k+d=0

*l2k+d=8'

解得『=2,

Id=4

??y=2x+4,

設(shè)直線BC的解析式為y=k'x+d,

.Jd，=6,

'l6ky+1=0'

解得小'=-l,

ld?=6

??.y=-1+6,

設(shè)P"--r+2t+6),

2

'：QP//AD,

直線QP的解析式為y=2x--j-r+6,

當(dāng)2x-—？+6=-x+6時(shí)，x=—t2,

26

：.Q(L2,6-A/2),

66

0

V0<z<6,

:.PQ=^(-上於+f)=-—(z-3)2+^Zl,

662

當(dāng)f=3時(shí)，PQ有最大值2返，

2

此時(shí)P(3,至)；

2

(3)。點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為(0,8),

二新拋物線yi=-*/+8,

當(dāng)--X2+2X+6---X2+8時(shí)，x=1,

22

：.E(1,工)，

2

"?'y—-工W+2x+6=-—(x-2)2+8,

22

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

設(shè)F(2,m),G(〃，-—n2+8),

2

當(dāng)EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

(1+2=-2W

|吟=冬2+8,

解得卜=-12,

ln=5

：.F(2,-12)；

當(dāng)EA為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

，l-2=2+n

,15123，

~2-mTn+8

解得(好4,