專題09銳角三角函數(shù)【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1正弦的概念和求正弦值銳角三角函數(shù)：如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)對(duì)邊對(duì)邊鄰邊斜邊ACB【正弦和余弦注意事項(xiàng)】1.sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2.sinA、cosA是一個(gè)比值（數(shù)值，無(wú)單位）。3.sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。例．（2022·安徽合肥·九年級(jí)期末）在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】直接利用銳角的正弦的定義求解．【詳解】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝∠A的對(duì)邊與斜邊的比，∵△ABC的三邊都縮小5倍，∴∠A的對(duì)邊與斜邊的比不變，∴sinA的值不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．變式1．（2021·上海寶山·九年級(jí)期末）在中，，，，那么的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，則=(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后利用正弦的定義即可求解．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形、銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．變式3．（2022·湖北襄陽(yáng)·二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，則sin∠ADC等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ADC=∠ABC，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)證明是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】，，，，是等腰直角三角形，，，sin∠ADC，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理與網(wǎng)格，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型2已知正弦值求邊長(zhǎng)例．（2021·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，則BC的長(zhǎng)度為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】，∴設(shè)BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+(4x)2＝(5x)2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），則BC＝4x＝8cm，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)與勾股定理，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．變式1．（2022·安徽滁州·九年級(jí)期末）在中，，若，，則的長(zhǎng)是（

）A．80 B． C．60 D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴，∴在Rt△ABC中，AB==80，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·四川綿陽(yáng)·三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，作DE⊥AC于E，則△CDE的周長(zhǎng)為（

）A．4+ B．6+ C．4+ D．6+【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得是的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)sinA＝，AB＝6，求得,在中，勾股定理求得，進(jìn)而求得，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】∠BCA＝90°，sinA＝，AB＝6，DE⊥AC，，，，，D是AB的中點(diǎn)，，，，，△CDE的周長(zhǎng)為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)，根據(jù)正弦求邊長(zhǎng)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·四川南充·一模）如圖，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，則AE長(zhǎng)為（

）A．2.4 B．2 C．1.6 D．1【答案】B【分析】先解直角△ABC求出BC，再利用勾股定理求出AC，結(jié)合EC=BC即可得到答案．【詳解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB=10，sinA=0.6，∴，∴，∵EC=BC=6，∴AE=AC-CE=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形和勾股定理，正確求出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型3余弦的概念和求余弦值例．（2021·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（

）A．sinA＝ B．a(chǎn)＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝，故A不符合題意；故C符合題意；故D不符合題意；由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的意義是正確判斷的前提．變式1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，則下列三角函數(shù)表示正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、sinA＝＝，故原題說法正確；B、cosA＝＝，故原題說法錯(cuò)誤；C、tanA＝＝，故原題說法錯(cuò)誤；D、tanB＝＝，故原題說法錯(cuò)誤．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合直角三角形正確理解正弦、余弦、正切的定義是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，、、對(duì)邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得出，，即可得出答案.【詳解】解：由題知，，∴，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的考查，熟練掌握銳角三家函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.變式3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，則cosB的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】直接利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，∴設(shè)BC=x，則AC=2x，則故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確掌握直角三角形的邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型4已知余弦值求邊長(zhǎng)例．（2021·山東·威海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在中，，且，若，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，利用三角函數(shù)求出，根據(jù)勾股定理求出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可求出答案．【詳解】解：∵中，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)．證明是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·廣西·南寧二中三模）如圖，在中，，則長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）菱形的周長(zhǎng)為20cm，兩個(gè)相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2，則較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度是(

)A．20cm B．cm C．cm D．5cm【答案】B【分析】根據(jù)題意和菱形的性質(zhì)得菱形的邊長(zhǎng)為5cm，較小的角為60°，即，，根據(jù)三角函數(shù)得，即可得．【詳解】解：∵菱形的周長(zhǎng)為20cm，∴菱形的邊長(zhǎng)為5cm，∵菱形的兩個(gè)鄰角之比為，∴較小的角為60°，如圖所示，∵，，∴最長(zhǎng)邊為BD，(cm)，∴(cm)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和特殊的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．變式3．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，中，，，的垂直平分線交于，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由于，可設(shè)，，由于MN是線段AB的垂直平分線，故AD=DB，，又知，進(jìn)而可得AC、BD，由勾股定理列方程解答即可．【詳解】∵,設(shè)，,又∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，，在Rt△BDC中，，，由勾股定理可得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對(duì)垂直平分線的應(yīng)用去聯(lián)合三角函數(shù)去得出答案．◎考點(diǎn)題型5正切的概念和求正切值例．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結(jié)論．【詳解】解：如下圖所示在Rt中，=，故A不符合題意；在Rt中，=，故B不符合題意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合題意；≠，故D符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，a，b，c分別是，，的對(duì)邊，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】如圖，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，，．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵是熟知其定義.變式2．（2018·上海市致遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）坡比等于的斜坡的坡角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)坡角的定義即可求解.【詳解】∵坡比等于設(shè)坡角為α，∴tanα==∴α=30°.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查坡角的定義，解題的關(guān)鍵是熟知坡角與坡比的定義.變式3．（2018·上海市致遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）在△中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，再利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】在△中，，，，∴BC=∴=故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義.◎考點(diǎn)題型6已知正切值求邊長(zhǎng)例．（2022·福建·中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及，可得，在中，由，求得AD的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD為BC邊上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·北京·潞河中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，，，則CD的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等角的余角相等可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】，，，，即，，解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切，利用正切得出邊的比是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣東廣州·二模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與直線AB剛好相切，則r等于（

）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5【答案】C【分析】如圖所示，過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，在直角三角形ABC中，由AB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC與BC的長(zhǎng)，利用面積法求出CD的長(zhǎng)，即為所求的r．【詳解】解：如圖所示，過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，在Rt△ABC中，AB=5，tanB=，即=，設(shè)AC=4k，則BC=3k，根據(jù)勾股定理得：AB2=BC2+AC2，即52=(3k)2+(4k)2，∴k=1，∴AC=4，BC=3，∵S△ABC=BC?AC=AB?CD，∴×3×4=×5×CD，解得：CD=2.4，則r=2.4．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正切函數(shù)以及三角形面積求法，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，為的直徑，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）．A．4 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)，設(shè)，則，勾股定理求得，結(jié)合條件即可求解．【詳解】解：∵為的直徑，是的切線，∴，設(shè)，則，，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，切線的性質(zhì)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型7求特殊角的三角函數(shù)值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)30°45°60°1正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大例．（2022·河北滄州·九年級(jí)期末）的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊心距分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C，連接OA，則在直角△OAC中，∠O＝，OC是邊心距，OA即半徑，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系即可求a、b的值，即可求解．【詳解】解：經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C，連接OA，則在Rt△OAC中，∠O＝，OC是邊心距，OA即半徑；設(shè)半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的邊心距為a＝r＝r圓內(nèi)接六邊形的邊心距為b＝r＝r＝r（r）＝，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用和圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)知識(shí)，掌握特殊三角函數(shù)值和圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)知識(shí)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北武漢·中考真題）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖：∵網(wǎng)格是有一個(gè)角60°為菱形，∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等邊三角形，∴AD=BD=BC=AC，∴四邊形ADBC為菱形，且∠DBC=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形ADBC為菱形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·貴州六盤水·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，－）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．（－，－） B．（，） C．（，） D．（－，－）【答案】D【分析】先利用特殊三角函數(shù)值求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求解．【詳解】解：∵sin30°＝，?cos60°＝?，∴點(diǎn)A（，－），∴點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，－）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊三角函數(shù)值、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式3．（2022·天津河北·二模）3tan60°的值為(

)A． B． C． D．3【答案】A【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．【詳解】解：3tan60°＝3×＝3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握各特殊角的三角函數(shù)值．◎考點(diǎn)題型8特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀例．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）在△ABC中，，則△ABC一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．銳角三角形【答案】D【分析】根據(jù)平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，得，從而求出，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)的值，得，，即可得到答案．【詳解】∵∴，解得：，∴，，∴故一定是鈍角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的值；解題的關(guān)鍵是掌握平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，并熟記特殊角的函數(shù)值．變式1．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）若∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，則△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【詳解】解：∵∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是銳角三角形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】計(jì)算出∠A和∠C的角度來(lái)即可確定．【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC為直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)期末）在△ABC中，若銳角∠A、∠B滿足，則對(duì)△ABC的形狀描述最確切的是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到∠A，∠B的正弦值，再根據(jù)特殊三角函數(shù)值判定∠A、∠B的度數(shù)，即可得到結(jié)論；【詳解】解：∵，∴sinA-=0，sinB-=0，∴sinA=，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°-45°-45°=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，熟記相關(guān)三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型9已知角度比較三角函數(shù)值的大小例．（2020·四川·西昌一中俊波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知，A，B均為銳角，則A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先明確，再根據(jù)銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)隨角增大而減小進(jìn)行分析．【詳解】∵，∵，當(dāng)，越大，越小，故．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性及特殊角三角函數(shù)值．變式1．（2019·江蘇南京·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，則下列結(jié)論正確的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【分析】本題可采用特殊值法，令，然后利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵∠C＝90°，，∴可令．A.，所以，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以，故該選項(xiàng)正確；C.，所以，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，所以，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊值法在選擇題中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式2．（2019·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)銳角，的值（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于【答案】A【分析】首先明確sin60°=，sin30°=，再根據(jù)正弦函數(shù)隨角增大而增大，進(jìn)行分析．【詳解】解：∵sin60°=，a＜60°，∴sinα＜sin60°=．故選A．【點(diǎn)睛】熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若銳角、滿足條件時(shí)，下列式子中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵，∴，，，.故只有D選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的余弦值和余切值是隨著角度的增大而減小，銳角的正弦值和正切值隨著角度的增大而增大.◎考點(diǎn)題型10利用同角三角函數(shù)求值例．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，是銳角，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，求出各條邊的長(zhǎng)，再求出答案．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，由于，因此設(shè)BC=5k，則AC=12k，由勾股定理得，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理求出各條邊的長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2022·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos2A＝1．變式2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意設(shè)中，對(duì)應(yīng)邊分別為，然后根據(jù)條件求解，再結(jié)合正弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：設(shè)中，對(duì)應(yīng)邊分別為，則，和，∵，∴，設(shè)，則，由，得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，理解基本三角函數(shù)的定義，熟練轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出∽，則可得，然后根據(jù)，設(shè)，，利用對(duì)應(yīng)邊成比例表示出的值，進(jìn)而得出的值，【詳解】∵在中，，∴,∵于點(diǎn)，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴設(shè)，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求邊長(zhǎng)．◎考點(diǎn)題型11根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍例．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若∠A為銳角，且cosA<0.5，則∠A（

）A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60°【答案】D【分析】首先明確cos60°=0.5，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小，進(jìn)行分析．【詳解】解：∵cos60°=0.5，余弦函數(shù)隨角增大而減小，∵∠A為銳角，∴∠A>60°．故選：D．【點(diǎn)睛】熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）銳角α滿足，且，則α的取值范圍為（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和正弦函數(shù)隨銳角的增大而增大、正切函數(shù)隨銳角的增大而增大即可解答．【詳解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值、銳角三角函數(shù)的增減性，熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握銳角三角函數(shù)的增減性是解答的關(guān)鍵．變式2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知為銳角，且，那么下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的增減性，可得答案．【詳解】解：，由正切函數(shù)隨銳角的增大而增大，得tan30°＜tanA＜tan45°，即30°＜A＜45°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，利用正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．