不等式證明市賽獲獎(jiǎng)

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不等式的證明(2)【例1】設(shè)-1<a<1,-1<b<1,求證:.證明一:比較法(作差)∵-1<a<1,-1<b<1,

∴(a-b)2≥0,(a-b)2(1+ab)≥0.1+ab>0，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,

證明二:分析法證明三:綜合法∵a2+b2≥2ab,∴-a2-b2≤-2ab.從而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,

1-ab>0.證明四:換元法設(shè)a=sinα,b=sinβ,則【例2】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：證明一(分析法)(4a+1)(4b+1)≤916ab+4a+4b+1≤9

證明二(綜合法)

因?yàn)閍>0,b>0,且a+b=1,所以

從而+≤.【例3】已知m>0,求證:m+≥3.證明一(比較法)

∵m+-3=∴m+≥3證明二(綜合法)m+=

證明三(函數(shù)思想)設(shè)f(x)=x+,則f’(x)=1-,令f’(x)=0,得:x=2.當(dāng)0<x<2時(shí),f’(x)<0.

當(dāng)x>2時(shí),f’(x)>0.所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取到最小值3,

故當(dāng)m>0時(shí),有

m+≥3.

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,且0<x1<x2<,求證:當(dāng)

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